Арифме́тика (др.-греч.ἀριθμητική,arithmētikḗ — отἀριθμός,arithmós «число») — разделматематики, изучающийчисла, ихотношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа (натуральные,целые,рациональные,вещественные,комплексные числа) и его свойства. В арифметике рассматриваютсяизмерения,вычислительные операции (сложение,вычитание,умножение,деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, илитеория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время какформальная арифметика оперирует логическими построениямипредикатов иаксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана салгеброй,геометрией и теорией чисел^[1][2].

Причинойвозникновения арифметики стала практическая потребность всчёте и вычислениях, связанных с задачамиучёта при централизациисельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внеслигреческие математики — в частности,философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.

ВСредние века арифметику относили, вслед занеоплатониками, к числу так называемыхсеми свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда былиторговля,навигация,строительство. В связи с этим особое значение получилиприближённые вычисленияиррациональных чисел, необходимые, в первую очередь, для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась вИндии истранах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли вЗападную Европу;Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».

С наступлениемНового времени мореходнаяастрономия,механика, усложнившиеся коммерческие расчёты выдвинули новые требования к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII векаНепер изобрёллогарифмы, а затемФерма выделилтеорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудамЛамберта,Эйлера,Гаусса арифметика включила в себя операции скомплексными величинами, приобретя современный вид.

Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попыткамидедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны, в первую очередь, со строгим определением натурального числа иаксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году.Непротиворечивость формального построения арифметики была показанаГенценом в 1936 году.

Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание вначальном школьном образовании.

Предметом арифметики являютсячисловые множества, свойства чисел и действия над числами^[3]. К ней также относят вопросы, связанные с техникой счёта,измерениями^[4], происхождением и развитием понятия числа^[1]. Арифметика изучает, в первую очередь,натуральные числа идроби^[5]. На основеаксиоматической структурымножества натуральных чисел осуществляется построение других числовых множеств, включаяцелые,действительные икомплексные числа, проводится их анализ^[1]. Иногда в рамках арифметики рассматривают такжекватернионы и другиегиперкомплексные числа. Вместе с тем, изтеоремы Фробениуса следует, что расширение понятия числа за пределыкомплексной плоскости без потери каких-либо его арифметических свойств невозможно^[6][7].

К основным действиям над числами относятсложение,вычитание,умножение иделение^[3], реже —возведение в степень,извлечение корня^[4] и решение численныхуравнений^[3]. Исторически список арифметических действий также включал собственносчёт, удвоение (помимо умножения), деление на два иделение с остатком (помимо деления), поиск суммыарифметической игеометрической прогрессий^[8].Джон Непер в своей книге «Логистическое искусство» разделил арифметические действия по ступеням: на низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей — умножение и деление, далее — возведение в степень и извлечение корней^[9]. Известный методистИ. В. Арнольд к операциям третьей ступени относил такжелогарифмирование^[10]. Традиционно арифметикой называют выполнение операций над различными объектами, как то: «арифметикаквадратичных форм», «арифметикаматриц»^[1].

Собственно математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд (пропорции,проценты,тройное правило), относят к низшей, или практической арифметике^[3], в то время каклогический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике^[1]. Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частьютеории чисел^[1], которую долгое время считали высшей арифметикой^[3]. Арифметика также тесно связана салгеброй, которая изучает собственнооперации без учёта особенностей и свойств чисел^[1][11]. Такие арифметические действия, как возведение в степень и извлечение корней, являются технической частью алгебры. В этой связи, вслед заНьютоном иГауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики^[3][4]. Вообще говоря, чётких границ между арифметикой,элементарной алгеброй и теорией чисел не существует. ВБСЭ сказано: «Алгебра изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях (см. Чисел теория) — более тонкими индивидуальными свойствами чисел»^[12].

Как и прочиеакадемические дисциплины, арифметика сталкивается с принципиальнымиметодологическими проблемами; для неё необходимо исследование вопросовнепротиворечивости и полноты аксиом^[3]. Логическими построениямиформальной системыпредикатов и аксиом арифметики занимаетсяформальная арифметика^[2].

Простейшим арифметическим понятием являетсяпорядковый счёт. Объектом счёта служат различные элементы или их множества, например, яблоки и корзины яблок. С помощью порядкового счёта можнопронумеровать элементы и обозначить ихобщее количество.

Порядковый счёт связан со счётом группами, содержащими определённое равное количество элементов — например, счёт десятками яблок. Обычно это пальцы на двух руках (основание равно${\displaystyle 10}$), но в исторических источниках встречаются группировки по${\displaystyle 5,11,12,20,40,60,80}$. Количество элементов в группе служит основанием длясистемы счисления^[11].

Числовой ряд, получаемый при счёте, называют натуральным, а его элементы — натуральными числами. Понятие натурального ряда впервые появилось в работах греческого математикаНикомаха в I веке н. э., а натурального числа — у римского автораБоэция в конце V — начале VI века. Всеобщее употребление термина начинается с работД’Аламбера в XVIII веке.Архимед в своей работе «Псаммит» указал, что числовой ряд можно продолжать неограниченно, но вместе с тем заметил, что для реальных задач достаточно небольшого отрезка^[13]. Деление натуральных чисел начётные и нечётные приписываютпифагорейцам, оно также присутствует вегипетскомпапирусе Ринда. Пифагорейцы также определилипростые исоставные числа^[14].

Арифметические операции
Сложение (+)
1-еслагаемое + 2-е слагаемое =	сумма
Вычитание (−)
Уменьшаемое −вычитаемое =	разность
Умножение (×)
1-ймножитель × 2-й множитель =	произведение
Деление (:)
Делимое :делитель =	частное
Деление с остатком (mod)
Делимое modделитель =	остаток от деления
Возведение в степень (^)
${\displaystyle {\text{основание}}^{\text{показатель степени}}}$ =	степень
Извлечение корня (√)
${\displaystyle \sqrt[\text{показатель}]{\text{число}}}$ =	корень
Логарифм (log)
${\displaystyle {\log }_{\text{основание}}}$(число) =	логарифм

Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения. При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах вместе. Если первый набор содержал${\displaystyle 3}$ предмета, а второй —${\displaystyle 2}$ предмета, то их сумма будет содержать${\displaystyle 3+2=5}$ предметов. Указанное действие носит название сложения и является простейшейбинарной операцией^[4]. Для проверки корректности суммы таблицу сложения знать не обязательно, достаточно пересчитать предметы^[15].

Многократное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение^[4]. Помимо умножения, в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на два^[16].

По аналогии с определением умножения через сложение, многократное умножение позволяет определить операцию возведения в степень.

Про свойства этих операций сформулированы пять законов, которые считаются основными законами арифметики^[17]:

• Коммутативность: переместительный закон сложения гласит, чтоот перемены мест слагаемых сумма не меняется. Аналогичный закон известен и для умножения, но он, конечно, говорит о множителях и произведении. Эти законы можно выразить в алгебраической форме с помощью буквенных обозначений:

${\displaystyle a+b=b+a}$

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

• Ассоциативность: сочетательный закон сложения гласит, чтоскладывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке. Аналогичный закон для умножения говорит о перемножении множителей. Эти законы также можно выразить в алгебраической форме:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

• Дистрибутивность: распределительный закон гласит:чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения. В алгебраической форме:

${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Помимо основных законов арифметики, для натуральных чисел выполняются также законы монотонности сложения и умножения^[18][19], в алгебраической форме записываемые так:

${\displaystyle a+b>a+c}$ при${\displaystyle b>c}$;

${\displaystyle a\cdot b>a\cdot c}$ при${\displaystyle b>c}$ и${\displaystyle a>0}$.

Термин «коммутативный» для переместительного закона ввёл в 1814 году французский математикСервуа. Термин «ассоциативный» для сочетательного закона ввёл в 1853 годуГамильтон^[17].

Пуанкаре рассматривал все арифметические операции и законы с точки зренияинтуиции. Утверждая, что законы очевидным образом выполняются для малых чисел, и используя правилоиндукции, можно прийти к выводу, что они выполняются для всех чисел. При другом подходе интуитивно выполнимыми считаются не все, а только простейшие законы, в то время как дальнейшее доказательство связано с логическими построениями^[20]. Очевидными принимались переместительный и сочетательный законы^[17]. Распределительный, или дистрибутивный закон в своих «Началах» доказывал ещё Евклид, используя геометрический метод^[21].

Операция возведения в степень уже не коммутативна и не ассоциативна, у неё свои правила. Основные правила выполнения этой операции при положительных степенях очевидным образом следуют из её определения^[4]. В алгебраической форме они могут быть записаны следующим образом:

• Дистрибутивность — распределительный закон для операции возведения в степень:

${\displaystyle a^{n+m}=a^n{a}^m}$

• он же, в случае вычитания, приобретает форму дроби:

${\displaystyle a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m},n>m}$

• Повторное возведение в степень раскрывается как перемножение степеней:

${\displaystyle {\left(a^n\right)}^m=a^{nm}}$.

У всех операций арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, у возведения в степень — арифметический корень и логарифм. То, что у сложения и умножения по одной обратной операции, несмотря на их бинарность, объясняется их коммутативностью.

Вычитание — это операция, обратная сложению: разностью двух чисел${\displaystyle 5}$ и${\displaystyle 2}$ является${\displaystyle x}$ из уравнения${\displaystyle 2+x=5}$^[4]. Обозначается операция вычитания знаком «−» и записывается в виде${\displaystyle 5-2=3}$. Для выполнения операции применяли два приёма: отсчитывание от уменьшаемого числа единиц вычитаемого или подбор такого числа, прибавление которого к вычитаемому давало бы уменьшаемое^[16].

Операция вычитания, если её применять ко всем парам натуральных чисел, а не только к таким, которые могли бы быть суммой и слагаемым в рамках операции сложения, позволяет выйти за пределы натурального ряда, то есть разность двух натуральных чисел не обязательно является натуральным числом — в результате вычитания может получитьсяноль или вовсе отрицательное число. Отрицательные числа уже невозможно рассматривать как количество предметов, на числовой оси они расположены левее ноля. Множество чисел, получившееся добавлением к натуральным числам отрицательных чисел и числа ноль, носит название множества целых чисел. Ноль и множество натуральных чисел называютсянеотрицательные целые числа^[4]. При умножении, чтобы определить, положительным или отрицательным будет произведение чисел, используют «правило знаков»^[22].

Отрицательные числа считали ненастоящими и бессмысленными очень многие математики вплоть до XIX века, что, однако, не мешало их повсеместному формальному использованию. Впервые понятие отрицательных чисел появилось в Индии, где их толковали как «долг» (положительные числа — «имущество»). Распространение же отрицательные числа получили только в XVII веке^[23]. Термин «вычитание» появился ещё уБоэция, термины «вычитаемое» и «уменьшаемое» ввёл в обиходВольф в 1716 году, «разность» —Видман в 1489 году^[16]. Современное обозначение знаками «+» и «−» было также введено Видманом в конце XV века.

Обратной к операции умножения является операция деления. Первое определение деления — это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Такое определение дано в учебниках арифметики XIV века — например,${\displaystyle 20:4=5}$. Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 года^[16].

Для натуральных чисел, не являющихся множителем и произведением, известна операцияделение с остатком (а определение собственноостатка от деления также называетсяделение по модулю). Также существует множество способов, упрощающих деление в различных частных случаях илипозволяющих проверить делимость на то или иное число. Например:

• число без остатка делится на два, если его последняя цифра при десятичной записи делится на два;
• число без остатка делится на три, если сумма всех его цифр при десятичной записи делится на три;
• число без остатка делится на десять, если его последняя цифра при десятичной записи — ноль.

Операция деления, если делить не только те числа, которые можно получить умножением натуральных чисел, и при этом не выделять остаток, так же как и вычитание, позволяет выйти за пределы множества натуральных чисел. При делении могут получитьсядроби, которые невозможно без остатка сократить до целого. Числа, соответствующие таким дробям, называются рациональными. За счёт осознания основанных на делении рациональных чисел происходит ещё одно расширение перечня известных видов чисел. Исторически сначала появилось понятие дроби, а затем отрицательного числа^[24]. Такой же порядок принят в школьном курсе^[25].

Используется две формы записи дробей — в виде числителя и знаменателя, разделённых горизонтальной или наклонной чертой и часто сокращаемых до минимальных чисел, и в виде цифр дробной части, размещаемых после знака-разделителя целой и дробной части впозиционной записи числа. Например, результат деления 10 на 20 может быть записан как${\displaystyle \frac{10}{20}=10/20=5/10=1/2=0,5}$.

Одна из двух обратных для возведения в степень операций —извлечение корня, или поиск числа, которое при возведении в соответствующую степень будет давать известный результат. То есть, говоря алгебраически, это поиск корня для уравнения вида${\displaystyle x^a=b}$. Вторая обратная операция — поисклогарифма (корня для уравнения вида${\displaystyle a^x=b}$). К арифметике, как правило, относят лишь вычисление корня второй степени —квадратного корня.

Операция вычисления корня, если выполнять её не только для тех чисел, которые можно получить возведением в степень натуральных чисел, так же как и остальные обратные операции, позволяет выйти за пределы множества натуральных чисел. Числа, которые получаются при этом, часто не могут быть представлены в виде конечных рациональных дробей и поэтому названы иррациональными. Множество чисел, полученное добавлением к рациональным числам иррациональных, назваливещественными илидействительными.

Ещё в Древней Греции было известно о существованиинесоизмеримых отрезков, как минимум, на примере сторон и диагонали квадрата со стороной, принятой за единицу, и проводились попытки получить для них точные числовые значения, что нашло отражение в «Началах»Евклида. Вещественные числа стали объектом исследований только в XVII—XVIII веках. Во второй половине XIX векаДедекинд,Кантор иВейерштрасс сформулировали своиконструктивные способы определения вещественного числа^[26].

Для операции извлечения корня известно следующее правило^[4]:

${\displaystyle a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}}$.

Дальнейшее расширение множества чисел было связано с невозможностью извлеченияквадратного корня из отрицательного числа. С подобной задачей сталкивались в древности при решенииквадратных уравнений, и такие уравнения просто считали неразрешимыми. В первой половине XVI века стали выражать решения таких уравнений через корни из отрицательных чисел и называть такие корни «мнимыми», «невозможными», «воображаемыми» и т. д.^[27]

Практическая сторона арифметики включает в себя методы, схемы и алгоритмы для осуществления точных арифметических действий, в том числе использование счётных машин и других устройств, а также различные приёмы приближённых вычислений, которые появились в связи с невозможностью получить точный результат при некоторых измерениях и позволяют определить его порядок, то есть первые значащие цифры^[28].

• Простейшие счётные устройства
• 
  Римский абак
• 
  Китайский суаньпань
• 
  Юпана инков
• 
  Русские счёты

Начиная с XV века предлагались разные алгоритмы для осуществления арифметических операций над многозначными числами, которые отличаются характером записи промежуточных вычислений^[1]. Арифметические алгоритмы построены на действующейпозиционной системе счисления, когда любое положительное действительное число${\displaystyle x}$ единственным образом представимо в виде

${\displaystyle x=(a_{n-1}{a}_{n-2}\dots a_1{a}_0,a_{-1}{a}_{-2}\dots {)}_b=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n-1}{a}_k{b}^k}$, где${\displaystyle a}$ — очередная цифра записи числа${\displaystyle x}$,${\displaystyle b}$ — основание системы счисления,${\displaystyle n}$ — число разрядов целой части числа${\displaystyle x}$.

Все действия над числами используют таблицы сложения и умножения до десяти и основные арифметические законы. В качестве иллюстрации известный популяризатор наукиКлейн приводит следующий пример:

${\displaystyle 7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,}$

в котором используются распределительный и сочетательный законы^[29].

Потребность в быстрых и точных вычислениях привела к созданию простейших счётных устройств:абака,суаньпаня,юпаны илисчёт. Следующим шагом было созданиеОтредом в 1622 годулогарифмической линейки, которая позволяет производить умножение и деление^[30].

Кнут считал арифметические действия «уделомкомпьютеров»^[31]. Первыевычислительные машины, которые позволяли механизировать четыре арифметических действия, были сконструированы в XVII веке. «Арифметическая машина»Шиккарда, как он сам её называл, была построена в 1623 году. Операции сложения и вычитания производились посредством вращения цилиндров, специальные цилиндры были также для умножения и деления. Кроме того, машина могла переносить десятки.МашинаПаскаля была разработана им в 1642 году для помощи отцу в выполнении финансовых расчётов. Она имела тот же принцип действия, что и машина Шиккарда. Основную часть машины составлял механизм переноса десятков. Вместе с тем, ремесленное изготовление таких машин всё ещё оставалось невыгодным^[32]. Попытки усовершенствовать арифмометр продолжались весь XVIII век, но только в XIX веке применениеарифмометров получило широкое распространение^[33].

В XX веке на смену арифмометрам пришли электронные вычислительные машины. В их основе лежат алгоритмы, которые используют наименьшее числоэлементарных операций для выполнения арифметических действий^[1].Компьютерная арифметика включает алгоритмы выполнения операций надчислами с плавающей запятой, дробями и оченьбольшими числами^[31].

Помимо предметов, которые подлежат пересчёту, существуют предметы, которые можно измерить — в первую очередь, это длина и масса^[34].

Как и при счёте, первыми мерами длины у человека были пальцы рук. Затем расстояние стали мерить шагами, двойными шагами,милями (тысяча двойных шагов),стадиями. Кроме того, для измерения длины использовали локти, ладони,сажени,дюймы. В различных регионах устанавливались свои системы мер, которые редко были кратны десяти^[35]. Многообразие мер, в частности, позволяло обойтись без использования дробей^[36][37]. Торговая арифметика включала в себя умение оперировать величинами (денежными единицами, единицами мер и весов) в недесятичной системе счисления^[38].

В конце XVIII векафранцузским революционным правительством на основании временного, а затем и архивного (законом 10 декабря 1799 года) метра была принятаметрическая система мер (окончательноФранция перешла на неё с 1 января 1840 года). Вместе с метром был определён икилограмм. В основе метрической системы лежит десятичная система. Именно это обстоятельство позволило ей распространиться почти на весь мир (исключение составляютВеликобритания иСША). По указу специальногоМеждународного бюро мер и весов, расположенного вПариже, в 1888 году из сплаваплатины ииридия были изготовлены международный метр и международный килограмм —эталоны мер и весов. Помимо мер времени и угла, все остальные единицы мер также связаны с десятичной системой^[39].

Исторически приближённые вычисления возникли при поиске длины диагонали единичного квадрата, но получили широкое распространение при переходе к десятичной системе и использовании конечныхдесятичных дробей вместо иррациональных чисел и чисел, выраженных бесконечной периодической дробью^[40].

Для оценочных вычислений используют, в первую очередь, законы монотонности. Например, чтобы определить порядок произведения${\displaystyle 567\cdot 134}$, можно воспользоваться следующей оценкой:^[29].

Теория чисел, или высшая арифметика, — это наука о целых числах, которая возникла из арифметических задач, связанных сделимостью чисел^[41]. Элементарная теория чисел имеет дело с проблемами, которые решают элементарными методами, обычно без использования мнимых чисел. К ней относят теорию делимости, теорию сравнений, неопределённыеуравнения,разбиение на слагаемые, приближения рациональными числами,цепные дроби^[42].Основная теорема арифметики — о разбиении числа на простые сомножители единственным образом — также является частью элементарной теории чисел^[43].

Отдельные подклассы целых чисел, такие как простые, составные,квадратные,совершенные числа, были выделены ещёдревними греками. Они вывели формулы для определения пифагоровых троек,наибольшего общего делителя, показали бесконечность числа простых чисел.Диофант провёл систематизацию задач, связанных с целыми числами. Работы Диофанта были продолженыФерма в XVII иЭйлером в XVIII веке. Ферма занимался решением уравнений в целых числах и сформулировал без доказательствамалую ивеликую теоремы Ферма. Эйлер, продолжая исследования Ферма, доказал малую теорему и частный случай великой теоремы Ферма. Он впервые применилматематический анализ для решения задач теории чисел и создал аналитическую теорию чисел. Эйлер определилпроизводящие функции, на основе которых были построеныкруговой метод^[англ.] иметод тригонометрических сумм^[41].

В настоящее время, помимо элементарной и аналитической теории чисел, существуют такие разделы, какаддитивная,алгебраическая,вероятностная,метрическая теории чисел^[41].

В современной математикепостроение теории представляет собой выбор базовых свойств, илиаксиом, из которых требуется вывести все положения теории, илитеоремы, с помощью общепринятой логики^[44]. Теоретическое построение арифметики оперирует алгебраическими понятиями. Сложность выделения основных определений арифметики связана с простотой её начальных положений.Пеано, опасаясь ложного ассоциативного ряда при использовании слов, проводил доказательства исключительно на языке символов, опираясь только на принятые им предварительные положения.Кантор и Дедекинд связали числа с множествами и абстрактными отношениями над ними^[20].Теория множеств рассматривает арифметические действия как особые отношения между тройками элементов, в которых один элемент определяется через два других, илиалгебраические операции^[45]. Говоря о теории множеств, Клейн заметил, что при этом подходе развитие теории становится«отвлечённым и мало доступным»^[20].

В 1810 году чешский математикБольцано определил действие сложения для натуральных чисел. Независимо от него подобное определение дали немецкие математикиГрассман в 1861 году иГанкель в 1869 году^[46]. «Энциклопедия элементарной математики» предлагает следующее определение сложения натуральных чисел^[47]:

Сложение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно^[47].

Умножение, как и сложение, определили независимо Больцано, Грассман и Ганкель^[46]. «Энциклопедия элементарной математики» предлагает следующее определение умножения натуральных чисел^[48]:

Умножение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно^[48].

В 1891 году Пеано представилаксиомы длянатуральных чисел (в других источниках упоминается также 1889 год)^[11][46]. С тех пораксиомы претерпели очень небольшое изменение.

«Энциклопедия элементарной математики» предлагает следующее определение вычитания натуральных чисел^[50]:

Вычитание натуральных чисел выполнимо, только когда${\displaystyle a>b}$, если разность существует, то она единственна^[50]. Расширение натуральных чисел за счёт свойств сложения и вычитания приводит к понятию целых чисел^[51].

Кольцо${\displaystyle \mathbb{Z}}$ существует и является единственным с точностью доизоморфизма, а каждый его элемент равен разности натуральных чисел. При построении кольца используют множество пар натуральных чисел вида${\displaystyle (a,b)}$. Для пар определяютэквивалентность, сложение и умножение следующим образом^[52]:

• ${\displaystyle (a,b)}$ эквивалентно${\displaystyle (c,d)}$ тогда и только тогда, когда${\displaystyle a+d=b+c,}$
• ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),}$
• ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,ad+bc).}$

«Энциклопедия элементарной математики» предлагает следующее определение деления натуральных чисел^[50]:

Деление натуральных чисел выполнимо, только когда${\displaystyle a⋮b}$ (${\displaystyle a}$ кратно${\displaystyle b}$), если частное существует, то оно единственно^[50]. Расширение целых чисел за счёт понятий умножения и деления приводит к определению рациональных чисел^[51]. Ещё в 1710 годуВольф высказал требование, что уже известные законы выполнения арифметических действий с целыми числами не могут напрямую применяться для дробей и должны получить своё обоснование. Само обоснование было разработано только в XIX веке с использованием принципа постоянства формальных законов^[53].

Поле${\displaystyle \mathbb{Q}}$ существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен частному целых чисел. Как и для целых чисел, при построении поля рациональных чисел используют множество пар${\displaystyle (a,b)}$, но теперь уже целых чисел, при этом${\displaystyle b\ne 0}$. Для пар определяют эквивалентность, сложение и умножение следующим образом^[25]:

• ${\displaystyle (a,b)}$ эквивалентно${\displaystyle (c,d)}$ тогда и только тогда, когда${\displaystyle ad=bc,}$
• ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),}$
• ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd).}$

Во второй половине XIX века было представлено три различных теоретических построениядействительных чисел. Наиболее популярным является построениеДедекинда.Кантор в своём построении использовал теорию пределов^[54].

Поле${\displaystyle \mathbb{R}}$ существует и является единственным с точностью доизоморфизма, а каждый его элемент равен пределу последовательности рациональных чисел^[55].

Поле${\displaystyle \mathbb{C}}$ являетсяалгебраически замкнутым. При построении поля комплексных чисел используют множествоупорядоченных пар${\displaystyle (a,b)}$. Для пар определяют эквивалентность, сложение и умножение следующим образом:

• ${\displaystyle (a,b)}$ эквивалентно${\displaystyle (c,d)}$ тогда и только тогда, когда${\displaystyle a=c}$ и${\displaystyle b=d}$,
• ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),}$
• ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).}$

Логико-математическое построение носит названиеформальной арифметики^[57]. Переход к логике связан с подходом школыГильберта, который рассматривал вместо чисел абстракции и полагал для них верными основные арифметические законы^[20]. Для обоснования арифметики было предложено несколько вариантов аксиоматики. Помимо системы аксиом Пеано, в которой определены и сложение, и умножение, существуетсистема аксиом Пресбургера, в которой определено только сложение, а также аксиомы, в которых определены сложение, умножение и возведение в степень. Зачастую в качестве аксиом включают все свойства операций^[58][59]. Все эти аксиоматические теории основаны на множестве целых чисел и не включают в себяпарадоксы теории множеств. Другие исследовательские подходы выводят арифметику из аксиом теории множеств или математической логики^[44]. Для удобства исследования аксиомы записывают на специальном формальном языкематематической логики^[57]. Он содержит${\displaystyle 0}$, числовые переменные, символы (${\displaystyle =,+,\cdot {,}^{\prime }}$) и логические связки (${\displaystyle \mathrm{\&},\leftarrow ,\mathrm{\forall },\mathrm{\exists },\vee ,\mathcal{e}}$), постулатами являются постулаты предикатов исчисления^[2]. Аксиома индукции представляет собой бесконечный набор аксиом, который нельзя заменить никаким конечным множеством^[57].

В идеале базовый набор аксиом должен обладать тремя качествами^[11]:

• непротиворечивость — аксиомы не должны конфликтовать друг с другом;
• независимость — среди аксиом не должно быть лишних, логически выводимых из других аксиом;
• полнота — набор аксиом должен быть достаточен для того, чтобы любую правильно сформулированную теорему можно было доказать или опровергнуть.

Арифметика натуральных чисел имеет большое значение для обоснования математических теорий: из её непротиворечивости следует непротиворечивость арифметики действительных чисел, которая в свою очередь позволяет, пользуясь методом моделей, показать непротиворечивостьевклидовой геометрии игеометрии Лобачевского^[11][44]. Доказательством непротиворечивости арифметики в системе Пеано и родственных ей аксиоматических системах безуспешно занимался Гильберт в начале XX века. После открытия в 1930 годутеоремы Гёделя о неполноте стало ясно, что в подобных простых системах это невозможно. Доказательство непротиворечивости было проведено в 1936 годуГенценом с использованием разновидноститрансфинитной индукции^[57].

Для исследования независимости каждая аксиома по очереди заменяется на противоположную и затем строится модель, где полученный набор аксиом выполняется. Если заменённая аксиома зависима, то есть логически вытекает из других аксиом, то замена её на противоположную, очевидно, приводит к противоречивой системе аксиом, и построение модели невозможно. Таким образом, если модель удаётся построить, то соответствующая аксиома независима^[60]. Таким способом было доказано, что все аксиомы Пеано независимы одна от другой^[61].

Средствами формальной арифметики, которая строится на аксиомах Пеано, можно записать теоремы теории чисел, которые доказываются, не используя средства математического анализа, а такжерекурсивные функции и их свойства^[2]. Она эквивалентнааксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля безаксиомы бесконечности. Вместе с тем доказанная в 1929 годутеорема Гёделя о полноте показала, что аксиоматика Пеано неполна, то есть существуют арифметические теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. В то время как арифметика полна относительно формул вида${\displaystyle \mathrm{\exists }{x}_1\dots \mathrm{\exists }{x}_k(P=Q)}$, существуют теоремы вида${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_1\dots \mathrm{\forall }{x}_9(P\ne Q)}$, которые выражают истинное суждение, но их невозможно вывести^[57]. Удалось найти и конкретные примеры теорем:теорема Гудстейна,теорема Париса–Харрингтона и другие.

Египетские математические тексты особое внимание уделяли вычислениям и возникающим при этом трудностям, от которых во многом зависели методы решения задач. МатематическиепапирусыДревнего Египта были составлены для учебных целей^[62], они содержали задачи с решениями, вспомогательные таблицы и правила действий над целыми числами идробями, встречаютсяарифметические игеометрические прогрессии, а такжеуравнения^[11]. Египтяне пользовалисьдесятичной системой счисления^[63]. Египтяне знали такие арифметические операции, как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и деление без остатка проводились с помощью многократного повторения операции удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали определённые члены последовательности${\displaystyle 1,2,4,8,16,...}$^[15]. В Египте нашли применение толькоаликвотные дроби, или доли единицы (${\displaystyle 1/n}$), а все остальные дроби разлагались на сумму аликвотных^[64]. При определенииплощади квадрата,объёма куба или нахождении стороны квадрата по его площади египтяне сталкивались с возведением в степень и извлечением корня, хотя названия этим операциям ещё не было^[15].

Вавилонскиеклинописные математические тексты использовалишестидесятеричную систему счисления, характерную ещё дляшумеров^[65], и представляли собой учебные пособия, которые включаюттаблицы умножения для чисел от${\displaystyle 1}$ до${\displaystyle 59}$, а также таблицыобратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел натурального ряда, таблицы вычисленияпроцентов, дроби с основанием${\displaystyle 60}$^[11][63]. При решении арифметических задач вавилоняне опирались напропорции и прогрессии. Они знали формулу суммы${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии, правила для суммирования геометрической прогрессии, решали задачи на проценты^[66]. В Вавилоне знали множествопифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приёмом. В целом задача нахождения целых и рациональных решений уравнения${\displaystyle x^2+y^2=z^2}$ относится к теории чисел^[67]. Геометрические задачи привели к необходимости приближённого извлеченияквадратных корней, которое они выполняли, используя правило${\displaystyle \sqrt{a^2+r}\approx a+\frac{r}{2a}}$ и итерационные методы для дальнейшего приближения результата^{[ком. 1]}.

Древнейшиегреческие математические тексты относятся к XIV—VII векам до н. э.^[69] Первоначально греки пользовалисьаттической нумерацией, которую со временем заменила компактная буквенная, илиионическая^[70]. Развитие древнегреческой арифметики принадлежитпифагорейской школе. Пифагорейцы полагали поначалу, что отношение любых двух отрезков можно выразить через отношение целых чисел, то естьгеометрия представляла собой арифметику рациональных чисел. Они рассматривали только целые положительные числа и определяли число как собрание единиц. Изучая свойства чисел, они разбили их начётные и нечётные (как признак делимости на два),простые исоставные, нашли бесконечное множество пифагоровых троек^[71]. В 399 году до н. э. появилась общая теория делимости, которая принадлежит, по-видимому,Теэтету, ученикуСократа.Евклид посвятил ей книгу VII и часть книги IX «Начал». В основе теории лежиталгоритм Евклида для нахожденияобщего наибольшего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможностьразложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения^[72].

Вместе с тем пифагорейцам принадлежит доказательство несоизмеримости диагонали и стороны единичного квадрата. Данное открытие означало, что отношений целых чисел недостаточно для выражения отношений любых отрезков и на этом основании невозможно строить метрическую геометрию^[73]. Первое учение об иррациональностях принадлежит Теэтету. Алгоритм Евклида позволяет определить неполные частные разложения рационального числа в непрерывную дробь. Вместе с тем понятие непрерывной дроби в Древней Греции не возникло^[72]. В III векеДиофант начал построениеалгебры с опорой не на геометрию, а на арифметику. Диофант также расширил числовую область наотрицательные числа^[74].

Римская система нумерации была мало приспособлена для вычислений. Римские числовые знаки возникли до появления алфавита и не происходят от его букв. Считается, что первоначально числа от${\displaystyle 1}$ до${\displaystyle 9}$ обозначались соответственным числом вертикальных чёрточек, а их перечёркивание означало удесятерение числа (отсюда число${\displaystyle X}$). Соответственно, чтобы получить число${\displaystyle 100}$, палочку перечёркивали два раза. Впоследствии произошло упрощение системы^[75]. В настоящее время она применяется в основном для обозначения порядковых чисел.

До XIV векаматематика Китая представляла собой набор вычислительных алгоритмов для решения насчётной доске^[76]. Арифметические операции сложения и вычитания, производимые на счётной доске, не требовали дополнительных таблиц, для умножения же существовала таблица от${\displaystyle 1\times 1}$ до${\displaystyle 9\times 9}$. Действия умножения и деления производились начиная со старших разрядов, при этом промежуточные результаты удалялись с доски, что делало проверку невозможной. Поначалу умножение и деление были независимыми операциями, но затемСунь Цзы отметил их взаимную обратность^[77]. В Китае умели решать задачи с помощьюправила двух ложных положений^[78], а для решениясистем линейных уравнений были введены отрицательные числа. Поначалу они использовались только в процессе счёта и к концу вычислений удалялись с доски, затем китайские учёные стали толковать их как долг или недостачу^[79].

Позиционная система счисления (десятьцифр, включаяноль) была введена вИндии. Она позволила разработать сравнительно простые правила выполнения арифметических операций^[11]. Основными арифметическими действиями в Индии считались сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратных и кубических корней, для которых были разработаны правила. Вычисления проводились на счётной доске с песком или пылью или просто на земле и записывались палочкой^[80]. Индийцы знали дроби и умели совершать операции над ними, пропорции, прогрессии^[81]. Уже с VII века н. э. они пользовались отрицательными числами, интерпретируя их как долг, а также иррациональными числами^[82].

В начале IX века Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте». Учебник содержал решения практических задач «различного рода и сорта» и был первой книгой, написанной с использованием позиционной системы счисления, до этого цифрами пользовались только для вычислений на счётной доске^[83][84]. В XII векеАделардом иИоанном Севельским были сделаны два перевода книги налатинский язык^[85]. Её оригинал не сохранился, но в 1857 году под названием «Алхорезми об индийском числе» был издан найденный латинский перевод^[83]. В трактате описывается выполнение с помощью индийских цифр на счётной доске таких арифметических действий, как сложение, вычитание, удвоение, умножение, раздвоение, деление и извлечение квадратного корня^[86]. Умножение дробей, как и деление, рассматривалось с помощью пропорций:${\displaystyle a}$ умножить на${\displaystyle b}$ было равносильно поиску такого${\displaystyle q}$, что${\displaystyle q:a=b:1}$. Эта теория являлась основой арабской арифметики. Однако при этом существовало и другое исчисление дробей, представлявшее любую дробь в виде суммы аликвотных дробей^[87]. Для решения задач арабы пользовалисьтройным правилом, пришедшим из Индии и описанным наряду с рядом других приёмов в «Книге об индийских рашиках» аль-Бируни, правилом двух ложных положений, пришедшим из Китая и получившим теоретическое обоснование в «Книге о правиле двойного ложного положения»Кусты ибн Лукки^[88].

ЧерезИспанию иСицилию в X веке начали завязываться научные связи Европы с арабским миром. В это времяКаталонию посетил учёный монах Герберт, ставший позднеепапойСильвестром II. Ему приписывают такие сочинения, как «Книжка о делении чисел» и «Правила счёта на абаке». В обеих книгах числа написаны словами или римскими цифрами^[89]. Герберт называл вычислителей на абаке «абацистами». В XII—XIII веках в Европе появились латинские переводы арабских книг по арифметике. Приверженцы представленной в книгах десятичной позиционной нумерации стали называться «алгористами» по имени арабского математика ал-Хорезми в латинской форме^[90]. В начале XIII века в Западной Европе существовали две системы счисления: старая, основанная на абаке и поддерживаемая Гербертом, и новая, позиционная индийская система, поддерживаемая Леонардо Фибоначчи. Постепенно новая система взяла верх^[85][91]. Основным её преимуществом является упрощение арифметических операций. Вместе с тем в Германии, Франции и Англии новые цифры не употреблялись до конца XV века. Более полное вытеснение старой нумерации произошло только в XVI—XVII веках^[91].

В 1427 годуал-Каши описал системудесятичных дробей, которая получила повсеместное распространение после сочиненийСтевина в 1585 году^[11]. Стевин хотел как можно шире распространить десятичную систему. Именно поэтому он написал свои сочинения нафранцузском ифламандском языках, а не на латыни. Кроме того, он стал энергичным поборником введения десятичной системы мер^[37].

В XVII векемореходная астрономия,механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию. Значительному изменению подверглось понятие числа. Если ранее к области чисел в большинстве своём относили только положительные рациональные числа, то начиная с XVI века всё более признавались иррациональные и отрицательные числа.Ньютон в своих лекциях делит числа на три вида: целые (измеряются единицей), дробные (кратные доли единицы) и иррациональные (несоизмеримые с единицей). С 1710 года такое определение числа прочно входит во все учебники^[92].

В начале XVII векаНепер изобрёллогарифмы. Применение логарифмов и десятичных дробей, включение в арифметику понятияиррационального числа как последовательности рациональных приближений расширили область применения арифметики к концу XVII века и определили фундаментальное значение науки для изучениянепрерывных величин^[11].

С работамиЛобачевского погеометрии связан процесс критического пересмотра основ математики, который случился в XIX веке. Ещё в XVIII веке начались попытки дать теоретические обоснования представлениям о числе. Лейбниц первый поставил задачудедуктивного построения арифметики и, в частности, показал необходимость доказательства равенства «два плюс два равно четыре» в своих «Новых опытах о человеческом разуме» в 1705 году. В попытках решить этот вопрос свои аксиомы представилиВольф в 1770 году,Шульц — в 1790 году,Ом — в 1822 году,Грассман — в 1861 году и, наконец,Пеано — в 1889 году^[93].

В 1758 году в «Первых основаниях арифметики, геометрии, плоской и сферической тригонометрии и перспективы»Кестнер выступил за обоснование всех арифметических понятий через целое число. Таким образом он определил, в порядке следования в книге, натуральные числа, дроби, отрицательные числа, десятичные дроби, иррациональные числа и только затем теорию отношений^[94]. В формировании теории отрицательных чисел основную проблему составляло утверждение, что отрицательное число меньше нуля, то есть меньше, чем ничего^[95].

Полное геометрическое толкование комплексных чисел было предложеноКаспаром Весселем в «Опыте об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников» в 1799 году. Вессель пытался обобщить теорию на трёхмерное пространство, но это ему не удалось. Вопрос оставался открытым до тех пор, пока Гамильтон не построил теориюкватернионов, при умножении которых не выполняется коммутативный закон. При этом исследования Вейерштрасса,Фробениуса иПирса показали, что отказаться от какого-либо из арифметических законов придётся при любом расширении понятия числа за пределы комплексных чисел^[96].

Образование арифметических понятий тесно связано с процессом счёта. В его основе лежат такие элементы мыслительной деятельности, как умение узнавать предмет; различать предметы; разделять совокупность предметов на элементы, равноправные при счёте (иными словами, пользоваться единицей счёта); умение располагать элементыпоследовательно, упорядочивать их, что приводит к счёту различных по качеству предметов и образованию понятия числа. Подобные процессы можно наблюдать при усвоении понятий детьми^[11].

