Экспоне́нта —показательнаяфункция${\displaystyle f(x)=\exp (x)=e^x}$, где${\displaystyle e\approx \mathrm{2,718}}$ —число Эйлера.

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, черезряд Тейлора:

${\displaystyle e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots }$

или черезпредел:

${\displaystyle e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n}$.

Здесь${\displaystyle x}$ — любоекомплексное число.

Словоэкспонента происходит от лат. «exponere», что переводится как«выставить вперёд; показать», которое в свою очередь произошло от лат. приставки«ex-» («впереди») и лат. слова«ponere» («ставить, расположить»);^[1] Смысл использования такого слова для показателя степени заключается в том, что знак экспоненты «ставят вне» привычной линии письма${\displaystyle a^x}$(немного выше и правее места, где обычно должна быть поставлена цифра).

• ${\displaystyle (e^x{)}^{\prime }=e^x}$, а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения${\displaystyle y^{\prime }=y}$ с начальными данными${\displaystyle y(0)=1}$. Кроме того, через экспоненту выражаются общие решенияоднородных дифференциальных уравнений.
• Экспонентаопределена на всей вещественной оси. На ней экспонента всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента —выпуклая функция.
• Обратная функция к ней —натуральный логарифм${\displaystyle (\ln x)}$.
• Преобразование Фурье экспоненты —обобщённая функция, а именнодельта-функция Дирака.
• Преобразование Лапласа экспоненты${\displaystyle e^{ax}}$ определено в области.
• Производная в нуле равна${\displaystyle 1}$, поэтомукасательная к экспоненте в этой точке проходит под углом${\displaystyle {45}^{\circ }}$ или${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.
• Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

  ${\displaystyle e^{a+b}=e^a{e}^b}$.

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна${\displaystyle 0}$, либо имеет вид${\displaystyle \exp (cx)}$, где${\displaystyle c}$ — некоторая константа.

• ${\displaystyle e^x=\mathrm{sh}x+\mathrm{ch}x}$, где${\displaystyle \mathrm{sh}}$ и${\displaystyle \mathrm{ch}}$ —гиперболические синус и косинус.
• С экспоненциальной функцией легко оперировать, поскольку производная экспоненциальной функции равна самой экспоненциальной функции и интеграл от экспоненциальной функции равен экспоненциальной функции. По этой причине решения многих типов дифференциальных уравнений конструируются в виде комбинаций экспоненциальных функций.
• В приложениях экспонента участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент пропорциональна самому количеству. Например, при размножении микроорганизмов делением их число возрастает по экспоненте. Чем больше микроорганизмов становится, тем быстрее нарастает их биомасса (при отсутствии смертности).

• Процессы, развивающиеся по экспоненциальному закону, являются весьма «опасными». Сперва развитие протекает относительно медленно и может быть либо не замечено, либо вовремя не приняты меры для его предотвращения, либо меры затягиваются, так как создается иллюзия большого запаса времени. Затем развитие начинает стремительно ускоряться. Переход от «медленного» участка к «быстрому» происходит настолько резко, что на него уже не успевают отреагировать. Например, при распространении эпидемий, в начале эпидемии количество больных невелико и их прирост небольшой. Но постепенно число заболевших начинает нарастать настолько быстро, что что система здравоохранения перестает справляться с наплывом больных, если на «медленном» участке развития эпидемии не были предприняты меры для обслуживания большого количества заболевших.

Комплексная экспонента —математическая функция, задаваемая соотношением${\displaystyle f(z)=e^z}$, где${\displaystyle z}$ естькомплексное число. Комплексная экспонента определяется каканалитическое продолжение экспоненты${\displaystyle f(x)=e^x}$ вещественного переменного${\displaystyle x}$:

Определим формальное выражение

${\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}}$.

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказатьаналитичность функции${\displaystyle e^z}$, то есть показать, что${\displaystyle e^z}$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

${\displaystyle f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}}$.

Сходимость данного ряда легко доказывается:

${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \left|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\right|\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{x^n}{n!}\right|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{|x{|}^n}{n!}}=e^{|x|}}$.

Ряд всюдусходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции${\displaystyle f(z)=e^z}$. Согласнотеореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция${\displaystyle e^z}$ всюду определена и аналитична.

• Комплексная экспонента —целаяголоморфная функция на всейкомплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
• ${\displaystyle e^z}$ —периодическая функция с основным периодом 2πi:${\displaystyle e^{i\phi }=e^{i(\phi +2\pi )}}$. В силу периодичности комплексная экспонентабесконечнолистна. В качестве еёобласти однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой${\displaystyle 2\pi }$.
• ${\displaystyle e^z}$ — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а соответственно, ипервообразная) которой совпадает с исходной функцией.
• Алгебраически экспонента от комплексного аргумента${\displaystyle z=x+iy}$ может быть определена следующим образом:

  ${\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)}$ (формула Эйлера).

  • В частности, имеет местотождество Эйлера:

    ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольнойассоциативной алгебры.В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Экспоненту отквадратной матрицы (илилинейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

${\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^k}{k!}.}$

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора${\displaystyle A}$ с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы${\displaystyle A:}$${\displaystyle \exp \Vert A\Vert .}$ Следовательно, экспонента от матрицы${\displaystyle A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}}$ всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решениялинейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение${\displaystyle \dot{x}=Ax,x\in {\mathbb{R}}^n}$ с начальным условием${\displaystyle x(0)=x_0}$ имеет своим решением${\displaystyle x(t)=\exp (At)x_0.}$

Введение${\displaystyle h}$-экспоненты основано навтором замечательном пределе:

${\displaystyle e_h(x)=(1+h{)}^{\frac{x}{h}}.}$

При${\displaystyle h\to 0}$ получается обычная экспонента^[2].

Обратная функция к экспоненциальной функции —натуральный логарифм.Обозначается${\displaystyle \ln x}$:

${\displaystyle \ln x={\log }_{e}x.}$

• Показательная функция
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Экспоненциальный рост
• Двойная экспоненциальная функция

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)

• Элементарные функции
• Элементарные функции комплексной переменной

• Википедия:Cite web (не указан язык)