Алгебраическое числовое поле,поле алгебраических чисел^[1] (или просточисловое поле) — этоконечное (а следовательно —алгебраическое)расширение полярациональных чисел${\displaystyle \mathbb{Q}}$. Таким образом, числовое поле — этополе, содержащее${\displaystyle \mathbb{Q}}$ и являющеесяконечномерным векторным пространством над ним. При этом некоторые авторы называют числовым полем любое подполе комплексных чисел — например,М. М. Постников в «Теории Галуа».

Числовые поля и, более общо, алгебраические расширения поля рациональных чисел являются основным объектом изученияалгебраической теории чисел.

• Наименьшее и базовое числовое поле — поле рациональных чисел${\displaystyle \mathbb{Q}}$.
• Гауссовы рациональные числа, обозначаемые${\displaystyle \mathbb{Q}(i)}$ — первый нетривиальный пример числового поля. Его элементы — выражения вида

${\displaystyle a+bi}$

где${\displaystyle a}$ и${\displaystyle b}$ рациональные числа,${\displaystyle i}$ —мнимая единица. Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий скомплексными числами, и у каждого ненулевого элемента существует обратный, как это видно из равенства

${\displaystyle (a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.}$

Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле, являющееся двумерным пространством над${\displaystyle \mathbb{Q}}$ (то естьквадратичным полем).

• Более общо, для любогосвободного от квадратов целого числа${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ будет квадратичным расширением поля${\displaystyle \mathbb{Q}}$.
• Круговое поле${\displaystyle \mathbb{Q}({\zeta }_n)}$ получается добавлением в${\displaystyle \mathbb{Q}}$примитивного корняn-й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корниn-й степени из единицы), его размерность над${\displaystyle \mathbb{Q}}$ равняетсяфункции Эйлера${\displaystyle \phi (n)}$.
• Действительные икомплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности: любое числовое поле являетсясчётным.
• Полевсех алгебраических чисел${\displaystyle \mathbb{A}}$ не является числовым. Хотя расширение${\displaystyle \mathbb{A}\supset \mathbb{Q}}$ алгебраично, оно не является конечным.

Поскольку числовое поле являетсяалгебраическим расширением поля${\displaystyle \mathbb{Q}}$, любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть являетсяалгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторогоунитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называетсяцелым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственныецелые элементы${\displaystyle \mathbb{Q}}$ — это обычныецелые числа.

Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел — снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуютподкольцо числового поля${\displaystyle K}$, называемоекольцом целых поля${\displaystyle K}$ и обозначаемое${\displaystyle {\mathcal{O}}_K}$. Поле не содержитделителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целыхцелостно;поле частных кольца${\displaystyle {\mathcal{O}}_K}$ — это само поле${\displaystyle K}$. Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оноцелозамкнуто,нётерово иодномерно. Коммутативное кольцо с такими свойствами называетсядедекиндовым в честьРихарда Дедекинда.

В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевыхидеалов в произведениепростых. Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойствуфакториальности: уже для кольца целых квадратичного поля${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-5})}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}$ разложение не единственно:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})}$

Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением наобратимый элемент.

Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощигруппы классов идеалов, эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.

Целый базис числового поляF степениn — это множество

B = {b₁, …,b_n}

изn элементов кольца целых поляF, такое что любой элемент кольца целыхO_F поляF можно единственным способом записать какZ-линейную комбинацию элементовB; то есть для любогоx изO_F существует и единственно разложение

x =m₁b₁ + … +m_nb_n,

гдеm_i — обычные целые числа. В этом случае любой элементF можно записать как

m₁b₁ + … +m_nb_n,

гдеm_i — рациональные числа. После это целые элементыF выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых всеm_i целые.

Используя такие инструменты каклокализация иэндоморфизм Фробениуса, можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многихсистемах компьютерной алгебры.

ПустьF — числовое поле степениn. Среди всех возможных базисовF (какQ-векторного пространства) существуют степенные базисы, то есть базисы вида

B_x = {1,x,x², …,xⁿ⁻¹}

для некоторогоx ∈F. Согласнотеореме о примитивном элементе, такойx всегда существует, его называютпримитивным элементом данного расширения.

Алгебраическое числовое поле являетсяконечномернымвекторным пространством над${\displaystyle \mathbb{Q}}$ (обозначим его размерность через${\displaystyle n}$), и умножение на произвольный элемент поля являетсялинейным преобразованием этого пространства. Пусть${\displaystyle e_1,e_2,\dots e_n}$ — какой-нибудь базисF, тогда преобразованию${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ соответствует матрица${\displaystyle A=(a_{ij})}$, определяемая условием

${\displaystyle \alpha e_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{e}_j,a_{ij}\in \mathbf{Q}.}$

Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят всеинварианты матрицы, такие какопределитель ислед. В контексте алгебраических расширений определитель матрицы умножения на элемент называетсянормой этого элемента (обозначается${\displaystyle N(x)}$); след матрицы —следом элемента (обозначается${\displaystyle \text{Tr}(x)}$).

След элемента являетсялинейным функционалом наF:

${\displaystyle \text{Tr}(x+y)=\text{Tr}(x)+\text{Tr}(y)}$ и${\displaystyle \text{Tr}(\lambda x)=\lambda \text{Tr}(x),\lambda \in \mathbb{Q}}$.

Норма является мультипликативной иоднородной функцией:

${\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)}$ и${\displaystyle N(\lambda x)={\lambda }^{n}N(x),\lambda \in \mathbb{Q}}$.

В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис➤, умножению нацелое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых➤) в этом базисе будет соответствовать матрица сцелыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.

Пусть${\displaystyle d}$ —натуральное число,свободное от квадратов, тогда${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ —квадратичное поле (в частности, являющееся числовым полем). Выберем в этом поле целый базис${\displaystyle (1,\sqrt{d})}$ (${\displaystyle \sqrt{d}}$ — целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена${\displaystyle x^2-d}$). В этом базисе умножению на${\displaystyle a+b\sqrt{d}}$ соответствует матрица

Следовательно,${\displaystyle N(a+b\sqrt{d})=a^2-d{b}^2}$. На элементах кольца${\displaystyle \mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$ эта норма принимает целые значения. Норма являетсягомоморфизмом мультипликативной группы${\displaystyle \mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$ на мультипликативную группу${\displaystyle \mathbb{Z}}$, поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только${\displaystyle 1}$ или${\displaystyle -1}$. Для того, чтобы решитьуравнение Пелля${\displaystyle a^2-d{b}^2=1}$, достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемыеединицами кольца) и выделить среди них имеющие норму${\displaystyle 1}$. Согласнотеореме Дирихле о единицах, все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на${\displaystyle -1}$), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.

• Теория Куммера

• Кох Х.^[англ.]. Алгебраическая теория чисел. —М.:ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. —М.: Едиториал УРСС, 2004.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. —М.: Едиториал УРСС, 2011.
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

• Алгебраическая теория чисел
• Теория полей

• Википедия:Статьи с шаблоном Falseredirect