Механика сплошных сред
Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы ·Закон сохранения импульса
Теория упругости Напряжение ·Тензор ·Твёрдые тела ·Упругость ·Пластичность ·Закон Гука ·Реология ·Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость ·Гидростатика ·Гидродинамика ·Вязкость ·Ньютоновская жидкость ·Неньютоновская жидкость ·Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности ·Уравнение Эйлера ·Уравнение Громеки — Лэмба ·Уравнение Бернулли ·Интеграл Коши — Лагранжа ·Уравнения Навье — Стокса ·Уравнение вихря ·Уравнение диффузии ·Закон Гука
См. также:Портал:Физика

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которомудеформация, возникающая в упругом теле (пружине,стержне,консоли,балке и т. д.), прямо пропорциональна силе упругости, возникающей в этом теле. Открыт в 1660 году английским учёнымРобертом Гуком^[1]. Закон справедлив дляупругих деформаций, то есть деформаций, устраняющихся при снятии внешней силы, вызвавшей деформации.

Закон Гука выполняется только при малых упругих деформациях, и не справедлив припластических деформациях (не устраняющихся при снятии внешней силы, вызвавшей деформации). При превышениипредела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

${\displaystyle F=k\mathrm{\Delta }l.}$

Здесь${\displaystyle F}$ — сила, которой растягивают (сжимают) стержень,${\displaystyle \mathrm{\Delta }l}$ — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а${\displaystyle k}$ —коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения${\displaystyle S}$ и длины${\displaystyle L}$) явно, записав коэффициент упругости как

${\displaystyle k=\frac{ES}{L}.}$

Величина${\displaystyle E}$ называетсямодулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввестиотносительное удлинение

${\displaystyle \epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }l}{L}}$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

${\displaystyle \sigma =\frac{F}{S},}$

то закон Гука для относительных величин запишется как

${\displaystyle \sigma =E\epsilon .}$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

${\displaystyle \mathrm{\Delta }l=\frac{FL}{ES}.}$

Закон Гука лежит в основе измерениясил пружинным механическимдинамометром^[2]. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется^[3].

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойствомупругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

В общем случае напряжения и деформации описываютсятензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонентов). Связывающий ихтензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга${\displaystyle C_{ijkl}}$ и содержит 81 коэффициент. Вследствиесимметрии тензора${\displaystyle C_{ijkl}}$, а такжетензоров напряжений идеформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\sigma }_{ij}=\sum _{kl}{C}_{ijkl}\cdot {\epsilon }_{kl},}$

где${\displaystyle {\sigma }_{ij}}$ —тензор напряжений,${\displaystyle {\epsilon }_{kl},}$ —тензор деформаций. Для изотропного материала тензор${\displaystyle C_{ijkl}}$ содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен вматричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

${\displaystyle {\epsilon }_x=\frac{{\sigma }_x}{E}-\frac{\mu }{E}{\sigma }_y-\frac{\mu }{E}{\sigma }_z}$

${\displaystyle {\epsilon }_z=\frac{{\sigma }_z}{E}-\frac{\mu }{E}{\sigma }_x-\frac{\mu }{E}{\sigma }_y}$де:

• ${\displaystyle E}$ —модуль Юнга;
• ${\displaystyle \mu }$ —коэффициент Пуассона;
• ${\displaystyle G=\frac{E}{2(1+\mu )}}$ —модуль сдвига.

• Модуль Юнга

• Физические законы
• Физика твёрдого тела
• Теория упругости
• Именные законы и правила