Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Tensor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Tensorul de tensiune Cauchy de ordinul doi în baza (e1,e2,e3):T=[T(e1),T(e2),T(e3)]{\displaystyle \mathbf {T} =[\mathbf {T} ^{(e_{1})},\mathbf {T} ^{(e_{2})},\mathbf {T} ^{(e_{3})}]} sauT=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33].{\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}.}Coloanele reprezintă vectoriitensiune care acționează în centrul cubului, în raport cu planele ortogonale pee1,e2 șie3. Cândv este dat în această bază, produsul celor doi tensori,T⋅v{\displaystyle \mathbf {T} \cdot \mathbf {v} } efecutat ca oînmulțire de matrice, dă vectorul tensiuneT(v){\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {v} )}}în acel punct, care își are partea de forfecare în planul ortogonal pev.

Înmatematică, untensor este un obiectgeometric care asociază într-o manierămulti-liniarăvectori geometrici,scalari și alți tensori cu un tensor rezultat. Vectorii și scalarii care sunt adesea folosiți în fizica elementară și în aplicațiile inginerești sunt considerați cei mai simpli tensori. Vectorii dinspațiul dual⁠(d) alspațiului vectorial, care furnizează vectorii geometrici, sunt, de asemenea, considerați tensori.[1] În acest context, cuvântulgeometric are scopul de a sublinia independența de orice selecție a unui sistem de coordonate.

Un exemplu elementar de transformare descrisă ca tensor esteprodusul scalar, care transformă doi vectori într-un scalar. Un exemplu mai complex estetensorul de tensiune Cauchy⁠(d)T, care ia un vector de direcțiev ca intrare și îl transformă în vectorul detensiuneT(v), care este forța (pe unitatea de suprafață) exercitată de materialul de pe partea negativă a planului ortogonal pev asupra materialului de pe partea pozitivă a planului, exprimând astfel o relație între acești doi vectori, prezentată în figură (dreapta).Produsul vectorial, în care doi vectori sunt transformați într- un al treilea, nu este strict un tensor, deoarece își schimbă semnul sub acele transformări care schimbă orientarea sistemului de coordonate.Simbolul total anti-simetric⁠(d)εijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}permite însă o manipulare convenabilă a produsului vectorial în sisteme de coordonate tridimensionale egal orientate.

Considerând obază a unui spațiu vectorial real, de exemplu un sistem de coordonate în spațiul ambiant, un tensor poate fi reprezentat ca untablou multidimensional⁠(d) organizat de valori numerice în raport cu această bază specifică. Schimbarea bazei transformă valorile din tablou într-un mod caracteristic care permitedefinirea tensorilor ca obiecte care aderă la acest comportament transformator. De exemplu, există invarianți de tensori care trebuie să fie conservați sub orice schimbare a bazei, făcând astfel ca numai anumite tablouri multidimensionale de numere să constituie untensor. Matricea reprezentândεijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}nu este deci un tensor, din cauza schimbării semnului sub transformările care schimbă orientarea.

Deoarece componentele vectorilor și ale dualilor lor se transformă în mod diferit sub schimbarea bazelor lor duale, există olege de transformare covariantă și/sau contravariantă⁠(d) care leagă matricele care reprezintă tensorul într-o bază cu cele care îl reprezintă în cealaltă. Numerele, respectiv alevectorilor:n (indiciicontravarianți⁠(d)),vectorilor duali:m și (indicicovarianți⁠(d)) de la intrarea și ieșirea unui tensor determinătipul (sauvalența) tensorului, o pereche de numere naturale(n,m), care determină forma exactă a legii de transformare.Ordinul unui tensor este suma acestor două numere.

Ordinul (numit șigradul saurangul) unui tensor este deci suma ordinelor argumentelor sale plus ordinea tensorului rezultat. Aceasta este chiar dimensiunea matricei de numere necesare pentru a reprezenta tensorul în raport cu o bază specifică sau, echivalent, cu numărul de indici necesari pentru etichetarea fiecărei componente din acea matrice. De exemplu, într-o bază fixă, o aplicație liniară standard care asociază un vector la un alt vector este reprezentată de o matrice (o matrice bidimensională) și, prin urmare, este un tensor de ordinul doi. Un vector simplu poate fi reprezentat ca o matrice unidimensională și, prin urmare, este un tensor de ordinul I. Scalarii sunt numere simple și sunt deci tensori de ordinul 0. În acest fel, tensorul reprezentând produsul scalar, care primește doi vectori și produce un scalar, are ordinul2 + 0 = 2, egal cu tensorul de tensiune, care primește un vector și returnează un altul:1 + 1 = 2.Simbolulεijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}},care transformă doi vectori într-un vector, ar avea ordinul2 + 1 = 3.

Colecția de tensori pe un spațiu vectorial și dualul său formează oalgebră tensorială⁠(d), care permite produse de tensori arbitrari. Aplicațiile simple ale tensorilor de ordinul2, care pot fi reprezentate ca matrice pătrată, pot fi rezolvate prin aranjarea inteligentă a vectorilor transpuși și prin aplicarea regulilor deînmulțire a matricilor, dar produsul tensorial nu trebuie confundat cu aceasta.

Tensorii sunt importanți în fizică deoarece oferă un cadru matematic concis pentru formularea și rezolvarea problemelor de fizică în domenii precummecanica (tensiunea,elasticitatea,mecanica fluidelor,momentul de inerție etc.),electrodinamică (tensor electromagnetic⁠(d),tensor Maxwell⁠(d),permitivitate,susceptibilitatea magnetică, ...) saurelativitate generală (tensorul de energie-tensiune,tensorul de curbură, ...) și altele. În aplicații, este comună studierea situațiilor în care poate exista un tensor diferit în fiecare punct al unui obiect; de exemplu, tensiunea dintr-un obiect poate varia de la o locație la alta. Aceasta duce la conceptul decâmp de tensori. În unele domenii, câmpurile de tensori sunt atât de omniprezente încât se numesc pur și simplu „tensori”.

Tensorii au fost concepuți în 1900 deTullio Levi-Civita șiGregorio Ricci-Curbastro, care au continuat munca anterioară a luiBernhard Riemann și a luiElwin Bruno Christoffel și alții, ca parte acalculului diferențial absolut⁠(d). Conceptul a permis o formulare alternativă ageometriei diferențiale intrinseci a uneivarietăți sub forma unuitensor de curbură Riemann.[2]

Definiție

[modificare |modificare sursă]

Deși aparent diferite, mai multe abordări pentru definirea tensorilor descriu același concept geometric folosind diferite limbaje și la niveluri diferite deabstractizare.

Ca matrice multidimensionale

[modificare |modificare sursă]

Un tensor poate fi reprezentat ca o matrice (potențial multidimensională, deși o matrice multidimensională nu este neapărat o reprezentare a unui tensor, așa cum estediscutat mai jos cu privire la holori). Așa cum unvector într-un spațiun-dimensional este reprezentat ca o matrice unidimensională de lungimen în raport cu obază dată, orice tensor în raport cu o bază este reprezentat de o matrice multidimensională. De exemplu, unoperator liniar este reprezentat într-o bază ca o matrice pătratăn ×n. Numerele din matricea multidimensională sunt cunoscute dreptcomponentele scalare ale tensorului sau pur și simplucomponentele lui. Ele sunt notate cu indicii care le dau poziția în matrice, marcați caindice și exponent⁠(d), după numele simbolic al tensorului. De exemplu, componentele unui tensorT de ordin2 ar putea fi notate cuTij, undei șij sunt indici cu valori de la1 lan, sau cuTji{\displaystyle T_{j}^{i}}Tij{\displaystyle T_{i}^{j}}. Indicele este afișat jos sau la exponent în funcție de proprietățile de transformare ale tensorului, descrise mai jos. Astfel, în timp ceTij șiTji{\displaystyle T_{j}^{i}}Tij{\displaystyle T_{i}^{j}}pot fi ambii exprimați ca matricen pen, și sunt numeric legate prinjonglare cu indicii⁠(d), diferența din legile lor de transformare indică faptul că ar fi nepotrivită adunarea lor între ei. Numărul total de indici necesari pentru a identifica fiecare componentă unică este egal cudimensiunea⁠(d) matricei și se numeșteordin,grad saurang al tensorului. Cu toate acestea, termenul „rang” are în generalun alt înțeles⁠(d) în contextul matricelor și tensorilor.

Așa cum componentele unui vector se schimbă atunci când schimbămbaza spațiului vectorial, componentele unui tensor se schimbă și ele sub o astfel de transformare. Fiecare tip de tensor vine echipat cu olege de transformare care detaliază modul în care componentele tensorului răspund la oschimbare de bază⁠(d). Componentele unui vector pot răspunde în două moduri distincte la o schimbare de bază (vezicovarianța și contravariența vectorilor⁠(d)), unde vectoriibazei noie^i{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}} sunt exprimați în termeni de vectorii bazei vechiej{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}astfel:

e^i=∑j=1nejRij=ejRij.{\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}

AiciRij{\displaystyle R_{i}^{j}} sunt elementele matricei de schimbare a bazei, iar în expresia cea mai din dreapta însumarea a fost suprimată: aceasta esteconvenția de însumare Einstein⁠(d), care va fi folosită în acest articol.[a] Componentelevi ale unui vector coloanăv se transformă cuinversa matriceiR,

v^i=(R−1)jivj,{\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}v^i=(R−1)jivj,{\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}

unde cu circumflex deasupra se notează componentele în noua bază. Aceasta se numește o lege de transformarecontravariantă, deoarece vectorul se transformă prininversul schimbării bazei. În schimb, componentelewi ale unui covector (sau vector linie)w se transformă chiar cu matriceaR,

w^i=wjRij.{\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}

Aceasta se numește o lege de transformarecovariantă, deoarece covectorul se transformă prinaceeași matrice ca matricei de schimbare a bazei. Componentele unui tensor mai general se transformă printr-o combinație de transformări covariante și contravariate, cu o lege de transformare pentru fiecare indice. Dacă matricea de transformare a unui indice este matricea inversă a schimbării de bază, atunci indicele este numitcontravariant și este notat convențional cu indicele la exponent. Dacă matricea de transformare a unui indice este transformarea de bază în sine, atunci indicele este denumitcovariant și este notat cu un indice inferior.

Ca exemplu simplu, matricea unui operator liniar în raport cu o bază este o matrice dreptunghiularăT care se transformă, sub schimbarea de bază exprimată prin matriceaR=(Rij){\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}prinT^=R−1TR{\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}. Pentru elementele individuale ale matricei, această lege de transformare are formaT^j′i′=(R−1)ii′TjiRj′j{\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}T^j′i′=(R−1)ii′TjiRj′j{\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}astfel că tensorul corespunzător matricei unui operator liniar are un indice covariant și un indice contravariant: este de tipul (1,1).

Combinațiile de componente covariante și contravariante cu același indice permit exprimarea invarianților geometrici. De exemplu, faptul că un vector este același obiect în diferite sisteme de coordonate poate fi reprezentat prin următoarele ecuații, folosind formulele definite mai sus:

v=v^ie^i=((R−1)jivj)(ekRik)=((R−1)jiRik)vjek=δjkvjek=vkek=viei{\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}

Undeδjk{\displaystyle \delta _{j}^{k}} estedelta Kronecker⁠(d), care funcționează similar cumatricea identitate și are efectul redenumirii indicilor (j înk în acest exemplu). Aceasta indică mai multe trăsături ale notației componentelor – capacitatea de a rearanja termenii după voie (comutativitatea), necesitatea de a folosi indicatori diferiți atunci când se lucrează cu mai multe obiecte în aceeași expresie, abilitatea de a redenumi indicii și modul în care tensorii contravarianți și covarianți se combină astfel încât toate instanțele matricei de transformare și inversul său să se anuleze, astfel încât o expresie caviei{\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}} să poată fi văzută imediat ca fiind identică din punct de vedere geometric în toate sistemele de coordonate.

În mod similar, un operator liniar, privit ca un obiect geometric, nu depinde de fapt de o bază: este doar o aplicație liniară care acceptă un vector ca argument și produce un alt vector. Legea transformării pentru modul în care matricea componentelor unui operator liniar se modifică odată cu baza este în concordanță cu legea de transformare pentru un vector contravariant, astfel încât acțiunea unui operator liniar pe un vector contravariant este reprezentată în coordonate ca produsul matricial al respectivelor reprezentări pe coordonate. Adică componentele(Tv)i{\displaystyle \left(Tv\right)^{i}} sunt date deTjivj{\displaystyle T_{j}^{i}v_{j}}. Aceste componente se transformă contravariant, deoarece

(Tv^)i′=T^j′i′v^j′=[(R−1)ii′TjiRj′j][(R−1)jj′vj]=(R−1)ii′(Tv)i.{\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{j}^{j'}v^{j}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}

Legea transformării pentru un tensor de ordinp +q cup indici contravarianți șiq indici covarianți este, astfel, dată ca:

T^j1′,…,jq′i1′,…,ip′=(R−1)i1i1′⋯(R−1)ipip′{\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}Tj1,…,jqi1,…,ip{\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}Rj1′j1⋯Rjq′jq.{\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}

Aici, indicii primi reprezintă componentele în noile coordonate, iar indicii neprimi reprezintă componentele în vechile coordonate. Un astfel de tensor este de ordin sautip(p,q). Termenii „ordin”, „tip”, „rang”, „valență” și „grad” sunt uneori utilizați pentru același concept. Aici, termenul „ordin” sau „ordin total” va fi folosit pentru dimensiunea totală a matricei (sau generalizarea acesteia în alte definiții),p +q din exemplul precedent, iar termenul „tip” pentru perechea care dă numărul de indici contravarianți și covarienți. Un tensor de tip(p,q) este, de asemenea, numit(p,q)-tensor pe scurt.

Această discuție motivează următoarea definiție formală:[3][4]

„Definiție. Un tensor de tip (p,q) este o atribuire de un tablou multidimensional
Tj1…jqi1…ip[f]{\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}

fiecărei bazef = (e1, ...,en) a unui spațiu vectorialn-dimensional astfel încât, dacă se aplică schimbarea de bază

f↦f⋅R=(eiR1i,…,eiRni){\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}

atunci tabloul multidimensional respectă legea de transformare

Tj1′…jq′i1′…ip′[f⋅R]=(R−1)i1i1′⋯(R−1)ipip′{\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}Tj1,…,jqi1,…,ip[f]{\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}Rj1′j1⋯Rjq′jq.{\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}”

Definiția unui tensor ca o matrice multidimensională care satisface o lege de transformare datează de la opera lui Ricci.[2]

O definiție echivalentă a unui tensor foloseștereprezentărilegrupului liniar general⁠(d). Există oacțiune⁠(d) a grupului liniar general pe mulțimea tuturorbazelor ordonate ale unui spațiu vectorialn- dimensional. Dacăf = (f1,...,fn) este o bază ordonată șiR=(Rji){\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)} este o matrice inversabilăn×n{\displaystyle n\times n}, atunci acțiunea este dată de

fR=(fiR1i,…,fiRni).{\displaystyle \mathbf {f} R=(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}).}

FieF mulțimea tuturor bazelor ordonate. AtunciF este unspațiu principal omogen⁠(d) pentruGL(n). FieW un spațiu vectorial și fieρ o reprezentare a luiGL(n) peW (adică unhomomorfism de grupρ:GL(n)→GL(W){\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\rightarrow {\text{GL}}(W)}). Atunci, un tensor de tipρ este o aplicație echivariantăT:F→W{\displaystyle T\colon F\rightarrow W}. Echivarianța înseamnă aici că

T(FR)=ρ(R−1)T(F).{\displaystyle T(FR)=\rho (R^{-1})T(F).}

Cândρ este unreprezentare tensorială⁠(d) a grupului liniar general, aceasta oferă definiția obișnuită a tensorilor ca matrice multidimensională. Această definiție este adesea folosită pentru a descrie tensorii pe varietăți[5] și este ușor de generalizat la alte grupuri.[3]

Ca aplicații multiliniare

[modificare |modificare sursă]

Un dezavantaj al definiției unui tensor folosind abordarea multidimensională a matricei este că nu rezultă din definiție că obiectul definit este într-adevăr independent de bază, așa cum este de așteptat de la un obiect care este intrinsec geometric. Deși este posibil să se arate că legile de transformare asigură într-adevăr independența de bază, uneori este preferată o definiție mai intrinsecă. O abordare care este comună îngeometria diferențială este de a defini tensorii în raport cu un spațiu vectorialV fix (finit-dimensional), care este de obicei considerat a fi un spațiu vectorial particular cu o oarecare semnificație geometrică, cum ar fispațiul tangent⁠(d) la o varietate..[6] În această abordare, un tensorT de tip(p,q)este definit ca oaplicație multiliniară,

T:V∗×⋯×V∗⏟de p ori×V×⋯×V⏟de q ori→R,{\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{{\text{de }}p{\text{ ori}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{{\text{de }}q{\text{ ori}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}

undeV* este spațiul dual corespunzător al covectorilor, care este liniar în fiecare dintre argumentele sale. Cele de mai sus presupun căV este un spațiu vectorial pestenumerele reale,R. Mai general,V poate fi luat drept un corp arbitrar de numere,F (de exemplunumerele complexe) cu un spațiu vectorial unidimensional pesteF înlocuindR drept codomeniu al aplicațiilor multilineare.

Aplicând o aplicație multiliniarăT de tip(p,q) asupra unei baze {ej } a luiV și o cobază canonică (εi } pentruV*

Tj1…jqi1…ip≡T(εi1,…,εip,ej1,…,ejq),{\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}

poate fi obținut un tablou(p +q)-dimensional de componente. O alegere diferită a bazei va produce componente diferite. Dar, deoareceT este liniar în toate argumentele sale, componentele îndeplinesc legea de transformare a tensorului utilizată în definirea matricei multiple. Matricea multidimensională a componentelorT formează astfel un tensor conform definiției respective. Mai mult decât atât, o astfel de matrice poate fi realizată drept componente ale unei anumite aplicații multilineareT. Aceasta motivează vederea aplicațiilor multiliniare ca obiecte intrinseci care stau la baza tensorelor.

Vizualizând un tensor ca o aplicație multiliniară, este convențional să identificămdublul dual⁠(d)V** al spațiului vectorialV, adică spațiul funcționalelor liniare peste spațiul vectorial dualV*, cu spațiul vectorialV. Există întotdeauna oaplicație liniară naturală⁠(d) de laV la dublul său dual, dată de evaluarea unei forme liniare dinV* față de un vector dinV. Această aplicație liniară este un izomorfism de dimensiuni finite și este adesea util să se identificeV cu dublul său dual.

Utilizarea produselor tensoriale

[modificare |modificare sursă]

Pentru unele aplicații matematice, uneori este utilă o abordare mai abstractă. Acest lucru poate fi realizat prin definirea tensorilor în termeni de elemente aleproduselor tensoriale⁠(d) ale spațiilor vectoriale, care, la rândul lor, sunt definite printr-oproprietate universală⁠(d). Un tensor de tip(p,q) este definit în acest context ca un element al produsului tensorial al spațiilor vectoriale,[7][8]

T∈V⊗⋯⊗V⏟de p ori⊗V∗⊗⋯⊗V∗⏟de q ori.{\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{{\text{de }}p{\text{ ori}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{{\text{de }}q{\text{ ori}}}.}

O bazăvi luiV și bazawj aW induc în mod natural o bazăvi ⊗wj a produsului tensorialV ⊗W Componentele unui tensorT sunt coeficienții tensorului în raport cu baza obținută din baza{ei} pentruV și baza sa duală{εj}, adică

T=Tj1…jqi1…ipei1⊗⋯⊗eip⊗εj1⊗⋯⊗εjq.{\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}

Folosind proprietățile produsului tensorial, se poate demonstra că aceste componente îndeplinesc legea transformării pentru un tensor de tip(p,q) . Mai mult decât atât, proprietatea universală a produsului tensorial dă ocorespondență1 -la-1 între tensorii definiți în acest mod și tensori definiți ca aplicații multiliniare.

Produsele tensoriale pot fi definite cu mare generalitate – de exemplu,implicând module arbitrare⁠(d) peste un inel. În principiu, se poate defini un „tensor” pur și simplu ca element al oricărui produs tensorial. Cu toate acestea, literatura de matematică rezervă, de obicei, termenultensor pentru un element al unui produs tensorial de oricâte cópii ale unui singur spațiu vectorialV și dualul său, ca mai sus.

