Afina geometrija je posplošitev običajneevklidske geometrije. Gre za geometrijsko teorijo, ki se ukvarja predvsem s problemom kolinearnosti, ne pa s problemi, ki so povezani z merjenjem dolžin in kotov. Afino geometrijo je prvi preučevalLeonhard Euler.
Nadaljnja posplošitev afine geometrije se imenujeprojektivna geometrija. Dobimo jo tako, da afini geometriji dodamo še točke v neskončnosti.
V skladu s sodobnim razumevanjem geometrije, kot ga je predstavilKlein v svojemErlangenskem programu, so odločilnega pomena za geometrijopreslikave, ki ohranjajo določene geometrijske lastnosti. V evklidski geometriji so ustrezne preslikavetogi premiki, ki ohranjajorazdalje.
Temelj afine geometrije predstavljajoafine preslikave. To sobijektivne preslikave, ki ohranjajokolinearnost. Torej: Če točkeA,B inC ležijo na isti premicip, potem tudi njihove slikeA',B' inC' ležijo na skupni premicip'. Očitno jegrupa afinih preslikav splošnejša od grupe togih premikov, zato je afina geometrija posplošitev evklidske geometrije. Pojmi, ki jih afine preslikave ohranjajo, soinvariante afine geometrije. Primer take invariante jerazpolovišče daljiceAB.
Afine preslikave najpogosteje preučujemo v množici, ki jo zato imenujemo realnin-razsežni afini prostor (zan = 2 tudi: realna afina ravnina). Afino preslikavo v tej množici lahko zapišemo kotkompozitum obrnljivelinearne transformacije intranslacije:
Pri tem jeA obrnljiva matrika dimenzijen×n (matrika linearne transformacije) inb poljubni vektor dimenzijen (vektor translacije).
Take preslikave lahko preučujemo tudi v splošnejšemvektorskem prostoru nad poljubnimobsegom, zato afine preslikave pomenijo povezavo med geometrijo in abstraktnolinearno algebro.
| Mednarodno | |
|---|---|
| Nacionalno | |
| Drugo | |