Стандарты начального образования предполагают навыки счёта и сравнения чисел до миллиона, работу с основными единицами измерения и соотношениями между ними, выполнение четырёх основных арифметических операций (устно до 100 и письменно до 10 000), а также деления с остатком, поиск значения числового выражения, состоящего из нескольких арифметических действий^[98][99]. Школьный материал подаётся с помощью наглядных представлений. В первом классе дети имеют дело с числовыми образами и количествами предметов, счёт идёт до 20. Во втором классе вводят десятичную систему, позиционную систему, таблицу умножения, счёт идёт до 100. В третьем классе изучают арифметические действия с многозначными числами. Дальнейшим шагом идёт переход к буквенным обозначениям, иными словами — от конкретного к абстрактному. Именно с этого, по мнению Клейна, и начинается математика^[100]. Трудность изучения арифметики в начальной школе заключается в том, что необходимо осуществлять счёт отвлечённо от природы предметов^[101].

Обучение в средней школе связано с расширением понятия числа, вводят дроби и действия над ними, отрицательные числа, иррациональные числа^[102]. Действительные и комплексные числа, а также алгоритм Евклида и основную теорему арифметики относят к полному среднему образованию. СогласноРоссийскому Федеральному государственному образовательному стандарту,«Содержание раздела „Арифметика“ служит базой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию их логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни»^[103].

В современном мирематематическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения^[104]. Вопросами математической грамотности детей и взрослых занимаются такие организации, какЮНИСЕФ иЮНЕСКО^[105][106].

Вместе с тем долгое время обучение арифметическим действиям сводилось к механическому выполнению образцов. В Древнем Китае большое внимание уделялось обучению математике, включая сдачу экзаменов. В Императорской академии математика изучалась семь лет. Однако классические математические трактаты рассматривались как догма и переиздавались без изменений^[107].

В Европе систематические упражнения на сложение, вычитание, умножение и деление были предложеныТартальей в XVI веке, но они ещё долгое время не входили в обиход^[108]. Кроме того, в Средние века существовали правила для решения большого числа частных арифметических задач. В некоторых учебниках встречается до 26 таких правил, при этом они могут не совпадать от учебника к учебнику^[109]. Некоторые правила не потеряли своей актуальности до сих пор. К ним относятся пропорции (дроби рассматривались как отношения двух чисел, что приводило к рассмотрению пропорций для совершения операций), проценты^[110].

Арифметика является четвёртым изсеми свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествуеттривиум, состоящий изГрамматики,Риторики иДиалектики, а сама она является старшей наукой вквадривиуме, к которому также относятсяГеометрия,Музыка иАстрономия^[111]. С появлением первых европейских университетов математика преподавалась на факультетах искусства как квадривиум и была вспомогательной дисциплиной. Первые лекции по арифметике были прочитаны магистромВенского университетаИоганном из Гмундена в 1412 году^[112].

После того как пифагорейцы использовали отношения целых чисел для выражения геометрических отношений отрезков, а также аналогичных отношений в гармонии и музыке, они пришли к выводу, что все закономерности мира можно описать с помощью чисел, а арифметика нужна для того, чтобы выразить отношения и построить модель мира^[113]. Вместе с тем одним из открытий пифагорейцев является то, что отношений целых чисел недостаточно для выражения отношений любых отрезков (диагональ и сторона квадрата несоизмеримы) и на этом основании невозможно строить метрическую геометрию^[73]. Проблемы построения конечной меры и определения действительного числа обнажили научный кризис в V веке до н. э., выходом из которого занимались все философские школы Древней Греции. Показать все трудности, возникающие при решении этих проблем, удалосьЗенону Элейскому в его парадоксах, илиапориях^[114].

Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и в том числе Арифметики. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы. Арифметика держит в своих руках скрижаль, исписанную цифрами, или абак. Её сопровождает Пифагор^[115].

Счёт был одним из испытанийБудды. После соревнований встрельбе из лука,беге иплавании математик Арйюна велел ему назвать все численные степени больше${\displaystyle {10}^9}$. Будда назвал двадцать две степени до${\displaystyle {10}^{53}}$ (только нечётные степени имели названия), и это был только первый счёт, во втором счёте Будда продолжил до${\displaystyle {10}^{421}}$. Следующим заданием Будда посчитал число атомов в миле, а затем и во Вселенной^[116]. Подобные «числовые лестницы» встречаются неоднократно в индийской религиозной поэзии, при этом слова для обозначения чисел могут различаться. Назначение таких лестниц — подняться над миром смертных. В индийской книге «Лилаватистара» описываются состязания между женихами госпожи земли, прекрасной Гопы, вписьменности, арифметике,борьбе и искусстве метания стрел. Испытаниям в арифметике посвящена значительная часть произведения^[117].

Как и в Индии, очень большие числа, сконструированные искусственно жрецамимайя, говорят о стремлении забраться выше по «числовой лестнице», ближе к богам^[118].

Комментарии

1. ↑Пусть необходимо найти корень из${\displaystyle N=a^2+r}$,${\displaystyle a}$ — первое приближение с недостатком,${\displaystyle b=N/a}$ — приближение с избытком. Второе приближение образуется по формуле среднего арифметического${\displaystyle a_1=(a+b)/2}$, и ему соответствует${\displaystyle b_1=N/a_1}$, и так далее)^[68].

Источники

• Арифметика наmathworld.wolfram.com (англ.)

Эта статья входит в числоизбранных статей русскоязычного раздела Википедии.

• Арифметика

• Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN
• Статьи со ссылками на Викисловарь
• Статьи со ссылками на Викисклад
• Википедия:Избранные статьи по алфавиту
• Википедия:Избранные статьи по математике