Кривы́е Безье́ — типы кривых, предложенные в 60-х годах XX века независимо друг от другаПьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» иПолем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.

Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией какпроизводственная тайна до конца 1960-х.

Кривая Безье является частным случаеммногочленов Бернштейна, описанных российским математикомСергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.

Впервые кривые были представлены широкой публике в1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектированияавтомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастельжо).

Впоследствии это открытие стало одним из важнейших инструментовсистем автоматизированного проектирования и программкомпьютерной графики.

Пусть в пространстве${\displaystyle {\mathbb{R}}^m}$размерности${\displaystyle m⩾1}$над${\displaystyle \mathbb{R}}$задана последовательность контрольных точек${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0,\dots ,{\mathbf{P}}_n)}$,где${\displaystyle n⩾0}$,а${\displaystyle {\mathbf{P}}_k=(x_{1,k},\dots ,x_{m,k})}$для${\displaystyle k=0,\dots ,n}$.

Тогда множество${\displaystyle \left\{\mathbf{B}(t)|0⩽t⩽1\right\}}$точек${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(z_1(t),\dots ,z_m(t))}$с координатами${\displaystyle (z_j(t){)}_{j=1,\dots ,m}}$, параметрически задаваемыми выражениями

${\displaystyle z_j(t)=\sum _{k=0}^n{x}_{j,k}{b}_{k,n}(t)}$ для${\displaystyle 0⩽t⩽1,}$ где${\displaystyle j=1,\dots ,m,}$ а${\displaystyle b_{k,n}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t^k(1-t{)}^{n-k}}$ для${\displaystyle k=0,\dots ,n}$,

называетсякривой Безье.

Многочлен${\displaystyle b_{k,n}(t)}$степени${\displaystyle n}$по параметру${\displaystyle t}$называется базисной функцией (соответствующей контрольной точке${\displaystyle {\mathbf{P}}_k}$) кривой Безье илиполиномом Бернштейна.

Здесь${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$ — числосочетанийиз${\displaystyle n}$по${\displaystyle k}$.

1. Кривая Безье, соответствующая как${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0)}$ так и${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0,{\mathbf{P}}_0,\dots ,{\mathbf{P}}_0)}$, есть точка${\displaystyle {\mathbf{P}}_0}$.
2. Кривая Безье, соответствующая паре${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0,{\mathbf{P}}_1)}$, то есть при${\displaystyle n=1}$, есть (линейно) параметризованный отрезок, соединяющий точку${\displaystyle {\mathbf{P}}_0}$ (при${\displaystyle t=0}$) с точкой${\displaystyle {\mathbf{P}}_1}$ (при${\displaystyle t=1}$).
3. При любом порядке${\displaystyle n⩾0}$ кривая Безье содержит как точку${\displaystyle {\mathbf{P}}_0}$ (это — образ параметра${\displaystyle t=0}$), так и точку${\displaystyle {\mathbf{P}}_n}$ (это — образ параметра${\displaystyle t=1}$).
4. Кривая Безье (в общем случае, то есть если не выродилась в точку${\displaystyle {\mathbf{P}}_0}$) ориентируема, поскольку является образом ориентированного отрезка${\displaystyle [0;1]}$. Последовательностям контрольных точек${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0,{\mathbf{P}}_1,\dots ,{\mathbf{P}}_{n-1},{\mathbf{P}}_n)}$ и${\displaystyle ({\mathbf{P}}_n,{\mathbf{P}}_{n-1},\dots ,{\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_0)}$ соответствуют кривые Безье, которые совпадают как множества точек, но имеют (в общем случае) противоположные ориентации.
5. Кривые Безье, соответствующие последовательностям контрольных точек${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0,{\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2)}$ и${\displaystyle ({\mathbf{P}}_0,{\mathbf{P}}_2,{\mathbf{P}}_1)}$, при${\displaystyle {\mathbf{P}}_1\ne {\mathbf{P}}_2}$ не совпадают.
6. Если изменить${\displaystyle (x_{j,0},\dots ,x_{j,n})}$, то изменяется только${\displaystyle z_j(t)}$.

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точкиP₀ иP₁ определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t){\mathbf{P}}_0+t{\mathbf{P}}_{1}t\in [0,1]}$.

Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся тремя опорными точками:P₀,P₁ иP₂.

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t{)}^2{\mathbf{P}}_0+2t(1-t){\mathbf{P}}_1+t^2{\mathbf{P}}_2,t\in [0,1]}$.

Квадратичные кривые Безье в составесплайнов используются для описания формы символов в шрифтахTrueType и вSWF-файлах.

${\displaystyle t=\frac{{\mathbf{P}}_0-{\mathbf{P}}_1\pm \sqrt{({\mathbf{P}}_0-2{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2)\mathbf{B}+{\mathbf{P}}_1^2-{\mathbf{P}}_0{\mathbf{P}}_2}}{{\mathbf{P}}_0-2{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2},{\mathbf{P}}_0-2{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2\ne 0}$

${\displaystyle t=\frac{\mathbf{B}-{\mathbf{P}}_0}{2({\mathbf{P}}_1-{\mathbf{P}}_0)},{\mathbf{P}}_0-2{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2=0,{\mathbf{P}}_0\ne {\mathbf{P}}_1}$

${\displaystyle t=\sqrt{\frac{\mathbf{B}-{\mathbf{P}}_0}{{\mathbf{P}}_2-{\mathbf{P}}_1}},{\mathbf{P}}_0={\mathbf{P}}_1\ne {\mathbf{P}}_2}$

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t{)}^3{\mathbf{P}}_0+3t(1-t{)}^2{\mathbf{P}}_1+3t^2(1-t){\mathbf{P}}_2+t^3{\mathbf{P}}_3,t\in [0,1]}$.

Четыре опорные точкиP₀,P₁,P₂ иP₃, заданные в 2- или 3-мерном пространстве, определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точкиP₀, направляясь кP₁ и заканчивается в точкеP₃, подходя к ней со стороныP₂. То есть, кривая не проходит через точкиP₁ иP₂, они используются для указания её направления. Длина отрезка междуP₀ иP₁ определяет, как скоро кривая повернёт кP₃.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

,

где${\displaystyle {\mathbf{M}}_B}$ называется базисной матрицей Безье:

В современных графических системах и форматах, таких какPostScript (а также основанных на нём форматахAdobe Illustrator иPortable Document Format (PDF)),Scalable Vector Graphics (SVG)^[1],Metafont,CorelDraw иGIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Параметрt в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет, где именно на расстоянии отP₀ доP₁ находитсяB(t). Например, приt = 0,25 значение функцииB(t) соответствует четверти расстояния между точкамиP₀ иP₁. Параметрt изменяется от 0 до 1, аB(t) описывает отрезок прямой между точкамиP₀ иP₁.

Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точекQ₀ иQ₁ из условия, чтобы параметрt изменялся от 0 до 1:

• ТочкаQ₀ изменяется отP₀ доP₁ и описывает линейную кривую Безье.
• ТочкаQ₁ изменяется отP₁ доP₂ и также описывает линейную кривую Безье.
• ТочкаB изменяется отQ₀ доQ₁ и описывает квадратичную кривую Безье.

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точкиQ₀,Q₁ иQ₂, описывающие линейные кривые, а также точкиR₀ иR₁, которые описывают квадратичные кривые: более простое уравнение${\displaystyle \frac{P_0{Q}_0}{P_0{P}_1}=\frac{Q_1{P}_1}{P_1{P}_2}=\frac{B{R}_0}{R_1{R}_0}}$.

Для кривых четвёртой степени это будут точкиQ₀,Q₁,Q₂ иQ₃, описывающие линейные кривые,R₀,R₁ иR₂, которые описывают квадратичные кривые, а также точкиS₀ иS₁, описывающие кубические кривые Безье:

• непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
• кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
• при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
• прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
• кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
• масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает её стабильности, поскольку с математической точки зрения она «аффинно инвариантна»;
• изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
• любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье;
• степень (порядок) кривой всегда на одну ступень меньше числа контрольных точек. Например, при трёх контрольных точках форма кривой —парабола, так как парабола — кривая 2-го порядка;
• окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
• невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые), хотя существуют алгоритмы, строящие приближённую параллельную кривую Безье с приемлемой для практики точностью.

Благодаря простоте задания и манипуляции кривые Безье нашли широкое применение вкомпьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит ввыпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаютсявыпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой вграфическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того,аффинные преобразования кривой (перенос,масштабирование,вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.

Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом всплайнБезье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой. В программахвекторной графики, напримерAdobe Illustrator илиInkscape, подобные фрагменты известны под названием «путей» (path), а в3DS Max и подобных программах3D-моделирования кривые Безье имеют название «сплайны».

Квадратичная кривая Безье с координатами${\displaystyle (x_0;y_0),(x_1;y_1),(x_2;y_2)}$ преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами${\displaystyle (x_0;y_0),\left(x_0+\frac{2\cdot (x_1-x_0)}{3};y_0+\frac{2\cdot (y_1-y_0)}{3}\right),\left(x_1+\frac{x_2-x_1}{3};y_1+\frac{y_2-y_1}{3}\right),(x_2;y_2)}$.

Уровень дискретизации определяется следующим образом:

${\displaystyle |B_{next}-B_{prev}|=1}$

, то есть каждая следующая точка должна отличаться от предыдущей на 1 (допустим пиксель). Причём, если задать${\displaystyle B}$ следующим образом:

${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!\times (n-k)!}\times t_{next}^k\times (1-t_{next}{)}^{n-k}\times P_k-\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!\times (n-k)!}\times t_{prev}^k\times (1-t_{prev}{)}^{n-k}\times P_k\right|=1}$

Через него можно вычислить${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$.

Решим это уравнение для кривых Безье первого порядка (линейных):

${\displaystyle B(t)=(1-t)\times P_0+t\times P_1,0\le t\le 1}$

${\displaystyle B(t)=\{\begin{array}{l}x=(1-t)\times P_{0_x}+t\times P_{1_x}\\ y=(1-t)\times P_{0_y}+t\times P_{1_y}\end{array}}$

Запишем разницу точек для одной оси:

${\displaystyle \left|P_0-t_{next}\times P_0+t_{next}\times P_1-P_0+t_{prev}\times P_0-t_{prev}\times P_1\right|=1}$

Вынесем общие множители за скобки:

${\displaystyle \left|t_{next}\times (P_0-P_1)-t_{prev}\times (P_0-P_1)\right|=1}$

Найдём${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=\left|t_{next}-t_{prev}\right|=\left|\frac{1}{P_0-P_1}\right|}$

так можно вычислить уровень дискретизации для обходаконкретной оси кривой Безье определённого порядка. То есть Вам нужно получить 16 таких уравнений для кривых Безье с 1го по 16 порядок, она всегда задаётся точками, их координаты достаточно будет подставить в полученное уравнение, чтобы обойти кривую с минимальным однозначным уровнем дискретизации.

• Поверхность Безье
• NURBS
• B-сплайн
• Кривые

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. —М.: Мир, 2001.

• Wolfram Math WorldBézier Curve (англ.)
• American Mathematical SocietyFrom Bézier to Bernstein (англ.)
• Кривые Безье в компьютерных играх[1] (рус.)
• Часы на кривых Безье (рус.)
• A Primer on Bézier Curves

• Кривые
• Математические основы компьютерной графики
• Сплайны

• Википедия:Cite web (заменить webcitation-архив: deadlink no)
• Статьи со ссылками на Викисклад