Zmajolika krivulja (en.Dragon curve) jebeskonačno gusta krivulja koja je dobila ime pomitološkom biću kojemu sliči^[1]. Ponekad se to ime koristi za svefraktalnekrivulje koje se mogu konstruirati rekurzivnim metodama kao što jeLindenmayerov sustav.

Zmajolikom krivuljom (u užem smislu) obično se naziva ova krivulja. Prvi su je istraživaliNASA-inifizičariJohn Heighway, Bruce Banks i William Harter. Opisao ju je Martin Gardner u kolumniMatematičke igre (Mathematical Games) u časopisu Scientific American1967. godine. Bila je nacrtana na naslovnim stranicama dijelova romanaMichaela CrichtonaJurski park.

Najčešće se crta pomoćuL-sustava:

• kut: 90
• početak:FX
• pravila:
  • X${\displaystyle \mapsto }$ X + Y F +
  • Y${\displaystyle \mapsto }$ - F X - Y
• značenje:
  • F = "crtaj naprijed"
  • - = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 90"
  • + = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 90"

Dakle,

• prva iteracija: F X + Y F +
• druga iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F +
• treća iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F +
• četvrta iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F + + - F X + Y F + + - F X - Y F + - - F X + Y F + - - F X - Y F +

Osim toga, moguće ju je prikazati i kao sustav rekurzivnih funkcija ukompleksnoj ravnini:

${\displaystyle f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}}$

${\displaystyle f_2(z)=1-\frac{(1-i)z}{2}}$.

Unatoč čudnom obliku, zmajolika krivulja ima relativno jednostavnedimenzije:

Površina se jednostavno može vidjeti iz njezina popločenja: površina slike gore jest pola kvadratne jedinice.

Samosličnost je jasno vidljiva: svaki "dio" jemanji za${\displaystyle \sqrt{2}}$ irotiran za 45˚.

Fraktalna dimenzija joj je, kao i svim beskonačno gustim krivuljama uravnini 2, a fraktalna dimenzija njezine granice se procjenjuje na 1.5238.

Na engleskom poznatija pod nazivomtwindragon ("zmajevi blizanci"). Dobije se postavljajući dvije zmajolike krivulje jednu do druge (leđa o leđa) ilisustavom iteriranih funkcija:

${\displaystyle f_1(z)=\frac{(1+i)z}{2}}$

${\displaystyle f_2(z)=\frac{(1+i)z+1-i}{2}}$.

Zmajolika krivulja naWikimedijinoj ostavi

• Fraktali
• Beskonačno guste krivulje
• Peanova krivulja
• Hilbertova krivulja
• Krivulja Sierpińskog
• Lindenmayerov sustav (L-sustav)

• Fraktali