Movatterモバイル変換

Preskočiť na obsah

Lebesgueova miera

Upraviť odkazy

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

Lebesgueovamiera predstavuje vmatematike štandardný postup, ktorým jepodmnožine Euklidovho priestoru priradenádĺžka,obsah plochy aleboobjem. Lebesgueova miera je zovšeobecnením pojmu objem (popr. obsah alebo dĺžka).

Lebesgueova miera sa uplatnila pri definíciiLebesgueovho integrálu.

Označuje sa podobne ako miera, napr. $\mu (\mathbf {M} ),\mu \mathbf {M} ,\operatorname {m} \mathbf {M} ,\operatorname {mes} \mathbf {M}$ , popr. $\operatorname {meas} \mathbf {M}$ . Ak je potrebné zdôrazniť, že ide o Lebesgueovu mieru, možno symbol $\mu$ nahradiť symbolom $\lambda$ .

Množiny, ktorým možno priradiť lebesgueovu mieru sa označujú akolebesgueovsky merateľné.

Lebesgueova miera bola zavedenáfrancúzskym matematikom Henri Lebesguem.

Merateľná množina

[upraviť |upraviť zdroj]

Mieraprázdnej množiny je definitoricky rovnánule, tzn. $\mu (\emptyset )=0$ .
Miera (otvoreného alebo uzavretého)intervalu je rovná jehodĺžke, tzn. $\mu (a,b)=\mu \langle a,b\rangle =\mu (a,b\rangle =\mu \langle a,b)=b-a$
Lebesgueova mierakarteziánskeho súčinu intervalov $\mathbf {M} _{1}\times \mathbf {M} _{2}\times ...\times \mathbf {M} _{n}$ je rovná súčinu dĺžok jednotlivých intervalov. Ak označíme dĺžkui-teho intervalu ako $|\mathbf {M} _{i}|$ , potom $\mu (\mathbf {M} _{1}\times \mathbf {M} _{2}\times ...\times \mathbf {M} _{n})=|\mathbf {M} _{1}|\cdot |\mathbf {M} _{2}|\cdots |\mathbf {M} _{n}|$
Mieradisjunktných intervalov $\mathbf {M} _{k}$ je rovná súčtu $\sum _{k}\mu (\mathbf {M} _{k})$ .
Vonkajšou Lebesgueovou mierou $\mu ^{*}(\mathbf {M} )$ neprázdnej množiny $\mathbf {M}$ označujemeinfimum mier všetkých ohraničenýchotvorených množín $\mathbf {P}$ , ktoré obsahujú množinu $\mathbf {M}$ , tzn.

\mu ^{*}(\mathbf {M} )=\inf _{\mathbf {M} \subset \mathbf {P} }\mu (\mathbf {P} )

Akovnútornú Lebesgueovu mieru $\mu _{*}(\mathbf {M} )$ neprázdnej množiny $\mathbf {M}$ označujemesuprémum mier všetkých ohraničenýchuzavretých množín $\mathbf {Q}$ , ktoré sú obsiahnuté v množine $\mathbf {M}$ , tzn.

\mu _{(}\mathbf {M} )=\sup _{\mathbf {Q} \subset \mathbf {M} }\mu (\mathbf {Q} )

Pre neprázdnu ohraničenú množinu $\mathbf {M}$ platí

0\leq \mu _{*}(\mathbf {M} )\leq \mu ^{*}(\mathbf {M} )

Ak platí $\mu ^{*}(\mathbf {M} )=\mu _{*}(\mathbf {M} )$ , potom množinu $\mathbf {M}$ označíme akomerateľnú v Lebesgueovom zmysle alebo skrátene(lebesgueovsky) merateľnú. Spoločnou hodnotou tejto miery potom nazývame(Lebesgueovou) mierou, tzn.

\mu (\mathbf {M} )=\mu ^{*}(\mathbf {M} )=\mu _{*}(\mathbf {M} )

Mieraspočítateľnej množiny, teda i množiny obsahujúcej konečný počet prvkov, je nulová.Nespočítateľné množiny môžu mať nenulovú mieru, existují však i nespočítateľné množiny s mierou nula. Okrem množín, na ktorých možno definovať mieru, ktoré označujeme akomerateľné, existujú tiež množiny, na ktorých mieru nemožno definovať. Tieto množiny nazývamenemerateľné.

Merateľná funkcia

[upraviť |upraviť zdroj]

Funkciu $f(x)$ , ktorá je definovaná na (ohraničenej) merateľnej množine $\mathbf {M}$ označíme ako(lebesgueovsky) merateľnú, ak je množina všetkýchbodov $x\in \mathbf {M}$ spĺňajúcich $f(x)<C$ merateľná pri ľubovoľnej voľbečíslaC.

Každáspojitá alebo po častiach spojitá funkcia je tiež merateľná.

Zdroj: „https://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=Lebesgueova_miera&oldid=7738761“

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp