Movatterモバイル変換

Prirodni logaritam

Izvor: Wikipedija

Prirodni logaritam, od prijepoznat kaohiperbolički logaritam,^[1] jelogaritam zbbbabazuve, gdje jeeiracionalna konstanta, čija je približna vrijednost 2,718281828. Ponekad se koristi i nazivNapierov logaritam, iako se originalno značenje ovog termina malo drugačije.Jednostavno rečeno, prirodni logaritam brojax je stepen na kojeg se diže broje kako bi se dobio taj brojx – na primjer, prirodni logaritam brojae je 1 zato što jee¹ =e, dok je prirodni logaritam broja 1 broj 0, pošto jee⁰ = 1. Prirodni logaritam može se definirati za sve pozitivnerealne brojevex kaopovršina ispod krivey = 1/t u granicama od 1 dox, a može se definisati i kaokompleksni brojevi različiti od nule, kao što je obješnjeno u tekstu ispod.

Grafik funkcije prirodnog logaritma. Funkcija polahko raste ka pozitivnoj beskonačnosi kadax raste, a polako ide na negativnog beskonačnosti kadax teži ka nula 0.

Šablon:E (broj)

Funkcija prirodnog logaritma može se difinisati i kaoinverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što vodi do identiteta:

e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{ako je }}x>0\,\!

\ln(e^{x})=x.\,\!

Drugim riječima, logaritamska funkcija jebijekcija iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup svih realnih brojeva. Preciznije, to jeizomorfizam izgrupe pozitivnih realnih brojeva pod množenjem u grupu realnih brojeva pod sabiranjem. Predstavljeno kaofunkcija:

\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .

Logaritmi su definisani za svaku pozitivnu bazu osim za 1, a ne samo za bazue, te su korisni za rješavanje jednačina u kojima se nepoznata pojavljuje kao eksponent neke druge veličine.

Konvencije o oznakama

[uredi |uredi kod]

Matematičari, statističari i neki inženjeri općenito razumiju ili "log(x)" ili "ln(x)" u značenju log_e(x), npr., prirodni logaritam odx, i pišu "log₁₀(x)" ako se tražilogaritam baze 10 odx.

Neki inženjeri, biolozi i neki drugi naučnici općenito pišu "ln(x)" (ili ponekad "log_e(x)") kada koriste prirodni logaritam odx, a koriste "log(x)" kada koriste log₁₀(x) ili, u slučaju nekihinformatičara,log₂(x) (iako se ovo piše kao lg(x)).

Kod najčešće koristenihprogramskih jezika, uključujućiC,C++,MATLAB,Fortran iBASIC, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

U ručnimkalkulatorima, prirodni logaritam je označen saln, alog predstavlja logaritam baze 10.

U teoriji informacija i kriptografiji, "log(x)" označava "log₂(x)".

Osobine

[uredi |uredi kod]

$\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {za}}\quad 0<x<y\;$
${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {za}}\quad h>-1\;$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$

Derivacija, Taylorov red

[uredi |uredi kod]

Derivacija prirodnog logaritma je data sa

{\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,

Taylorovi polinomi za $\log _{e}$ (*1+x*) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu-1 < x ≤ 1. Uočite da su, zax > 1, Taylorovi polinomi višeg stepenagore aproksimacije.

{\displaystyle \log _{e}} — Taylorovi polinomi za $\log _{e}$ (*1+x*) pružaju tačnu aproksimaciju samo u intervalu-1 < x ≤ 1. Uočite da su, zax > 1, Taylorovi polinomi višeg stepenagore aproksimacije.

Ovo vodi doTaylorovog reda za $\ln(1+x)$ oko $0 {\displaystyle 0}$ ; također je poznat pod nazivomMercatorov red

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {za}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad

{\rm {osimakoje}}\quad x=-1

Desno je slika funkcije $\ln(1+x)$ i nekih njenihTaylorovih polinoma oko $0 {\displaystyle 0}$ . Ove aproksimacije konvergiraju u funkciju samo u oblasti-1 < x ≤ 1; van ove oblasti Taylorovi polinomi višeg stepena sugore aproksimacije za funkciju.

Uvrštavanjemx-1 umjestox, dobijamo alternativni oblik za ln(x)

\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}

\ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots

{\rm {za}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {osimakoje}}\quad x=0.

^[2]

KorištenjemEulerove transformacije na Mercatorov red, dobija se sljedeće, koje vrijedi sva svako x čija je apsolutna vrijednost veća od 1:

\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots

Ovaj red sličan jeBailey–Borwein–Plouffeovoj formuli.

Također uočite da je $x \over {x-1}$ također svoja inverzna funkcija, tako da kada želimo dobiti prirodni logaritam nekog brojay, jednostavno uvrstimo u $y \over {y-1}$ zax.

Prirodni logaritam u intergraciji

[uredi |uredi kod]

Prirodni logaritam dopušta jednostavnuintegraciju funkcija oblikag(x) =f '(x)/f(x):antiderivacija odg(x) je data sa ln(|f(x)|). Ovo je slučaj zbogpravila derivacije proizvoda i sljedeće činjenice: