Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Prijeđi na sadržaj
Wikipedija
Pretraga

Hiperboloid

Izvor: Wikipedija

Hiperboloid jeploha II reda uR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} zadatajednačinama:

Kada jea≠b{\displaystyle a\neq b}, naziva se eliptički hiperboloid.Kada jea=b{\displaystyle a=b}, hiperboloid je rotaciona ploha.

Može nastati na nekoliko načina.

Jednokrilni hiperboloid dobijen rotacijom hiperbole
  • Rotacijom prave oko njemu mimoilazne ose.
  • Bilo koje tri mimoilazne prave koje nisu paralelne s istom ravni ravnalice su jednokrilnog hiperboloida. Njihove transverzale čine izvodnice jednog sistema.

Jednokrilni hiperboloid ima dva sistema izvodnica tj. svakom njegovom tačkom prolaze dvije izvodnice, svaka iz jednog sistema.

Sve izvodnice istog sistema međusobno su mimoilazne, a svaka od njih siječe sve izvodnice drugog sistema.Bilo koje tri izvodnice jednog sistema možemo odabrati za ravnalice jednokrilnog hiperboloida.

Jednokrilni hiperboloid dobijen rotacijom prave

Dvokrilni rotacioni hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko prave koja prolaze kroz žiže.

Jednokrilni hiperboloidi

[uredi |uredi kod]

Jednokrilni eliptički hiperboloid

[uredi |uredi kod]

x2a2+y2b2−z2c2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\quad }

Linijska ploha s dva sistema izvodnica, tj. svakom tačkom te plohe prolaze dvije prave koje leže na toj plohi.

Realni presjeci ove plohe su:elipse,kružnice,parabole,hiperbole koje se raspadaju na par realnih pravi (presjeci plohe s njenim tangencijalnim ravnima).

Jednokrilni rotacioni hiperboloid

[uredi |uredi kod]

x2a2+y2a2−z2c2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\quad }

To je poseban slučaj gornje plohe (zaa=b{\displaystyle a=b}).Nastaje rotacijom hiperbole oko njene imaginarne ose ili rotacijom prave oko ose s kojom je ta prava mimoilazna. Ta prava je izvodnica koja pripada bilo kojem od dva sistema izvodnica ove plohe.

Parametarske jednačine

[uredi |uredi kod]

Jednokrilni hiperboloid

[uredi |uredi kod]
Jednokrilni hiperboloid

Ako se kao parametri uzmuu∈[0,2π){\displaystyle u\in [0,2\pi )} iv∈R{\displaystyle v\in \mathbb {R} } onda se jednokrilni eliptički hiperboloid može parametrizovati na više načina:x(u,v)=a1+v2cos⁡u{\displaystyle x(u,v)=a{\sqrt {1+v^{2}}}\cos u},

y(u,v)=b1+v2sin⁡u{\displaystyle y(u,v)=b{\sqrt {1+v^{2}}}\sin u},

z(u,v)=cu{\displaystyle z(u,v)=cu}

ili

x(u,v)=acosh⁡vcos⁡u{\displaystyle x(u,v)=a\cosh v\cos u}

y(u,v)=bcosh⁡vsin⁡u{\displaystyle y(u,v)=b\cosh v\sin u}

z(u,v)=csinh⁡v{\displaystyle z(u,v)=c\sinh v}

ili

x(u,v)=a(cos⁡u∓vsin⁡u){\displaystyle x(u,v)=a(\cos u\mp v\sin u)}

y(u,v)=b(sin⁡u±vcos⁡u{\displaystyle y(u,v)=b(\sin u\pm v\cos u}

z(u,v)=±cu{\displaystyle z(u,v)=\pm cu}.

U slučaju kad jea=b{\displaystyle a=b} drugi navedeni način parametrizacije realizuje jednokrilni hiperboloid rotacijom hiperbole, a treči prave okoz{\displaystyle z} ose.

Dvokrilni hiperboloid

[uredi |uredi kod]
Dvokrilni hiperboloid

Parametarska jednačina dvokrilnog eliptičkog hiperboloida je:

x(u,v)=asinh⁡vcos⁡u{\displaystyle x(u,v)=a\sinh v\cos u}

y(u,v)=bsinh⁡vsin⁡u{\displaystyle y(u,v)=b\sinh v\sin u}

z(u,v)=±csinh⁡v{\displaystyle z(u,v)=\pm c\sinh v}, gdjeu∈[0,pi){\displaystyle u\in [0,pi)} iv∈R{\displaystyle v\in \mathbb {R} }.

Poopštenje kanonske jednačine

[uredi |uredi kod]

Hiperboloid sa centrom u tačkic{\displaystyle \mathbf {c} }, proizvoljneorjentacije,definiše se jednačinom

(x−c)TA(x−c)=1{\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {c} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {c} )=1}gdje sux{\displaystyle \mathbf {x} } ic{\displaystyle \mathbf {c} } vektori dimenzije 3x1, amatrica,A{\displaystyle A} je dimenzija 3x3 i mora biti regularna(detA≠0){\displaystyle (detA\neq 0)} i simetrična(A=AT){\displaystyle (A=A^{T})}.

Presjeci

[uredi |uredi kod]

U svakoj tački jednokrilnog hiperboloida dirnaravan određena dvjema izvodnicama koje se u njoj sijeku.

Osim dviju izvodnica presjek jednokrilnog hiperboloida može biti:

  • Hiperbola (ako je presječna ravan paralelna s dvije njegove ukrštene izvodnice)
  • Parabola (ako je presječna ravan paralelna s dvije njegove paralelne izvodnice)
  • Elipsa (ako presječna ravan nije paralelna niti s jednom njegovom izvodnicom).
  • Dvije prave koje se sijeku
  • Dvije pralelne prave

Presjek dvpkrilnog hipernoloida i ravni može biti

U prostorima dimenzije veče od tri

[uredi |uredi kod]

U matematici viših dimenzija često se spominju imaginarni hiperboloidi. Ako se posmatra pseudo-Euklidski prostor ipolinom

p(x)=(x12+⋯+xk2)−((xk+12+⋯+xn2)){\displaystyle p(x)=(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})-((x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))}, zak<n{\displaystyle k<n}

dio prostira{x|p(x)=c}{\displaystyle \{x|p(x)=c\}}, gdje jec{\displaystyle c} c konstanta, naziva se hiperboloid.Ovakvi hiperboloidi nazivaju i kvazi-sfere zbog sličnosti izmedjusfere i hiperboloida.

Vanjske veze

[uredi |uredi kod]
Hiperboloid naWikimedijinoj ostavi
Izvor:https://sh.wikipedia.org/w/index.php?title=Hiperboloid&oldid=40803535
Kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp