Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Prijeđi na sadržaj
Wikipedija
Pretraga

Faktorijel

Izvor: Wikipedija
n{\displaystyle n}n!{\displaystyle n!}
01
11
22
36
424
5120
6720
75040
840320
9362880
103628800
151307674368000
202432902008176640000
2515511210043330985984000000
503,04140932... · 1064
701,19785717... ·10100
4501,73336873... · 101 000
32496,41233768... · 1010 000
252061,205703438... · 10100 000

Faktorijel prvih nekoliko brojeva i faktorijel nekih većih brojeva

faktorijel (engl.factorial, premalat.factor), umatematici, funkcija koja svakom nenegativnom cijelom brojun{\displaystyle n} pridružuje proizvod svih pozitivnih brojeva manjih ili jednakihn{\displaystyle n}. Na primjer,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120 {\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\ }
i
6!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6=720 {\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720\ }

gdjen!{\displaystyle n!} predstavlja n-faktorijel.Oznakun!{\displaystyle n!} je prvi uveoKristijan Kramp,1808. godine.

Definicija

[uredi |uredi kod]

Faktorijel se formalno definiše na sljedeći način

n!=∏k=1nk∀n∈N.{\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!}

Gornja definicija pretpostavlja da je:

0!=1 {\displaystyle 0!=1\ }

Ova definicija je korisna jerrekurzivna definicija faktorijela glasi

(n+1)!=n!(n+1){\displaystyle (n+1)!=n!(n+1)},

za šta je neophodno da faktorijel broja 0 bude 1.

Kombinatorika

[uredi |uredi kod]

Faktorijel je važan ukombinatorici. Na primjer, postoji ukupnon!{\displaystyle n!} različitih načina da se rasporedin{\displaystyle n} različitih objekata (ovi različiti načini rasporeda se zovupermutacije). Broj načina na koji se može izvućik{\displaystyle k} objekata iz skupa odn{\displaystyle n} objekata (brojkombinacija), je dat takozvanimbinomnim koeficijentom:

(nk)=n!k!(n−k)!{\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}

Teorija brojeva

[uredi |uredi kod]

Faktorijel se mnogo koristi uteoriji brojeva. Konkretno,n!{\displaystyle n!} je uvijek djeljiv svim prostim brojevima do i uključujućin{\displaystyle n}. Posljedično,n>5{\displaystyle n>5} je kompozitan broj ako i samo ako

(n−1)! ≡ 0 (mod n){\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0\ ({\rm {mod}}\ n)}.

Štaviše, imamoVilsonovu teoremu koja tvrdi

(p−1)! ≡ −1 (mod p){\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\rm {mod}}\ p)}

ako i samo ako jep{\displaystyle p} prost broj.

Jedini faktorijel broja a koji je istovremeno iprost broj je broj 2, ali ima mnogo prostih brojeva oblikan!±1{\displaystyle n!\pm 1}.

Dvostruki faktorijel n!!

[uredi |uredi kod]

n!!{\displaystyle n!!} nije jednako(n!)!{\displaystyle (n!)!}

n!!={1, za n=0 ili n=1;n(n−2)!!za n≥2.{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
  • 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
  • 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Brzina rasta funkcije

[uredi |uredi kod]
Grafik prirodnog logaritma faktorijela

Kakon{\displaystyle n} raste, faktorijeln!{\displaystyle n!} postaje veći od svih polinomijalnih i eksponencijalnih funkcija odn{\displaystyle n}.

Kad jen{\displaystyle n} veliko,n!{\displaystyle n!} se procjenjuje sa velikom preciznošću koristećiStirlingovu aproksimaciju:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Logaritam faktorijela se može iskoristiti da bi se izračunalo koliko će cifara u datom brojnom sistemu imati faktorijel zadatog broja.log(n!){\displaystyle log(n!)} se može lako izračunati na sljedeći način:

∑k=1nlog⁡k.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\log k}.}

Treba obratiti pažnju da ova funkcija, kad joj se nacrta grafik, izgleda približno linearna, za male vrijednosti; ali faktorlog⁡n!n{\displaystyle {\log n!} \over n} raste do prilično velikih vrijednosti, premda jako sporo.Grafiklog(n!){\displaystyle log(n!)} zan{\displaystyle n} između 0 i 20,000 je prikazan desno.

Izračunavanje

[uredi |uredi kod]

Vrijednostn!{\displaystyle n!} se može izračunatimnoženjem svih prirodnih brojeva don{\displaystyle n}, akon{\displaystyle n} nije veliko. Najveći broj za kojeg većinakalkulatora može izračunati vrijednost je69!{\displaystyle 69!}, jer je70!>10100{\displaystyle 70!>10^{100}}.11!{\displaystyle 11!} i20!{\displaystyle 20!} su, tim redom, najveći brojevi čiji faktorijel može da stane u standardne cjelobrojnepromjenljive kod tridesetdvobitnih i šezdesetčetvorobitnih računara. U praksi, većina programa računa ove male brojeve direktnim množenjem ili vađenjem rezultata iz tabele. Faktorijeli većih brojeva se računaju obično aproksimacijom, koristeći Stirlingovu formulu.

U teoriji brojeva i kombinatorici, često su potrebne tačne vrijednosti faktorijela velikih brojeva. Faktorijeli velikih brojeva se mogu izračunati direktnih množenjem, ali množenje redom1⋅2⋅...⋅n{\displaystyle 1\cdot 2\cdot ...\cdot n} odozdo nagore je neefikasno; bolje je rekurzijom podijeliti sekvencu tako da je veličina svakog potproizvoda manja.

Povezano

[uredi |uredi kod]
Izvor:https://sh.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktorijel&oldid=42175621
Kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp