Deo ravni u trodimenzionom prostoru, obeležen mrežom koordinata
Ravan iliravnina je jedan od osnovnih pojmovageometrije kojim se označava ravna površina koja se u svakom smeru širi do beskonačnosti. Da je ravna, znači da kroz svaku njenutačku može biti povučeno beskonačno mnogo različitihpravih koje ona u potpunosti sadrži. Iz ovoga sledi i da svaka ravan prostor u kome se nalazi razgraničava na dva jednaka dela.
U početnim upoznavanjima sa pojmom ravni, predstava o ravni se upoređuje sa glatkim površinama vode, uglačane ploče, itd. U daljem izučavanju sistematskog kursa geometrije ravan se uzima kao nedefinisani termin čija se posrednadefinicija daje uaksiomama geometrije.
Važne osobine ravni date su, na primer, sledećim aksiomama:
Ako dve tačke prave pripadaju ravni, onda sve tačke prave pripadaju ovoj ravni.
Tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni.
Veliki ruski matematičar N. I.Lobačevski je za definiciju ravni uzimao sledeću definiciju: Ravan jegeometrijsko mesto tačaka u prostoru koje su podjednako udaljene od dve date tačke. U izgradnji geometrije Lobačevski je polazio od pojmakretanja, i prema tome, i od pojmarastojanja između dve tačke.
RavanA u prostoru Rn se analitički može opisati jednom njenomtačkom ivektorom koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji joj pripada. Tada će za svaku tačku važiti:
,
iliti
Kako su i P konstante, izraz se može drugačije zapisati:
ovo je takozvanavektorska jednačina ravni koja se nakon razvoja skalarnog proizvoda, kao što je u izrazu ispod prikazano, nazivaopšta jednačina ravni:
Ravan u prostoru Rn može sadržati ili ne sadržati neku od tačaka istog. Algebarski, ovo se proverava tako što se koordinate tačke ubace na odgovarajuća mesta promenjivih u jednačinu ravni. Ukoliko je jednačina ravni zadovoljena, tačka pripada ravni. U suprotnom tačka ne pripada ravni.
Ukoliko tačka ne pripada ravni, onda postoji tačno jedna prava koja prolazi kroz tu tačku, i normalna je na ravan. Ta prava seče ravan u tačno jednoj tački koja je u stvariprojekcija prethodne tačke na datu ravan. Recimo da se ravan zoveA i da je određena tačkomP i njenim normalnim vektorom. Neka jeQ proizvoljna tačka istog prostora koja ne pripadaA. Tada za projekcijuQ' tačkeQ na ravanA važi sledeće:
Ovime se dobija jednačina sa nepoznatom α.
Nakon što se odredi vrednost α, tačkaQ' je određena već datom jednačinom:
Ovo rastojanje se specijalno u R3, kada su poznate trinekolinearne tačke ravniS, W, T, može izraziti i preko odnosazapremine ipovršine bazeprizme koju graderomboid određen sa ove tri tačke sa tačkomQ:
Ravan i prava u R3 imaju tri moguća međusobna položaja: prava je paralelna sa ravni (njen vektor je normalan na normalan vektor ravni), prava seče ravan u jednoj tački, prava pripada ravni. U prostorima veće dimenzije je moguće i da prava nema zajedničkih tačaka sa ravni ali da takođe nije paralelna sa njome. Ovaj položaj se naziva mimoilaženje.
Pretpostavimo da se pravap određena sa tačkom i vektorom, i ravanA određena sa tačkom i normalnim vektorom seku. Njihova tačka presekaL bi bila određena sa:
Kada se ovako dobijeni vektor koordinata tačkeL ubaci u jednačinu ravni, dobije se jednačina sa jednom nepoznatom, α. Nakon što se α odredi, treba je vratiti u gornju jednačinu. Rezultat su koordinate tačkeL.
Projekcija pravep na ravanA je ili jedna pravap' koja pripada ravniA, ili jedna tačkaP' na ravniA. Do drugog slučaja dolazi kada je pravap u stvari normalna na ravanA, a rezultujuća tačka je u stvari njihov presek.
Kada pravap nije normalna na ravanA, njena projekcija, pravap' se možekonstruisati krozprojekcije dve različite tačke pravep na ravanA.
Presek dve ravniA iB može biti prazan skup (ukoliko su ravni paralelne ili mimoilazne), jedna tačka (ukoliko su ravni u principu mimoilazne ali se dodiruju u jednoj tački), jedna prava (ukoliko se ravni seku) i ravan, ukoliko su ravni identične.
Odnos dve ravni, kao i njihov presek se daju odrediti rešavanjem sistema jednačina ove dve ravni. Pretpostavimo da su zadate dve ravni i
Rang rešenja sistema
određuje šta je rezultat preseka i ekvivalentan je dimenziji rezultujućeg potprostora. Samo rešenje sistema opisuje objekat dobijen presekom.
Dve ravni su paralelne ukoliko ih grade parovi vektora koji grade baze istog potprostora u datom prostoru. Ovi parovi vektora se u međusobnom odnosu još zovukoplanarni. Rastojanje dve ravni je konstantno, posmatrano iz bilo koje tačke jedne prema drugoj ravni. Stoga se može svesti narastojanje bilo koje tačke jedne ravni od druge ravni.
Ravni mogu biti mimoilazne u prostorima dimenzije veće od tri. Karakteristika ovako postavljenih ravni je da se ne seku po pravoj i da postoji tačno jedan par tačaka sa prve i druge ravni, za koje je rastojanje minimalno. Ukoliko se parametri ravni tako podese, da ove dve tačke imaju iste koordinate, ravni će se dodirivati samo u tim tačkama a rastojanje ove dve ravni je jednako nuli.
U opštem slučaju, rastojanje dve mimoilazne ravni se izračunava postavljanjem jednačine dužine vektora između ove dve ravni, i nalaženjem njenog minimuma diferenciranjem.
