Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Preskočiť na obsah
WikipédiaSlobodná encyklopédia
Hľadať

Gaussova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie

Gaussova veta (iné názvy:(Gaussova-)Ostrogradského (integrálna) veta,Gaussova-Ostrogradského formula,Greenova(-Ostrogradského) veta,Greenova transformácia,(Gaussova) veta o divergencii) jevetamatematickej analýzy, ktorá uvádza do súvislostitokvektorového poľaA(r) uzavretou jednoducho súvislou hladkou plochouΣ sintegrálom cezobjemV plochou uzavrený zdivergencie daného vektorového poľa.

∮ΣA⋅dS=∫V(∇⋅A)dV{\displaystyle \oint _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\mathrm {d} V},

kde∇⋅A{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} } jedivergencia vektorového poľaA(r){\displaystyle \mathbf {A} (r)},∇{\displaystyle \nabla } jeoperátornabla a plochaΣ=∂V{\displaystyle \Sigma =\partial V} je hranicakompaktnej množinyV, ktorá je orientovanávektorom vonkajšej normály, tzn.dS=ndS{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {n} \mathrm {d} S} an je vektor vonkajšej normály plochy, a jeregulárna aotvorená množina.

Zfyzikálneho hľadiska vyjadruje Gaussova veta skutočnosť, že tok vektoruA uzavrenou plochou je rovný objemovému integrálu z divergencie vektoruA.

Preskalárnu veličinuf možno zaviesť jej tok uzavretou plochouS vzťahom

∫V∇fdV=∮SfdS{\displaystyle \int _{V}\nabla f\mathrm {d} V=\oint _{S}f\mathrm {d} \mathbf {S} }

Pretenzorovú veličinuTij{\displaystyle T_{ij}} využijeme skutočnosti, že pokontrakcii jeTijdSj{\displaystyle T_{ij}\mathrm {d} S_{j}} tenzorom prvého stupňa. Gaussovu vetu pre tenzorovú veličinu potom môžeme vyjadriť ako

∫VdV∂∂xjTij=∮STijdSj{\displaystyle \int _{V}\mathrm {d} V{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}T_{ij}=\oint _{S}T_{ij}\mathrm {d} S_{j}}

Okrem uvedených vzťahov platí pre vektorA tiež vzťah

∫VrotAdV=−∮SA×dS{\displaystyle \int _{V}\mathrm {rot} \,\mathbf {A} \mathrm {d} V=-\oint _{S}\mathbf {A} \times \mathrm {d} \mathbf {S} }[1]

Referencie

[upraviť |upraviť zdroj]
  1. ↑P. HORÁK - Ľ. NIEPEL.Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-03-08].
PortalMatematický portál
Zdroj: „https://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaussova_veta&oldid=7969370“
Kategórie:
Skryté kategórie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp