Сложе́ние (прибавле́ние^[2]) — одна из основныхбинарныхматематических операций (арифметических действий) двухаргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. То есть каждой паре элементов${\displaystyle (a,b)}$ из множества${\displaystyle A}$ ставится в соответствие элемент${\displaystyle c=a+b}$, называемый суммой${\displaystyle a}$ и${\displaystyle b}$.

Обратная операция к сложению —вычитание^[3].

Это одна из четырёхэлементарных^[англ.]математических операцийарифметики.Приоритет её в обычном порядке операций равен приоритетувычитания, но ниже, чем увозведения в степень,извлечения корня,умножения иделения^[4]. На письме сложение обычно обозначается с помощью знака «плюс»:${\displaystyle a+b=c}$, то естьаддитивной записью.

У сложения есть несколько важных свойств (например, для${\displaystyle A=}$${\displaystyle \mathbb{R}}$) (см.Сумма):

• Коммутативность:${\displaystyle a+b=b+a,\mathrm{\forall }a,b\in A;}$➤
• Ассоциативность:${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),\mathrm{\forall }a,b,c\in A;}$➤
• Дистрибутивность:${\displaystyle x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)}$ и${\displaystyle (a+b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x),\mathrm{\forall }a,b\in A;}$
• Прибавление${\displaystyle 0}$ (нулевого элемента) даёт число, равное исходному:${\displaystyle x+0=0+x=x,\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }0\in A.}$

Используя систематические обобщения, сложение можно определить для абстрактных величин, таких какцелые числа,рациональные числа,вещественные числа икомплексные числа и для других абстрактных объектов, таких каквекторы иматрицы.

Сложение возможно, только если оба аргумента принадлежат одномумножеству элементов (имеют одинаковыйтип). Так, на картинке справа запись${\displaystyle 3+2}$ обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме даёт пять яблок. Но нельзя сложить, например, 3 яблока и 2 груши.

Как правило, сложение не используется для наименования операций, которые не подчиняются коммутативному и ассоциативному законам^[5][6].

В теории групп обычно сложением называют операцию вабелевой группе (приаддитивной записи) и тубинарную операцию вкольце, относительно которой элементы кольца образуют абелеву группу, где сложение ассоциативно и коммутативно. Иногда сложением называется и некоммутативная групповая операция, например, операция вмультиоператорной группе^[3].

Сложение небольших чисел является одним из первых навыков, прививаемых детям в начальной школе.

Известны различные устройства для сложения: от древнихабаков и классическихрусских счётов до современныхкомпьютеров икалькуляторов.

Сложение записывается с использованиемсимвола плюса «+» между слагаемыми; такая форма записи называетсяинфиксной нотацией. Результат записывается с использованиемзнака равенства. Например,

• ${\displaystyle a+b=c}$ («а плюс бэ равно цэ»)
• ${\displaystyle 1+1=2}$ («один плюс один равно двум»)
• ${\displaystyle 2+2=4}$ («два плюс два равно четырём»)
• ${\displaystyle 5+4+2=11}$ (см. «ассоциативность»ниже)
• ${\displaystyle 3+3+3+3=12}$ (см. «умножение»ниже)

В ряде ситуаций подразумевается сложение, но при этом символы сложения не используются:

• В записи чисел в позиционных системах счисления: запись числа${\displaystyle a_{n-1}{a}_{n-2}\dots a_1{a}_0,}$ подразумевает суммирование ряда${\displaystyle a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\dots +a_1\cdot P^1+a_0\cdot P^0}$^[7].
• Если имеется столбец чисел, последнее (нижнее) число в которомподчёркнуто, то обычно подразумевается, что все числа в этом столбце складываются, а полученная сумма записывается ниже подчёркнутого числа.
• Если имеется запись, когда переддробью стоит целое число, то эта запись означает сумму двух слагаемых — целого числа и дроби, которую называютсмешанным числом^[8]. Например,
  3½ = 3 + ½ = 3.5.
  Такая запись может вызвать путаницу, поскольку в большинстве других случаев подобная запись означаетумножение, а не сложение^[9].

Суммаряда связанных чисел может быть записана с использованием символа Σ, который позволяет компактно записатьитерацию. Например,

${\displaystyle \sum _{k=1}^5{k}^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55.}$

Слагаемые — это числа или объекты, складываемые друг с другом^[10].

Символ плюса «+» (Юникод:U+002B;ASCII:+) — упрощение латинского слова «et», означающего «и»^[11]. Впервые этот символ встречается в книгах, начиная с 1489 г.^[12]

Сложение используется для моделирования бесчисленного множества физических процессов. Даже для простого сложениянатуральных чисел существует много различных интерпретаций и ещё больше способов визуального представления.

Возможно, самая фундаментальная интерпретация сложения — комбинирование наборов:

• Если два или более не пересекающихся наборов объектов объединены в один набор, то число объектов в полученном наборе равно сумме числа объектов в исходных наборах.

Эту интерпретацию легко визуализировать, при этом опасность двусмысленности будет минимальной. Однако непонятно, как с помощью этой интерпретации сложения объяснить сложение дробных или отрицательных чисел^[13].

Одним из возможных решений будет обращение к набору объектов, которые могут быть легко разделены, например, пироги или стержни с сегментами^[14]. Вместо комбинирования наборов сегментов стержни могут быть присоединены друг к другу концами, что иллюстрирует другую концепцию сложения: складываются не стержни, складываются их длины.

Вторая интерпретация сложения заключается в расширении начальной длины на величину добавляемой длины:

• Когда начальная длина расширяется добавляемой длиной, то полученная длина равна сумме начальной длины и длины, которую к ней добавили^[15].

Суммуa +b можно интерпретировать какбинарную операцию объединенияa иb в алгебраическом смысле, также её можно интерпретировать как добавлениеb единиц к числуa. В последней интерпретации части суммыa +b играют асимметричные роли, и операцияa +b рассматривается как применение к числуaунарной операции +b^[16]. Унарный подход позволяет перейти квычитанию, ведь каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания и наоборот.

Операция сложения на числовых множествах${\displaystyle \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}}$ имеет следующие основные свойства:

Сложениекоммутативно — от перемены мест слагаемых сумма не меняется (это свойство также известно какпереместительный закон сложения):${\displaystyle a+b=b+a,\mathrm{\forall }a,b\in A.}$Есть и другие законы коммутативности: например, существует коммутативный закон умножения. Тем не менее многиебинарные операции, например, вычитание и деление, не коммутативны.

Сложениеассоциативно — при последовательном выполнении сложения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения (сочетательный закон сложения):${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),\mathrm{\forall }a,b,c\in A.}$

Сложениедистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве (распределительный закон)^[17] :${\displaystyle x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\mathrm{\forall }a,b\in A.}$

Относительно сложения в множестве${\displaystyle A}$ существует единственныйнейтральный элемент, сложение числа с${\displaystyle 0}$ (нулевым или нейтральным элементом) даёт число, равное исходному:${\displaystyle x+0=0+x=x,\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }0\in A.}$

Этот закон был впервые описан вИсправленном трактате Брахмы^[англ.], который был написанБрахмагуптой в 628 г. Он написал этот закон в виде трёх отдельных законов: для отрицательного, положительного и нулевого числаa, и для описания этих законов он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики уточнили понятия; около 840 г.,Махавира^[англ.] написал, что «ноль становится таким же, как то, что добавляется к нему», что соответствовало записи 0 +a =a. В XII векеБхаскара II написал: «Если добавить ничего или вычесть ничего, то количество, положительное или отрицательное, остаётся таким же, как и было», что соответствует записиa + 0 =a^[18].

Сложение спротивоположным элементом даёт${\displaystyle 0}$:${\displaystyle a+(-a)=0,\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }-a\in A.}$^[19]

Кроме того, сложение не выводит результат за пределы данного множества чисел, следовательно,${\displaystyle \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}}$замкнуты относительно операции сложения. Эти множества с операциями${\displaystyle +}$ и${\displaystyle \cdot }$ образуюткольца (коммутативные кольца с единицей)^[20].На языкеобщей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что${\displaystyle \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}}$ —абелевы группы относительно операции сложения.

Операцию сложения можно представить как некий «чёрный ящик» с двумя слагаемыми на входе и одним выходом - суммой:^[21][22]

При практическом решении задачи сложения двухчисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: "простое сложение"^{[источник не указан 3365 дней]}, перенос, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы сложения, например для чисел, дробей, векторов и др. На числовых множествах используетсяалгоритмпоразрядного сложения^[23]. При этом следует рассматривать сложение какпроцедуру (в отличие от операции).

Примерный алгоритм процедуры поразрядного сложения двух чисел^[24]

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при сложении больших чисел может занять продолжительное время.

"Простое сложение" - в данном контексте обозначает операцию сложения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена кинкрементированию.^{[источник не указан 3365 дней]} являетсягипероператором инкрементирования:

${\displaystyle a+b=\mathrm{hyper1}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,1,b)=a^{(1)}b.}$

${\displaystyle a{}^{(1)}b=a+b=\underset{a}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}+\underset{b}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}.}$

где${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ - последовательность операций инкрементирования, выполненная${\displaystyle a}$ и${\displaystyle b}$ раз.

В худшем случае нахождение десятичной суммы двух десятичных одноразрядных чисел последовательным инкрементированием выполняется за 9 + 9 = 18 операций инкрементирования. В табличном десятичномполусумматоре нахождение десятичной суммы двух десятичных одноразрядных чисел выполняется за одну операцию чтения числа из массива чисел 10x10, т.е. быстрее, чем последовательным инкрементированием.

"Простое сложение" (одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное сложение) является одной из${\displaystyle {10}^{200}}$ бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых)десятичных логических функций с бинарным (двухразрядным) результатом, имеющей кроме собственного номера и собственное название словами: "одноразрядный десятичный полусумматор".

Десятичной функцией втеории функциональных систем и вдесятичной логике называютфункцию типа${\displaystyle {\mathsf{D}}^n\to \mathsf{D}}$, где${\displaystyle \mathsf{D}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ —десятичное множество, а${\displaystyle n}$ — неотрицательноецелое число, которое называютарностью или местностью функции.

Всего существует${\displaystyle {10}^{({10}^m)\ast n}={10}^{({10}^2)\ast 2}={10}^{100\ast 2}={10}^{200}}$ простейших бинарных с бинарным (двухразрядным) результатом десятичных логических функций (2 децита -> 2 децита), где m - количество аргументов функции (входная "-арность"), а n - количество результатов действия функции (выходная "-арность"), что больше всехбольших чисел Дирака вместе взятых ичисла Шеннона (оценочное минимальное количество неповторяющихся шахматных партий, вычисленное в 1950 году американским математикомКлодом Шенноном, составляет приблизительно${\displaystyle {10}^{120}}$) впридачу.

Одноразрядное двухоперандное (двухаргументное) десятичное сложение можно также представить, как комбинацию (объединение двух) бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функцией с унарным (одноразрядным) результатом, имеющих кроме собственных номеров и собственные названия словами: "одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10" и "единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении".

Всего существует${\displaystyle {10}^{({10}^2)}={10}^{100}}$ простейших бинарных с унарным (одноразрядным) результатом десятичных логических функций (2 децита -> 1 децит).

Номер функции "одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и относительно просто получается из таблицы десятичного полусумматора: 8765432109 7654321098 6543210987 5432109876 4321098765 3210987654 2109876543 1098765432 0987654321 9876543210 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).

Номер функции "единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении" содержит все значения функции при переборе значений аргументов от 0 до 9 и тоже относительно просто получается из таблицы десятичного полусумматора: 1111111110 1111111100 1111111000 1111110000 1111100000 1111000000 1110000000 1100000000 1000000000 0000000000 (пробелы отделяют по 10 знаков в номере функции).

Так как в разряде переноса не бывает значения больше 1, то разряд переноса в одноразрядном десятичном полусумматоре является более простой десятичной функцией с унарным (одноразрядным) двоичным результатом (2 децита -> 1бит).

'Half Adder Decimal Single-DigitCLSDATA0,1,2,3,4,5,6,7,8,9DATA1,2,3,4,5,6,7,8,9,0DATA2,3,4,5,6,7,8,9,0,1DATA3,4,5,6,7,8,9,0,1,2DATA4,5,6,7,8,9,0,1,2,3DATA5,6,7,8,9,0,1,2,3,4DATA6,7,8,9,0,1,2,3,4,5DATA7,8,9,0,1,2,3,4,5,6DATA8,9,0,1,2,3,4,5,6,7DATA9,0,1,2,3,4,5,6,7,8DATA0,0,0,0,0,0,0,0,0,0DATA0,0,0,0,0,0,0,0,0,1DATA0,0,0,0,0,0,0,0,1,1DATA0,0,0,0,0,0,0,1,1,1DATA0,0,0,0,0,0,1,1,1,1DATA0,0,0,0,0,1,1,1,1,1DATA0,0,0,0,1,1,1,1,1,1DATA0,0,0,1,1,1,1,1,1,1DATA0,0,1,1,1,1,1,1,1,1DATA0,1,1,1,1,1,1,1,1,1DEFINTI,J,F,A,BFORI=0TO9FORJ=0TO9READF2DSM10[I,J]'Function 2-argument Decimal Summ Mod 10 NonSymmetricNEXTJNEXTIFORI=0TO9FORJ=0TO9READF2DC10[I,J]'Function 2-argument Decimal Carry Summ 10 NonSymmetricNEXTJNEXTIA=9B=9PRINTUSING"#";A;PRINT" + ";PRINTUSING"# = ";B;PRINTUSING"#";F2DC10[A,B];PRINTUSING"#";F2DSM10[A,B]END

Исследования развития математических способностей, которые начались в 1980-х годах, рассматривали феноменпривыкания:младенцы смотрят дольше на ситуации, которые являются для них неожиданными^[25]. В экспериментеКарен Винн^[англ.] 1992 года использовались куклыМикки Мауса, с которыми проводились различные манипуляции за ширмой. Этот эксперимент показал, что пятимесячные младенцыожидают, что 1 + 1 — это 2, и удивляются тому, когда оказывается, что 1 + 1 — это 1 или 3. Позже этот результат был подтверждён в других лабораториях с использованием разных методов^[26]. В другом эксперименте в 1992 году с малышами постарше, в возрасте от 18 до 35 месяцев, использовалось развитие моторных функций детей, позволявшее им доставать шарики дляпинг-понга из коробки; младшие ребята хорошо справлялись с небольшим числом шариков, более старшие научились считать сумму до 5^[27].

Даже некоторые животные проявляют способность складывать, в особенностиприматы. Эксперимент 1995 года был аналогичен эксперименту Винн 1992 года, но вместо кукол использовалисьбаклажаны. Выяснилось, чтомакаки-резусы иэдиповы тамарины показывают схожие человеческим младенцам способности. Более того, одиншимпанзе, после того, как его научили различать и понимать смысларабских цифр от 0 до 4, смог считать сумму двух чисел без какой-либо подготовки^[28]. Позже было выяснено, чтоазиатские слоны способны овладеть базовыми арифметическими операциями^[29].

Как правило, сначала дети учатсяподсчёту. Когда даётся задача, в которой требуется объединить два предмета и три предмета, маленькие дети обращаются к помощи конкретных предметов, например, счёт на пальцах или помощь рисунка. По мере приобретения опыта, они учат или открывают для себя стратегию «подсчёта»: когда требуется найти, сколько будет два плюс три, дети перечисляют два числа, идущие после числа три, проговаривая: «три, четыре,пять» (обычно загибая пальцы), и, в итоге, получая пять. Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять её у сверстников или учителей^[30]. Многие дети сами доходят до этого. Накопив какой-то опыт, дети учатся складывать быстрее, используя коммутативность сложения, начиная перечислять числа от самого большого числа в сумме, как в описанном выше случае, начиная с трёх и перечисляя: «четыре,пять». В конце концов, дети начинают использовать какие-либо факты о сложении («примеры сложения наизусть^[англ.]»), получая их либо опытным путём, либо запоминая их. Когда одни факты осядут в памяти, дети начинают выводить неизвестные факты из известных. Например, ребёнок, складывающий шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12, и что поэтому 6 + 7 на один больше, то есть 13^[31]. К такому способу вывода приходят довольно быстро и большинство учеников начальной школы полагаются на смесь всего того, что они запомнили и того, что они могут вывести, что в итоге позволяет им бегло складывать^[32].

В разных странах к изучению целых чисел и арифметики приступают в разных возрастах, в основном сложению учат в учреждениях дошкольного образования^[33]. При этом по всему миру к концу первого года начальной школы школьники обучаются сложению^[34].

Детям часто показывают таблицу сложения пар чисел от 1 до 10 для лучшего запоминания^{[обтекаемое выражение]}. Зная эту таблицу, можно выполнить любое сложение.

Для успешного сложения вдесятичной системе нужно помнить или уметь быстро выводить 100 «фактов (примеров) сложения» для одноразрядных чисел. Кто-то может запомнить все эти факты, заучивая их, но стратегии изучения сложения путём использования шаблонов более информативны и для большинства людей более эффективны:^[35]

• Коммутативное свойство: использование шаблона${\displaystyle a+b=b+a}$ снижает количество «фактов о сложении», которых нужно запомнить, со 100 до 55.
• На один или на два больше: прибавление 1 или 2 — это базовая задача, и решить её можно перечислением (подсчётом) или, в конце концов, полагаясь наинтуицию^[35].
• Ноль: поскольку ноль является нейтральным элементом для операции сложения (аддитивной единицей), постольку прибавить ноль просто. Тем не менее, во время изучения арифметики некоторым ученикам сложение представляется как процесс, во время которого слагаемые всегда увеличиваются; акцент насловесной формулировке^[англ.] задачи может помочь понять «исключительность» нуля^[35].
• Удваивание: складывание числа с самим собой связано с задачей удвоенного (повторного) подсчёта иумножением. Факты об удваивании являются основой для многих связанных с ними фактов, и ученикам легко их относительно легко понять^[35].
• Почти-удваивание (Суммы, близкие к операции удваивания): сумма 6 + 7 = 13 может быть быстро выведена из факта об удваивании 6 + 6 = 12 и прибавления единицы, или из факта 7 + 7 = 14 и вычитания единицы^[35].
• Пять и десять: суммы вида 5 +x и 10 +x обычно запоминаются рано и могут быть использованы для выведения других фактов. Например, результат суммы 6 + 7 = 13 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 добавлением к последнему единицы^[35].
• Получение десятки (достраивание до десяти): существует такая стратегия, в которой 10 используется в качестве промежуточного результата при наличии слагаемых 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14^[35].

По мере взросления ученики запоминают всё больше фактов, и учатся быстро выводить из них другие факты. Многие ученики не запоминают все факты, но могут быстро вывести требуемый^[32].

В стандартном алгоритме сложения многоразрядных чисел^{[обтекаемое выражение]} цифры, из которых состоят записи складываемых чисел, располагаются одна под другой. Выполняют сложение цифр отдельно в каждом столбце, начиная с правого. Если сумма цифр в столбце превышает 10, лишняя цифра «переносится» в следующий столбец (левее). Например, в сумме 27 + 59

  ¹  27+ 59————  86

7 + 9 = 16 и цифра 1 переносится в следующий столбец. В альтернативном способе начинают сложение с наиболее значимой цифры слева; в этой стратегии перенос выполняется несколько грубее, но быстрее получается приблизительная сумма. Существует много других методов переноса.

Способ сложениядесятичных дробей является простой модификацией сложения многоразрядных чисел, описанного выше^[36]. При сложении столбиком дроби располагают таким образом, чтобы запятые^[стиль] находились точно друг под другом. При необходимости можно добавлять нули справа и слева к более короткой дроби (см.замыкающий ноль^[англ.] иведущие нули), чтобы сделать её равной по длине более длинной дроби. Итак, сложение производится таким же образом, как и в описанном выше способе сложения многоразрядных чисел, только запятая располагается в ответе точно там же, где она располагалась у слагаемых.

Например, сумму 45,1 + 4,34 можно вычислить следующим образом:

   4 5 , 1 0+  0 4 , 3 4————————————   4 9 , 4 4

Вэкспоненциальной записи числа записываются в виде${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$, где${\displaystyle x}$ —мантисса,${\displaystyle P^n}$ —характеристика числа,${\displaystyle P}$ — основание системы счисления. Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики:${\displaystyle a\cdot P^n+b\cdot P^n=(a+b)\cdot P^n,}$ согласно свойству дистрибутивности.

Например:

${\displaystyle 2.34\cdot {10}^{-5}+5.67\cdot {10}^{-6}=2.34\cdot {10}^{-5}+0.567\cdot {10}^{-5}=(2.34+0.567)\cdot {10}^{-5}=2.907\cdot {10}^{-5}}$

Особый случай — сложение чисел, различающихся на несколькопорядков, с последовательным округлением. Если${\displaystyle a\gg b}$, то и погрешности этих чисел будут несопоставимы (${\displaystyle \mathrm{\Delta }a\gg \mathrm{\Delta }b}$), и при выполнении сложения бо′льшая погрешность поглотит меньшую. Так может быть нарушено свойства ассоциативности.

Рассмотрим, например, выражение${\displaystyle 5,6\cdot {10}^8+7,2+(-5,6\cdot {10}^8)}$: если выполнить сначала${\displaystyle 5,6\cdot {10}^8+7,2}$, после округления результата получим${\displaystyle \approx 5,6\cdot {10}^8}$, складывая далее, имеем${\displaystyle 5,6\cdot {10}^8+(-5,6\cdot {10}^8)=0}$, а если выполнять сложение в ином порядке, то:${\displaystyle 5,6\cdot {10}^8+(-5,6\cdot {10}^8)+7,2=0+7,2=7,2}$. Таким образом, при неаккуратном округлении могут получиться различные значения одного и того же выражения.

Сложение для чисел с другими основаниями идентично сложению в десятичной системе

В качестве примера можно рассмотреть сложение в двоичной системе счисления^[37]. Сложение двух одноразрядных двоичных чисел с использованием переноса является довольно простым:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, переносится 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Сумма двух знаков «1» равна знаку «0», а 1 должна быть добавлена в следующий столбец. Эта ситуация аналогична тому, что происходит в десятичной системе при суммировании определённых однозначных чисел; если результат равен или превышает значение основания системы счисления (10), цифры слева увеличиваются:

5 + 5 → 0, перенос 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, перенос 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Эта операция известна как «перенос»^[38]. Когда результат сложения превосходит диапазон значений иразряда, нужно «перенести» избыток, делённый на основание системы (то есть на 10 в десятичной системе) влево, добавляя его к значению в следующем разряде. Это связано с тем, что значение в следующем разряде в${\displaystyle N}$ раз больше (в${\displaystyle N}$-ой системе счисления), чем значение в текущем разряде. Перенос в двоичной системе счисления работает также, как и в десятичной системе:

1 1 1 1 1    (перенос)    0 1 1 0 1+   1 0 1 1 1—————————————  1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере складываются два числа: 01101₂ (13₁₀) и 10111₂ (23₁₀). В верхней строке указано наличие переноса. Начинаем складывать с правого столбца: 1 + 1 = 10₂. Здесь 1 переносится влево, а 0 записывается в нижней строке. Теперь складываются числа во втором столбце справа: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 переносится, а 0 записывается в нижней строке. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11₂. В этом случае 1 переносится в нижней строке. В итоге получаем 100100₂ (или 36 в десятичной системе счисления).

Аналоговые компьютеры работают напрямую с физическими величинами, поэтому их механизм сложения зависит от вида слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых в виде позиций скользящих блоков, в этом случае их можно складывать при помощиусредняющегорычага. Если слагаемые представлены в виде углов поворота или угловых скоростей вращения двухвалов, их можно сложить при помощидифференциала.

Гидравлический сумматор может складыватьдавления в двух камерах, используявторой закон Ньютона, чтобы уравновесить силы на системупоршней.

Наиболее типичный случай применения аналогового компьютера — это сложение двухнапряжений (относительнозаземления); это можно приближённо выполнить при помощи пассивнойрезистивнойсхемы, а в точных аналоговых вычислений используетсяоперационный усилитель^[39].

Абак, также называемый счётной доской — это простейший вычислительный прибор, который использовался за много веков до распространениядесятичной системы счисления и который всё ещё используется купцами, торговцами и клерками вАзии,Африке, и других континентах; предполагается, что абак изобретён не позднее 2700—2300 годов до н. э., тогда он начал использоватьсяшумерами^[40].

Блез Паскаль изобрёл механическийкалькулятор в 1642^[41][42]; это была первая операционнаясуммирующая машина. В этом калькуляторе механизм переноса работал используя действие тяжести. Это был единственный операционный калькулятор, созданный в 17 веке^[43] и самый первый цифровой компьютер. Недостаток машины Паскаля — механизм переноса, допускавший вращение цифровых колёс при сложении только в одну сторону. Для вычитания пользователь должен был использовать второй набор цифр на колёсах для представления результата и требовало такое же количество шагов, как и для сложения (методы дополнения^[англ.]).

Джованни Полени продолжил развитие калькулятора Паскаля, построив второй механический калькулятор в 1709 году.Циферблат этого калькулятора был из дерева, и однажды установленный он мог перемножать два числа между собой автоматически.

Операция сложения является основной вцифровых компьютерах. Скорость выполнения операции сложения и, в особенности, затраты времени на формированиемежразрядного переноса, определяют, в частности, быстродействие компьютера.

Сумматоры выполняющие целочисленное сложение в электронных цифровых вычислительных машинах, практически всегда используетбинарную арифметику. В простейшей структуре используетсясумматор с последовательным переносом (выходной перенос предыдущего в цепочке сумматора является входным переносом для следующего сумматора), это позволяет выполнять сложение для многоразрядных чисел. Небольшое улучшение представлено всумматоре с пропуском переноса^[англ.], который действует похожим с человеческой интуицией образом; например, он не выполняет все переносы в сумме 999 + 1, он обходит группу девяток и сразу выдаёт ответ^[44].

Практически сложение можно выполнять черезсложение по модулю два иоперацию «И» в сочетании с другими битовыми операциями, как показано ниже. Обе эти операции просто реализовать в цепяхсумматоров, которые, в свою очередь, могут объединяться в более сложныелогические операции.

В современных цифровых компьютерах сложение целых чисел, как и другие команды целочисленной арифметики, являются одними из самых быстрых операций, в то же время, они имеют существенное влияние на общую производительность компьютера, поскольку на целочисленные операции приходится существенная доля всех вычислений при выполнении любых программ. Целочисленное сложение используется, например, при вычисленииадресов ячеек при доступе кпамяти и при выборкекоманд во время определённогопорядка их выполнения.

Для увеличения скорости работы современные компьютеры вычисляют значения в разрядах суммыпараллельно; такие схемы называются «выборка переноса»,предвидение переноса^[англ.] и псевдоперенос всумматоре Линга^[англ.]. Обычно сложение на компьютере является гибридом последних трёх способов^[45][46].

В отличие от сложения человеком на бумаге, сложение на компьютере часто изменяет слагаемые в регистрах. На древнемабаке и доске для сложения при выполнении операции сложения оба слагаемых уничтожались, оставалась только их сумма. Влияние абака на математическое мышление было настолько велико, что в раннихлатинских текстах часто утверждалось, что в процессе сложения «числа с числом» оба числа исчезают^[47]. В современных компьютерах обычно при выполнении инструкция ADDмикропроцессор заменяет в регистре значение первого слагаемого полученной суммой, второе же слагаемое остаётся в регистре без изменений^[48].

Ввысокоуровневом языке программирования оцениваниеa +b не изменяет ниa, ниb; если ставится задача записать сумму вa, то это должно быть явно указано, например, выражениеa =a +b. В некоторыхязыках программирования, таких какC илиC++ эта запись упрощена доa +=b.

Программа для иллюстрации логики суммирования двух битов и переноса

// Iterative Algorithmintadd(intx,inty){intcarry=0;while(y!=0){carry=AND(x,y);// Logical ANDx=XOR(x,y);// Logical XORy=carry<<1;// left bitshift carry by one}returnx;}// Recursive Algorithmintadd(intx,inty){returnxif(y==0)elseadd(XOR(x,y),AND(x,y)<<1);}

В случае если число разрядов результата сложения юольше разрядности регистров хранения, то происходитарифметическое переполнение, что приводит к неправильному результату илиисключительной ситуации при выполнении программы. Непредвиденное арифметическое переполнение является довольно распространённой причинойпрограммных ошибок. Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, потому что они могут проявляться только при некоторых наборах входных данных, которые не были использованы в тестах^[49].

Сложениевещественных чисел на современных компьютерах, как и всевычисления с плавающей точкой, выполняются аппаратно специальным устройством, называемомматематическим сопроцессором (название условное, так как в современных компьютерах физически он встроен вцентральный процессор). При выполнении операции сложения с плавающей точкой также возможно переполнение, однако оно всегда вызываетобработку исключений, и обнаруживается.

Ещё одной важной особенностью компьютерныхвычислений с плавающей точкой является ограниченная точность представлениявещественного числа, в связи с чемвычисления с плавающей точкой на компьютере выполняются, вообще говоря, приближённо, а к результатам вычислений (в том числе, промежуточным) применяетсяоперация округления. Округление, как правило, применяется даже к тем числам, которые вдесятичной системе счисления представлены конечной дробью, то есть точно (поскольку в наиболее распространённых компьютерах применяетсядвоичная система счисления). Поэтому при суммировании на компьютере чисел с плавающей точкой сумма может зависеть от очерёдности суммирования слагаемых — иногда существенно, еслипорядки слагаемых многократгно отличаются. Поэтому в программах, где суммируется много переменных, применяют специальные меры для снижение погрешности. Одним из наиболее эффективных методов снижения погрешности суммирования являетсяалгоритм Кэхэна.

Для представления основных свойств сложения сначала нужно определиться с контекстом. Изначально сложение определено длянатуральных чисел. Сложение определяется для всё больших и больших множеств, включая натуральные числа:целые числа,рациональные числа ивещественные числа^[50]. (Вматематическом образовании^[51] сложение положительных дробей проходят до сложения отрицательных чисел^[52].)

Воспользуемся определениемнатуральных чисел${\displaystyle \mathbb{N}}$ какклассов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств${\displaystyle C,A,B}$ порождённыхбиекциями, с помощью скобок:${\displaystyle [C],[A],[B]}$. Тогда арифметическая операция «сложение» определяется следующим образом:

${\displaystyle [C]=[A]+[B]=[A\bigsqcup B];}$

где${\displaystyle A\bigsqcup B}$ —дизъюнктное объединение множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества${\displaystyle A}$ на отрезок${\displaystyle N_a}$ можно понимать как нумерацию элементов множества${\displaystyle A:A\sim N_a}$ . Этот процесс нумерации называют «счётом»^{[53][уточнить ссылку 1628 дней]}. Таким образом, «счёт» - это установление взаимно-однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел^[54].

Для сложения натуральных чисел впозиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм сложения. Если даны два натуральных числа${\displaystyle a}$ и${\displaystyle b}$ такие, что:

${\displaystyle a=a_{n-1}{a}_{n-2}\dots a_0,b=b_{n-1}{b}_{n-2}\dots b_0,\mathrm{\forall }{a}_k,b_k\in \{P\}\mathrm{\forall }{a}_{n-1},b_{n-1}\ne 0\mathrm{\exists }0\in \mathbb{N};}$

где:${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_k{P}^k,b_{0\dots n-1}=b_k{P}^k}$;

${\displaystyle n}$ - количество цифр в числе${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}$;

${\displaystyle k}$ - порядковый номером разряда (позиции),${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$;

${\displaystyle P}$ - основание системы счисления;

${\displaystyle \{P\}}$ множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

${\displaystyle \{P_2\}=\{0,1\}}$,

${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$,

${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}}$;

тогда:

${\displaystyle c=a+b;c_{n-1}{c}_{n-2}\dots c_0=a_{n-1}{a}_{n-2}\dots a_0+b_{n-1}{b}_{n-2}\dots b_0;}$

складывая поразрядно, получаем:

• 
• 
• ${\displaystyle .........}$
• 

Таким образом, операция сложения сводится к процедуре последовательного простого сложения одноразрядных чисел${\displaystyle a_k+b_k}$, с формированием единицы переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо инкрементированием (счётом).

Арифметические действия над числами в любой позиционнойсистеме счисления производятся по тем же правилам, что и вдесятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующимимногочленами^[55]. При этом нужно пользоваться таблицей сложения, соответствующей данному основанию${\displaystyle P}$ системы счисления.

Пример сложения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, единица переноса пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

Другое известное определениерекуррентно:

• Пустьn⁺ —следующее^[англ.] заn натуральное число, например 0⁺=1, 1⁺=2. Пустьa + 0 =a. Тогда общая сумма определяется рекуррентно:a + (b⁺) = (a +b)⁺. Отсюда 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2^[56].

В литературе существуют различные варианты этого определения. Начастично упорядоченном множествеN² используется в точности определение, данное выше^[57]. Иногда предлагается временно «зафиксировать»a, применяя определение к аргументуb, чтобы определить функцию "a + ", и вставлять эти унарные операции для всехa, чтобы сформировать полную бинарную операцию^[58].

Это определение сложения было дано Дедекиндом ещё в 1854 году, и он расширил его в последующие десятилетия^[59]. С помощьюматематической индукции Дедекинд доказал свойства ассоциативности и коммутативности.

Множествоцелых чисел — расширение множества натуральных чисел${\displaystyle \mathbb{N}}$, получаемое добавлениемотрицательных чисел^[60] вида${\displaystyle -n}$. Множество целых чисел обозначается${\displaystyle \mathbb{Z}}$. Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа начисловой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру сложения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

• если оба слагаемых положительные, тогда:${\displaystyle c=a+b}$;
• если одно из слагаемых отрицательно, тогда нужно от слагаемого с большим значениеммодуля вычесть слагаемое с меньшим значением модуля, после чего перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше:${\displaystyle c=-a+b=b+(-a)=b-a}$;
• если оба слагаемых отрицательны, тогда:${\displaystyle c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)}$^[61].

Другое построение множества целых чисел основано нагруппах Гротендика. Главная идея заключается в том, что каждое целое число может быть представлено (не одним способом) как разность двух натуральных чисел, поэтому мы можемопределить целое число, как разность двух натуральных чисел. Тогда сложение определяется следующим образом:

• Пусть имеются два целых числаa −b иc −d, гдеa,b,c иd — натуральные числа, тогда (a −b) + (c −d) = (a +c) − (b +d)^[62].

Множестворациональных чисел обозначается${\displaystyle \mathbb{Q}}$ (отангл. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:${\displaystyle \mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}\mid m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\right\}}$.

Для сложения рациональных чисел в видеобыкновенных (или простых) дробей вида:${\displaystyle \pm \frac{m}{n}}$, их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому)знаменателю. Например, взять произведение знаменателей,числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем сложить полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа${\displaystyle a}$ и${\displaystyle b}$ такие, что:${\displaystyle a=\frac{m_a}{n_a},b=\frac{m_b}{n_b}\mathrm{\forall }{m}_a,n_a,m_b,n_b\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }{n}_a,n_b\ne 0}$ (дроби несократимые), тогда^[63]:

${\displaystyle c=a+b=\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a\cdot n_b}{n_a\cdot n_b}+\frac{n_a\cdot m_b}{n_a\cdot n_b}=\frac{m_a\cdot n_b+m_b\cdot n_a}{n_a\cdot n_b}}$.

Либо можно найтинаименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

• находится наименьшее общее кратное знаменателей:${\displaystyle M=[n_a,n_b]}$;
• умножается числитель и знаменатель первой дроби на${\displaystyle \frac{M}{n_a}}$;
• умножается числитель и знаменатель второй дроби на${\displaystyle \frac{M}{n_b}}$.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны${\displaystyle M}$). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве${\displaystyle M}$ любое другое общее кратное.

Пример сложения:

${\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{3\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{10+3}{15}=\frac{13}{15}}$.

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

${\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{1+2}{4}=\frac{3}{4}}$.

Если знаменатели кратны какому-либо числу, то преобразуем только одну дробь:

${\displaystyle \frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}+\frac{1\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{3+1\cdot 2}{8}=\frac{5}{8}}$.

Арифметическая операция «сложение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.Коммутативность и ассоциативность сложения рациональных чисел — следствие законов целочисленной арифметики^[64]. Более строгое и общее определение даётся в рамкахполя дробей.

Аналогичным образом складываются физические величины: их выражают через общиеединицы измерения^[65]. Например, чтобы сложить 50 миллилитров и 1,5 литра, необходимо перевести миллилитры в литры и привести дроби к общему знаменателю:${\displaystyle \frac{50}{1000}+\frac{1500}{1000}=\frac{1550}{1000}=1,55}$ литра.

Арифметические операции надвещественными числами, представимыми в виде бесконечных десятичных дробей, определяются какнепрерывное продолжение^[66] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечнымидесятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_0,a_1{a}_2\dots a_n\dots =\{a_n\}}$,

${\displaystyle \beta =\pm b_0,b_1{b}_2\dots b_n\dots =\{b_n\}}$,

определённые соответственнофундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющиеусловию Коши), обозначенные как:${\displaystyle \alpha =[a_n]}$ и${\displaystyle \beta =[b_n]}$, то их суммой называют число${\displaystyle \gamma =[c_n]}$, определённое суммой последовательностей${\displaystyle \{a_n\}}$ и${\displaystyle \{b_n\}}$:

${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta \stackrel{\text{def}}{=}[a_n]+[b_n]=[a_n+b_n]}$;

вещественное число${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$, удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \mathrm{\forall }{a}^{\prime },a^{″},b^{\prime },b^{″}\in \mathbb{Q};(a^{\prime }⩽\alpha ⩽a^{″})\wedge (b^{\prime }⩽\beta ⩽b^{″})\Rightarrow (a^{\prime }+b^{\prime }⩽\alpha +\beta ⩽a^{″}+b^{″})\Rightarrow (a^{\prime }+b^{\prime }⩽\gamma ⩽a^{″}+b^{″})}$.

Таким образом, сумма двух вещественных чисел${\displaystyle \alpha }$ и${\displaystyle \beta }$ — такое вещественное число${\displaystyle \gamma }$, которое содержится между всеми суммами вида${\displaystyle a^{\prime }+b^{\prime }}$ с одной стороны и всеми суммами вида${\displaystyle a^{″}+b^{″}}$ с другой стороны^[67].

На практике для того, чтобы сложить два числа${\displaystyle \alpha }$ и${\displaystyle \beta }$, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами${\displaystyle a}$ и${\displaystyle b}$. За приближённое значение суммы чисел${\displaystyle \alpha +\beta }$ берут сумму указанных рациональных чисел${\displaystyle a+b}$. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают${\displaystyle \alpha }$ и${\displaystyle \beta }$. Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При сложении приближённых чисел ихабсолютные погрешности складываются${\displaystyle \mathrm{\Delta }(a+b)=\mathrm{\Delta }a+\mathrm{\Delta }b}$, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа.Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение${\displaystyle \delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)}$.Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближённого числа верна, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример сложения${\displaystyle \gamma =\pi +e}$, с точностью до 3-го знака после запятой:

• округляются данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• получается${\displaystyle \pi \approx \mathrm{3,141}6,e\approx \mathrm{2,718}3}$ ;
• Поразрядно складываем:${\displaystyle \gamma =\pi +e\approx 3.1416+2.7183\approx 5.8599}$ ;
• Округляем до 3-го знака после запятой:${\displaystyle \gamma \approx 5.860}$ .

На множестве вещественных чиселграфикфункции сложения имеет видплоскости, проходящей через началокоординат и наклонённой к осям на 45°угловых градусов. Так как${\displaystyle \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}}$, то и для этих множеств значения функции сложения будет принадлежать этой плоскости^[68].

Комплексные числа складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей^[69]. Это значит, что:

${\displaystyle c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.}$

Где:${\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb{R}}$,${\displaystyle i}$ —мнимая единица .Используя представление комплексных чисел какточек накомплексной плоскости, можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическуюинтерпретацию: суммой комплексных чисел${\displaystyle a+di}$ и${\displaystyle b+ei}$, представленных точками на комплексной плоскости, является точкаC, полученная путём построенияпараллелограмма, три вершины которого находятся в точкахO,A иB. Или, можно сказать, чтоC — это такая точка, чтотреугольникиOAB иCBAконгруэнтны.

Аналогично длягиперкомплексных чисел (комплексных чисел n-ой размерности):${\displaystyle A=a_{1}1+a_2{i}_2+\cdots +a_n{i}_n,B=b_{1}1+b_2{i}_2+\cdots +b_n{i}_n;}$${\displaystyle C=A+B=(a_{1}1+a_2{i}_2+\cdots +a_n{i}_n)+(b_{1}1+b_2{i}_2+\cdots +b_n{i}_n)=}$${\displaystyle =(a_1+b_1)1+(a_2+b_2)i_2+\cdots +(a_n+b_n)i_n=c_{1}1+c_2{i}_2+\cdots +c_n{i}_n.}$^[70]

При сложении чисел, принадлежащих разным множествам, необходимо (если возможно) представить множество с меньшеймощностью как подмножество множества с большей мощностью, либо найти «наименьшее общее множество». Например, если нужно сложить натуральное число${\displaystyle 3}$ с рациональным${\displaystyle 4,56}$, то, воспользовавшись тем, что натуральные числа — подмножество рациональных, представляем число${\displaystyle 3}$ как рациональное${\displaystyle 3,00}$ и складываем два рациональных числа${\displaystyle 3,00+4,56=7,56}$. Аналогично, пользуясь тем, что:${\displaystyle \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\subset \mathbb{H}}$, можно складывать числа из различных множеств между собой.Возвращаясь к примеру с яблоками, воспользуемся тем, что множество яблок и множество груш — подмножества множества фруктов:${\displaystyle \{\text{apple}\}\subset \{\text{apples}\}\subset \{\text{fruit}\}\text{end}\{\text{pear}\}\subset \{\text{pears}\}\subset \{\text{fruit}\}}$, и таким образом можно сложить 3 яблока и 2 груши, представив их как подмножества множества фруктов:${\displaystyle 3}$ фрукта_яблока${\displaystyle +2}$ фрукта_груши${\displaystyle =5}$ фруктов.

Существует много бинарных операций, которые можно рассматривать как обобщения операции сложения действительных чисел. Такие обобщённые операции являются основным предметом изученияобщей алгебры, также они встречаются втеории множеств итеории категорий.

Векторное пространство — это алгебраическая структура, в которой любые двавектора можно складывать и любой вектор можно умножать на число. Простой пример векторного пространства — множество всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара${\displaystyle (a,b)}$ — это вектор с началом в точке${\displaystyle (0,0)}$ евклидовой плоскости и концом в точке${\displaystyle (a,b)}$ (и всесонаправленные ему). Сумма двух векторов получается путём сложения их соответствующих координат:${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$.Эта операция сложения — центральная вклассической механике, в которой векторы рассматриваются как аналогисил.

Сложение матриц определяется для двух матриц одинакового размера. Сумма двух матрицA иB размераm × n (произносится «m на n»), записывается какA +B и представляет собой матрицу размераm × n, полученную путём сложения соответствующих элементов^[71][72]:

Например:

Множество остатков от деления на 12 состоит из двенадцати элементов; это множество наследует операцию сложения целых чисел. Множество остатков по модулю 2 имеет только два элемента; наследуемая им операция сложения известна влогике высказываний как операция «исключающее или». Вгеометрии сумма двухугловых мер часто определяется как сумма вещественных чисел по модулю 2π. Такое определение соответствует операции сложения наокружности, которая, в свою очередь, обобщается до операции сложения на многомерномторе.

В общей теории абстрактной алгебры операцией «сложения» может называться любаяассоциативная икоммутативная операция. Основныеалгебраические системы с такими операциями сложения включаюткоммутативные моноиды иабелевы группы.

Обобщением сложения натуральных чисел является сложениепорядковых чисел икардинальных чисел в теории множеств. Эти операции представляют собой два разных обобщения сложения натуральных чисел натрансфинитный случай.В отличие от большинства типов операции сложения, сложение порядковых чисел не коммутативно.Сложение кардинальных чисел, тем не менее, является коммутативной операцией, тесно связанной с операциейдизъюнктного объединения.

Втеории категорий дизъюнктное объединение рассматривается как частный случай операциикопроизведения, и общие копроизведения, возможно, являются самыми абстрактными из всех обобщений операции сложения. Некоторые копроизведения, такие какпрямая сумма иклиновая сумма^[англ.], названы так, чтобы указывать на их связь с операцией сложения.

Сложение, так же, как и вычитание, умножение и деление, считается одной из основных операций и используется в элементарной арифметике.

Вычитание можно рассматривать как частный случай операции сложения, а именно — как прибавлениепротивоположного числа. Вычитание само по себе является своего рода обратной операцией к сложению, то есть прибавлениеx и вычитаниеx являются взаимнообратными функциями.

На множестве чисел, на котором определена операция сложения, не всегда можно определить операцию вычитания; простым примером является множество натуральных чисел. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения и аддитивную единицу; по этой причине аддитивную группу можно определять как множество, замкнутое относительно операции вычитания^[73].

Умножение можно понимать какповторённое несколько раз сложение^[англ.]. Если термx входит в суммуn раз, то эта сумма равна произведениюn иx. Еслиn не являетсянатуральным числом, произведение всё ещё может иметь смысл; например, умножение на-1 даётпротивоположное число.

Сложение и умножение действительных или комплексных чисел можно взаимно заменять при помощиэкспоненциальной функции:

e^{a +b} =e^ae^b[74].

Это тождество позволяет умножать, используятаблицы^[англ.]логарифмов и сложение вручную; оно также позволяет умножать с использованиемлогарифмической линейки. Эта формула является также хорошим приближением первого порядка в широком контекстегрупп Ли, где она связывает умножение бесконечно малых элементов группы Ли со сложением векторов в соответствующейалгебре Ли^[75].

У умножения есть даже больше обобщений, чем у сложения^[76]. Вообще говоря, операции умножения всегдадистрибутивны относительно сложения. Это требование закреплено в определениикольца. В некоторых случаях, таких как целые числа, дистрибутивности умножения относительно сложения и наличия мультипликативной единицы достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Свойство дистрибутивности также характеризует сложение; раскрывая скобки в произведении (1 + 1)(a +b) двумя способами, приходим к выводу, что сложение должно быть коммутативным. По этой причине сложение в кольце всегда коммутативно^[77].

Деление — это арифметическая операция, отдалённо связанная со сложением. Посколькуa/b =a(b⁻¹), деление является дистрибутивным справа относительно сложения: (a +b) /c =a /c +b /c^[78]. Тем не менее, деление не является дистрибутивным слева относительно сложения; 1/ (2 + 2) не равняется 1/2 + 1/2.

Операция нахождения максимума «max (a,b)» — это бинарная операция, похожая на сложение. На самом деле, если два неотрицательных числаa иb имеют различныепорядки, то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение является чрезвычайно полезным в приложениях математики, например, при усеченииряда Тейлора. Тем не менее, эта операция приводит к постоянным трудностям вчисленном анализе, так как операция взятия максимума не является обратимой. Еслиb намного больше, чемa, то обычное вычисление (a +b) −b может привести к накоплению неприемлемойошибки округления^[англ.], возможно получение нулевого результата. См. такжепотеря значимости^[англ.].

Это приближение становится точным при переходе к бесконечному пределу^{[уточнить]}; если какое-либо из чиселa иb являетсякардинальным числом, то их кардинальная сумма в точности равна большему из двух^[80]. Соответственно, операция вычитания не определена для множеств бесконечной мощности^[81].

Нахождение максимума является коммутативной и ассоциативной операцией, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет упорядочение действительных чисел, сложение дистрибутивно по отношению к функции нахождения максимума таким же образом, как и умножение по отношению к сложению:

a + max (b,c) = max (a +b,a +c).

По этим причинам втропической геометрии умножение заменяется на сложение, а сложение — на нахождение максимума. В этом контексте сложение называют «тропическим умножением», нахождение максимума — «тропическим сложением», а тропическую «аддитивную единицу» —отрицательной бесконечностью^[82]. Некоторые авторы предпочитают заменять сложение минимизацией; в этом случае аддитивной единицей является положительная бесконечность^[83].

Объединяя эти наблюдения вместе, тропическое сложение приблизительно соответствует обычному сложению при помощи логарифма:

log (a +b) ≈ max (loga, logb),

что становится более точным при возрастании основания логарифма^[84]. Приближение может стать точным, если выделить константуh, названную по аналогии спостоянной Планка вквантовой механике^[85], и взять"классический предел"^[англ.], при которомh стремится к нулю:

${\displaystyle max(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}h\log (e^{a/h}+e^{b/h}).}$

В этом смысле операция нахождения максимума является деквантизацией сложения^[86].

Инкрементирование, или применение функции следования — это прибавление1 к числу.

Суммирование — это сложение сколь угодно большого количества чисел, обычно больше, чем двух. Частными случаями этого понятия являются суммирование одного числа (результат такого суммирования равен самому числу), а такжепустая сумма^[англ.], равнаянулю^[87]. Бесконечное суммирование — нетривиальная процедура, известная как нахождение суммыряда^[88].

Суммирование единичной функции по конечному множеству даёт тот же результат, что иподсчёт числа элементов этого множества.

Интегрирование — это своего рода «суммирование» поконтинууму или, более точно и общо, погладкому многообразию. Интегрирование по множеству нулевой размерности сводится к суммированию.

Линейные комбинации совмещают умножение и суммирование; это суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычнодействительное иликомплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в тех ситуациях, когда обычное сложение нарушило бы некоторое правило нормализации, как, например, при смешиваниистратегий втеории игр илисуперпозициисостояний вквантовой механике.

Свёртка используется для сложения двух независимыхслучайных величин, заданныхфункциями распределения. В стандартном определении свёртки используются интегрирование, вычитание и умножение. В целом, свёртку уместно рассматривать как «сложение на области определения», а векторное сложение — как «сложение на области значений».

• Соглашение Эйнштейна
• Сумма
• Алгоритм Кэхэна
• Вычитание
• Умножение
• Деление

на русском языке

• Барсуков, А. Н. Алгебра : Учебник для VI—VIII классов / Под ред. С. И. Новосёлова. —М. : Просвещение, 1966. — 296 с.
• Выгодский, М. Я. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. —М. : Астрель : АСТ, 2003. — 509 с. —ISBN 5-17-009554-6 (ООО Изд-во «АСТ»). —ISBN 5-271-02551-9 (ООО Изд-во «Астрель»).
• Гусев, В. А. Математика : Справ. материалы : Кн. для учащихся / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. —М. : Просвещение, 1988. — 476 с. —ISBN 5-09-001292-X.
• Зельвенский, И. Г. Группы, кольца, поля : Методич. указания по дисциплине «Геометрия и алгебра» / И. Г. Зельвенский. —СПб. : СПбГЭТУ, [б. г.]. — 30 с.
• Зубарева, И. И. Математика : 5 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 14-е изд., испр. и доп. —М. : Мнемозина, 2013. — 270 с. —ISBN 978-5-346-02573-3.
• Иванова О. А. Сложение //Математическая энциклопедия: Гл. ред.И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 1212.
• Ильин, В. А. Математический анализ : Начальный курс / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. — 2-е изд., пер. —М. : Изд-во Моск. ун-та, 1985. — 662 с.
• Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе : Развивающее обучение / Н. Б. Истомина. — 2-е изд. — Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. — 288 с. —ISBN 978-5-89308-699-7.
• Математика, её содержание, методы и значение :в 3 т. / [Ред. коллегия: чл.-кор. АН СССР А. Д. Александров и др.] ; Акад. наук СССР. Матем. ин-т им. В. А. Стеклова. —М. : Изд-во Акад. наук СССР, 1956. — Т. 3. — 336 с.
• Рудницкая, В. Н. Математика : 1 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. Второе полугодие / В. Н. Рудницкая. — 2-е изд., перераб. —М. : Вентана-Граф, 2004. — 111 с. —ISBN 5-88717-322-X (в пер.).
• Словарь русского языка :в 4 т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований ; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. —М. : Рус. яз. : Полиграфресурсы, 1999. — Т. 4. — 797 с. —ISBN 5-200-02672-5 («Русский язык»). —ISBN 5-87548-048-3 (Полиграфресурсы). —ISBN 5-200-02676-8 («Русский язык») (т. 4).
• Сложение //Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред.А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1976. Т. 23. Сафлор — Соан. 1976. 639 с. с илл., 23 л. илл., 8 л. карт, 1 карта-вкладка. С. 583.
• Сложение //Математический энциклопедический словарь / Гл. ред.Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.:С. И. Адян,Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков,А. П. Ершов,Л. Д. Кудрявцев,А. Л. Онищик,А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 546.

на английском языке

• Akian, M. Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert. — 2006. — 16 February. —arXiv:math.SP/0402090v3.
• Austein, R. DATE-86, or The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest : journal. — 1987. — Vol. 4, no. 45.
• Baez, J. Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond : From Finite Sets to Feynman Diagrams / J. Baez, J. Dolan. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — 1236 p. —ISBN 3-540-66913-2.
• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Развитие арифметических понятий и навыков = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. — Routledge, 2013. — 520 с. —ISBN 0-8058-3155-X.
• Begle, Edward. Математика в начальной школе = The Mathematics of the Elementary School. — McGraw-Hill, 1975. — 453 с. —ISBN 0-07-004325-6.
• Bergman, George. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. — 2-е изд. — Springer, 2015. — 572 с. —ISBN 0-9655211-4-1.
• Joshua Bloch. Экстра, Экстра — Прочитать всё про Это: Почти все бинарные поиски сломаны (англ.) = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken // Official Google Research Blog : журнал. — 2006.
• Bogomolny, Alexander. Что такое сложение? (англ.) = What Is Addition?.
• Bates Bothman. Общая школьная арифметика = The common school arithmetic. — Prentice-Hall, 1837. — 270 с.
• Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Исторические корни элементарной математики = The Historical roots of Elementary Mathematics. — Prentice-Hall, 2012. — 336 с. —ISBN 0-13-389015-5.
• Burrill, Claude. Основы действительных чисел = Foundations of Real Numbers. — McGraw-Hill, 1967. — 163 с.
• Beckmann, S. Изучение математики в начальной школе в целых числах (англ.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers : журнал. — International Journal of STEM Education, 2014.
• Van de Walle, John. Математика в начальной и средней школе: развивающее обучение = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. — 5-е изд. — Pearson Education, 2015. — 576 с. —ISBN 0-205-38689-X.
• Weaver, J. Fred. Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. — Taylor & Francis, 2012. — С. 8. —ISBN 0-89859-171-6.
• Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. —ISBN 0-13-389917-9.
• Rebecca Wingard-Nelson. Десятичные и обыкновенные дроби: Это легко = Decimals and Fractions: It's Easy. — Enslow Publishers, 2014. — 64 с. —ISBN 0766042529.
• Wynn, Karen. Развитие математических навыков = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — 338 с. —ISBN 0-86377-816-X.
• Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds. Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — 582 с. —ISBN 3-7643-6417-3.
• Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Изучение основных фактов первоклассниками = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. — Heinemann, 2008.
• Dummit, D.; Foote, R. Абстрактная алгебра = Abstract Algebra. — Wiley, 1999. — 912 с.
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Математика: Исследования и приложения = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. —ISBN 0-13-435817-1.
• Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Основы Электронных Цифровых Систем = Electronic Digital System Fundamentals. — The Fairmont Press, 2008. — 340 с.
• Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Принципы и Применения Математики для Межприборных соединений = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics. — Headquarters, Department of the Army, 1992. — С. раздел 5.1. — 268 с.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Элементарная математика для учителей = Elementary Mathematics for Teachers. — Wiley, 1991.
• Jackson, Albert. Аналоговые вычисления = Analog Computation. — McGraw-Hill, 1960.
• Johnson, Paul. От палок и камней: личные приключения в математике = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — 552 с. —ISBN 0-574-19115-1.
• Ifrah, Georges. Всеобщая история вычислительной техники: от абака до компьютера = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. — John Wiley, 2001. — 410 с.
• Joshi, Kapil D. Основы дискретной математики = Foundations of Discrete Mathematics. — New Age International, 1989. — 748 с. —ISBN 978-0-470-21152-6.
• Dunham, William. Математическая Вселенная = The Mathematical Universe. — Wiley & Sons, 1994. — 314 с. —ISBN 0-471-53656-3.
• Kaplan, Robert. Что такое ничего: Естественная историю нуля = The Nothing That Is: A Natural History of Zero (англ.). — Oxford University Press, 1999. — 240 p. —ISBN 0-19-512842-7.
• Florian Cajori. История математических знаков = A History of Mathematical Notations. — The Open Court Company, 1928. — 818 с.
• Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Детская игровая математика = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. — Heinemann, 2014. — 218 с. —ISBN 0325052875.
• Karpinski, Louis. История арифметики = The history of arithmetic. — Russell & Russell, 1925. — 200 с.
• Килпатрик Д. Сложение: помощь детям в изучении математики = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. —National Academy Press, 2001. — 454 с. —ISBN 0-309-06995-5.
• Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. —ISBN 0-387-90328-3.
• Lee, John. Введение в гладкие многообразия = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — 631 с. —ISBN 0-387-95448-1.
• Li, Y., & Lappan, G. Математический курс обучения в школьном образовании = Mathematics Curriculum in School Education. — Springer, 2013. — 663 с. —ISBN 9400775601.
• Linderholm, Carl. Математика затрудняет = Mathematics Made Difficult. — World Pub, 1972. — 207 с. —ISBN 0-7234-0415-1.
• Lipschutz, S., & Lipson, M. Схема Шаумся теории и проблем линейной алгебры = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. — Erlangga, 2001. — 424 с. —ISBN 9797815714.
• Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Иденпотентная математика и интервальный анализ = Idempotent mathematics and interval analysis. — American Mathematical Soc, 2005. — 370 с. —ISBN 0821835386.
• Jean-Louis Loday. Аритметр (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал. — 2002. — 22 December (no. 258). —doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. —arXiv:math/0112034.
• Mazur, Joseph. Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — 321 с. —ISBN 1400850118.
• Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. —ISBN 0-13-389917-9.
• Marguin, Jean. История устройства вычислительных машин = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. — Hermann., 1994. — 206 с. —ISBN 978-2-7056-6166-3.
• Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed. Тропическая геометрия и её приложения = Tropical Geometry and its Applications. — 2-е изд. — Мадрин, Испания: Springer Science & Business Media, 2009. — 104 с. —ISBN 978-3-03719-022-7.
• Martin, John. Введение в языки и теорию вычислений = Introduction to Languages and the Theory of Computation. — 3. — McGraw-Hill, 2011. — 436 с. —ISBN 0-07-232200-4.
• Mosley, F. Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми = Using Number Lines with 5-8 Year Olds. — Nelson Thornes, 2001. — 8 с. —ISBN 1874099952.
• Оксфордский словарь английского языка = Oxford English Dictionary (англ.). — Oxford University Press, 2005.
• Порядок выполнения операций (англ.) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : журнал. — 2012. Архивировано 2 ноября 2012 года.
• James Randerson. У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008. — 21 August.
• Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. Математические методы в физике и инженерии: полное руководство = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide. — Cambridge University Press, 2006. — 437 с. —ISBN 978-0-521-86153-3.
• Rudin, Walter. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3. — McGraw-Hill, 1976. — 342 с. —ISBN 0-07-054235-X.
• Yeo, Sang-Soo, et al., eds. Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки = Algorithms and Architectures for Parallel Processing. — Springer, 2010. — 574 с. —ISBN 3642131182.
• Smith, Karl. Природа современной математики = The Nature of Modern Mathematics. — 3-е изд. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. — 620 с. —ISBN 0-8185-0352-1.
• Smith, Frank. Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. —ISBN 0-8077-4242-2.
• Sparks, F.; Rees C. Исследование основной математики = A Survey of Basic Mathematics. — 4. — McGraw-Hill, 1979. — 543 с. —ISBN 0-07-059902-5.
• Stewart, James. Исчисление: раннее трансцендирование = Calculus: Early Transcendentals. — 4. — Brooks/Cole, 2010. — 1344 с. —ISBN 0-534-36298-2.
• Taton, René. Расчётная механика. Что я знаю? = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 — Presses universitaires de France, 1963.
• Truitt, T.; Rogers, A. Основы аналоговых компьютеров = Basics of Analog Computers. — John F. Rider, 1960. — 378 с.
• Ferreirós, José. Лабиринты мысли: История теории множеств и её роль в современной математике = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — 440 с. —ISBN 0-8176-5749-5.
• R. Fierro. Математика для учителей начальной школы = Mathematics for Elementary School Teachers. — Cengage Learning, 2012. — 976 с. —ISBN 0538493631.
• Flynn, M.; Oberman, S. Передовые компьютерные арифметические конструкции = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. —ISBN 0-471-41209-0.
• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Молодые математики за работой: Конструирование чувства числа, сложения и вычитания = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. — Heinemann, 2001. — 193 с. —ISBN 0-325-00353-X.
• Hempel, C. G. Философия Карла Г. Хемптела: исследования в области науки, объяснения и рациональность = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality (англ.). — Oxford University Press, 2000. — 464 p. —ISBN 0195343875.
• Horowitz, P.; Hill, W. Искусство схемотехники = The Art of Electronics. — 2. — Бином, 2009. — 704 с. —ISBN 0-521-37095-7.
• Schwartzman, Steven. Математические слова: Краткий Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — 261 с. —ISBN 0-88385-511-9.
• Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Последовательность обучения (англ.) = A coherent curriculum : журнал. — American educator, 2002.
• Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Сложение и вычитание дробей в возрасте 5 — 8 лет = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8. — Carson-Dellosa, 2013. — 64 с. —ISBN 162223006X.
• Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss. Доказательство теорем логики более высоких порядков и их применение: труды 8-го международного фестиваля = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. — Springer, 1995. — 400 с.
• Enderton, Herbert. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. —ISBN 0-12-238440-7.