Hilbertov sistem aksioma je prvi put objavljen na samom kraju 19. veka u delu: DrDavid Hilbert,Osnove geometrije (David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899), kao odgovor na tadašnje fundamentalne problemeEuklidske geometrije. Knjiga koja je mnogo puta prevođena i prerađivana, da bi danas bila poznata pod imenomHilbertove osnove geometrije. Kod nas je 1957. godine izašla pod uredništvom akademikaRadivoja Kašanina, tadašnjeg upravnikaMatematičkog instituta SANU, i u prevodu Ž. Garašanina sa 8.nemačkog izdanja, koje ovde sledimo. Iste Hilbertove aksiome geometrije su štampane u serijama izdanja udžbenika srednjih škola, uglavnom u skraćenom obliku. To je osnova za onaj deomatematike koji nazivamo elementarnageometrija.
Mi zamišljamo tri različita sistema stvari: stvariprvog sistema nazivamotačkama i označavamo ih sa A, B, C,...; stvaridrugog sistema nazivamopravama i označavamo ih sa a, b, c,...; stvaritrećeg sistema nazivamoravnima i označavamo ih sa α, β, γ,...; tačke se nazivaju ielementima linearne geometrije, tačke i prave se nazivaju elementimaelementima ravne geometrije, a tačke, prave i ravni se nazivajuelementima prostorne geometrije, ilielementima prostora.
Mi zamišljamo tačke, prave i ravni u izvesnim međusobnim odnosima i označavamo ove odnose rečima „ležati“, „između“, „podudarno“, „paralelno“, „neprekidno"; tačan i za matematičke svrhe potpun opis ovih odnosa postiže se pomoćuaksioma geometrije.
Aksiomegeometrije možemo podeliti u pet grupa; svaka pojedinačno od ovih grupa izražava izvesne povezane osnovne činjenice našeg opažanja. Mi ćemo ove grupe aksioma nazivati na sledeći način:
Aksiome ove grupe predstavljaju vezu između gore navedenih stvari:tačaka,pravih iravni. Nazivaju se iaksiome incidencije.
Za dve tačkeA iB postoji tačno jedna pravaa = b koja pripada svakoj od ovih dveju tačaka.
I-1 Za dve tačke A, B, postoji uvek pravaa koja pripada svakoj od ovih dveju tačaka A, B.
I-2 Za dve tačke A, B, ne postoji više od jedne prave koja bi pripadala svakoj od dveju tačaka A, B.
Ovde, i dalje, pod dvema, trima, ... tačkama odnosno pravama, ravnima uvek se podrazumevajurazličite tačke, odnosno prave, ravni. Umestopripadati reći ćemo i npr. pravaa prolazi kroz A i B, ili vezuje A sa B, A leži naa, A je tačka pravea, postoji tačka A naa itd. Ako tačka A leži na pravoja i, osim toga, na drugoj pravojb, upotrebićemo takođe izraze: pravea ib se seku u tački A, imaju tačku A zajedničku itd.
I-3 Na pravoj postoje uvek najmanje dve tačke. Postoje najmanje tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj.
I-4 Ma za koje tri tačke A, B, C, koje ne leže na istoj pravoj, postoji uvek ravan α koja pripada svakoj od ove tri tačke A, B, C. Za svaku ravan uvek postoji tačka koja joj pripada.
Mi ćemo upotrebljavati i izraze A leži u α, A je tačka ravni α itd.
I-5 Za ma koje tri tačke A, B, C, koje ne leže na istoj pravoj ne postoji više od jedne ravni koja pripada svakoj od ovih triju tačaka A, B, C.
I-6 Ako dve tačke A, B pravea leže u ravni α, onda svaka tačka pravea leži u ravni α.
U ovom slučaju kažemo pravaa leži u ravni α itd.
I-7 Ako dve ravni α, β imaju zajedničku tačku A, onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku B.
I-8 Postoje najmanje četiri tačke koje ne leže u jednoj ravni.
Aksioma I-7 izražava da prostor nema više od tri dimenzije, aksioma I-8 izražava da prostor nema manje od tri dimenzije.
Aksiome I-1-3 mogu se nazvati aksiomama ravni grupe I za razliku od aksioma I-4-8 koje nazivamo prostornim aksiomama grupe I.
Stav 1
Dve prave koje leže u istoj ravni imaju ili jednu zajedničku tačku, ili nemaju nijednu zajedničku tačku; dve ravni ili nemaju nijednu zajedničku tačku, ili imaju zajedničku pravu i osim toga nijednu drugu zajedničku tačku; ravan i prava koja ne leži u ovoj ravni ili nemaju nijednu zajedničku tačku ili imaju jednu zajedničku tačku.
Stav 2
Kroz pravu i tačku koja ne leži na ovoj pravoj, kao i kroz dve različite prave sa zajedničkom tačkom, prolazi uvek jedna i samo jedna ravan.
Postoji još stavova koji proizlaze iz aksioma I-1-8.
Neka su na pravoja date dve tačke A i B; sistem dveju tačaka A i B zvaćemoduž i označavati sa AB ili BA. Tačke između A i B zvaćemo tačkama duži AB ili tačkama koje leže uunutrašnjosti duži AB; tačke A i B nazivaju sekrajnjim tačkama duži AB. Sve ostale tačke pravea nazivaju se tačkama koje leževan duži AB.
II-4 Neka su A, B, C tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj i neka jea prava u ravni ABC koja ne prolazi ni kroz jednu od tih tačaka; ako tada data prava prolazi kroz jednu od tačaka duži AB, ona mora prolaziti kroz jednu od tačaka duži AC, ili tačaka duži BC.
Ove aksiome je prvi detaljno ispitao M. Paš u svojimVorlesungen uber neuere Geometrie, Leipzig 1882. godine. Naročito je aksioma II-4 Pašova, i slobodno izrečena ona glasi: ako prava ulazi u unutrašnjosttrougla, ona i izlazi iz njega. Da pravaa pri tome ne može presecati obe duži AC i BC, može se dokazati.
Aksiome ove grupe definišu pojam podudarnosti a time i pojam kretanja.
Definicija
Duži stoje u izvesnim odnosima među sobom, za čija nam označavanja služe rečipodudarno (kongruentno) ilijednako.
III-1 Ako su A, B dve tačke na pravoj a i ako je, dalje, A' tačka na istoj ili na drugoj pravoj a', onda se može uvek naći takva tačka B' prave a' na datoj strani od tačke A', da duž AB bude podudarna ili jednaka duži A'B', što označavamo na sledeći način: AB≡A'B'.
Poredak tačaka u definiciji nije uzet u obzir, zato sledeće formule imaju isto značenje: AB≡A'B', AB≡B'A', BA≡A'B', BA≡B'A'. Sama aksioma III-1 zahteva mogućnostprenošenja duži, za koju je potrebnajednoznačnost takvog prenošenja, a koju ćemo dokazati kasnije.
III-2 Ako su duži A'B' i A"B" podudarne jednoj istoj duži AB, biće i duž A'B' podudarna duži A"B", ili kratko: ako su dve duži podudarne trećoj, podudarne su i među sobom.
Da je podudarnost dužirelacijaekvivalencije sledi neposredno iz dve prethodne aksiome. Refleksivnost, tj. osobina da je svaka duž podudarna samoj sebi, sledi kada prenesemo duž AB na proizvoljnu polupravu tako da je konstruisana druga duž A'B' podudarna prvoj AB i tada prema aksiomi III-2 sledi podudarnost prve sa prvom. Zatim neposredno sledi osobinasimetrije, ako je prva podudarna sa drugom, onda je druga podudarna sa prvom. Konačno sledi i relacijatranzitivnosti, ako je druga od duži podudarna sa trećom, tj. A'B'≡A"B", tada je prva od duži podudarna sa trećom, tj. AB≡A"B".
III-3 Neka su AB i BC dve duži na pravoj a bez zajedničkih tačaka i neka su, dalje, A'B' i B'C' dve duži na istoj pravoj a ili na nekoj drugoj pravoj a' koje isto tako nemaju zajedničkih tačaka; ako je tada AB≡A'B' i BC≡B'C', biće uvek i AC≡A'C'.
Ova aksioma izražavamogućnost sabiranja duži. Što se tiče uglova, osimmogućnosti prenošenja, aksiomima se mora zahtevati i relacijajednoznačnost, da bi serelacija tranzitivnosti, i mogućnost sabiranja, mogli dokazati.
Definicija
Neka je proizvoljna ravan, a i neka su ma koje različite poluprave koje izlaze iz tačke O u ravni i pripadajuraznim pravama. Sistem od dve poluprave nazivaćemouglom i označavaćemo ga sa ili sa
Definicija
Uglovi stoje u izvesnim međusobnim odnosima za čije nam označavanje takođe služe rečipodudarno (kongruentno) ilijednako.
Poluprave h, k nazivaju sekracima ugla, a tačka O naziva setemenom ugla. Položeni i (ispruženi) i ispupčeni (tupi) uglovi isključeni su ovom definicijom. Neka poluprava pripada pravoj a poluprava pravoj Poluprave i uzete zajedno sa tačkom O, dele ostale tačke ravni u dve oblasti: za sve tačke koje sa leže sa istoj strani sa i sa sa iste strane sa kažemo da leže uunutrašnjosti ugla za sve druge tačke kažemo da leže uspoljašnosti ili van ovog ugla.
III-4 Neka je dat ugao u ravni i prava u ravni kao i određena strana ravni prema pravoj. Neka označava polupravu prave koja polazi iz tačke O'; onda u ravni postoji jedna i samo jedna poluprava tako da je ugao podudaran ili jednak uglu i u isto vreme sve unutrašnje tačke ugla nalaze se na datoj strani od prave, što ćemo označiti na ovaj način Svaki je ugao podudaran samom sebi.
Ugao sa temenom u tački B na čijem jednom kraku leži tačka A, a na drugom tačka C, označava se sa ili kratko. Uglovi se označavaju i malim grčkim slovima.
IV (Euklidova aksioma). Neka jea proizvoljnaprava i Atačka vana: tada postoji uravni, određenoj pravoma i tačkom A, najviše jedna prava koja prolazi kroz A i ne presecaa.
V-1 (Aksioma merenja iliArhimedova aksioma). Ako su AB i CD ma koje dveduži, onda postoji neki takavbroj n, da kada se duž CD prenese n od A jedno za drugim popolupravoj koja prolazi kroztačku B prelazi se preko tačke B.
V-2 (Aksioma linearne potpunosti). Sistem tačaka neke prave sa svojim relacijama rasporeda i kongruencije ne može se tako proširiti, da ostanu očuvane relacije koje postoje između prethodnih elemenata kao i osnovne osobine linearnog rasporeda i kongruencije koje proističu iz aksioma I-III, i aksiome V-1.