Tensori în dimensiuni infinite

[modificare |modificare sursă]

Această discuție a tensorilor presupune dimensionalitatea finită a spațiilor implicate, unde spațiile de tensori obținute de fiecare dintre aceste construcții suntnatural izomorfe⁠(d).[b] Construcțiile spațiilor de tensori bazate pe produsul tensorial și aplicațiile multiliniare pot fi generalizate, în mod esențial fără modificări, lamănunchiuri de vectori⁠(d) saupremănunchiuri coerente⁠(d).[9] Pentru spațiile vectoriale dimensionale infinite, topologiile neechivalente duc la noțiuni neechivalente de tensori, iar aceste izomorfisme diferite pot sau nu fie valabile în funcție de ce se înțelege exact prin tensor (veziprodus tensorial topologic⁠(d)). În unele aplicații, intenția esteprodusul tensorial al spațiilor Hilbert⁠(d), ale cărui proprietăți sunt cele mai asemănătoare cu cele cu dimensiunile finite. O perspectivă mai modernă este aceea că structura tensorilor este ocategorie simetrică monoidală⁠(d) care codifică cele mai importante proprietăți, mai degrabă decât modelele specifice ale acelor categorii.[10]

Câmpuri de tensori

[modificare |modificare sursă]

În multe aplicații, mai ales în geometria diferențială și fizică, este firesc să se considere un tensor cu componente care sunt funcții de un punct în spațiu. Acesta a fost contextul operei originare a lui Ricci. În terminologia matematică modernă, un astfel de obiect se numeștecâmp tensorial, deseori denumit simplu „tensor”.[2]

În acest context, o bază de coordonate este adesea aleasă pentruspațiul vectorial tangent⁠(d) . Legea transformării poate fi apoi exprimată în termeni dederivate parțiale ale funcțiilor de coordonate,

x¯i(x1,…,xn),{\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}

definind o transformare de coordonate[2]

T^j1′…jq′i1′…ip′(x¯1,…,x¯n)=∂x¯i1′∂xi1⋯∂x¯ip′∂xip∂xj1∂x¯j1′⋯∂xjq∂x¯jq′Tj1…jqi1…ip(x1,…,xn).{\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}

Exemple

[modificare |modificare sursă]

Acest tabel prezintă exemple importante de tensori pe spații vectoriale și câmpuri de tensori pe varietăți. Tensorii sunt clasificați după tipul lor(n,m), unden este numărul de indici contravarianți,m este numărul de indici covarianți șin +m dă ordinul total al tensorului. De exemplu, oformă biliniară este același lucru cu un(0, 2) -tensor; unprodus scalar este un exemplu de(0, 2) -tensor, dar nu toți(0, 2) -tensorii sunt produse scalare. În celula(0,M) a tabelului, cuM se notează dimensionalitatea spațiului vectorial sau varietății, deoarece pentru fiecare dimensiune a spațiului este necesar un indice separat pentru a selecta acea dimensiune pentru a obține un tensor antisimetric maximal covariant.


m
0123⋯M⋯
n0Scalar, de ex.curbura scalarăformă liniară⁠(d),funcțională liniară⁠(d),1-formă⁠(d), de ex.momentul dipol⁠(d),gradientul unui câmp scalarForme biliniare, de ex.produsul scalar,momentul cvadripol⁠(d),tensorul metric⁠(d),curbura Ricci,2-formele⁠(d),formele simplectice3-form E.g.momentul octupol⁠(d)De ex.M-forme adicăforme de volum⁠(d)
1Vectorul euclidianTransformare liniară,[11]delta Kronecker⁠(d)E.g.produsul vectorial în trei dimensiuniE.g.tensorul de curbură Riemann
2Tensorul metric⁠(d) invers,bivectorii⁠(d), de exemplustructura Poisson⁠(d)De ex.tensorul elasticitate
⋮
NMultivectorii⁠(d)
⋮

Ridicarea unui indice pe un(n,m)-tensor produce un(n + 1,m − 1)-tensor; aceasta corespunde mutării pe diagonală în jos și spre stânga în tabel. În mod simetric, coborârea unui indice corespunde unei mutări în diagonală în sus și în partea dreaptă a tabelului.Contracția unei suprafețe cu un indice inferior al unui(n,m)-tensor produce un(n − 1,m − 1)-tensor; aceasta corespunde mutării în diagonală în sus și spre stânga în tabel.

Orientare definită printr-o mulțime ordonată de vectori.
Orientarea inversă corspunde negării produsului vectorial.
Interpretare geometrică a elementelor de gradn dintr-oalgebră Grassmann reală pentrun = 0 (punct cu semn), 1 (segment de dreaptă orientat, sau vector), 2 (element orientat din plan), 3 (volum orientat). Produsul exterior an vectori poate fi vizualizat ca orice formăn-dimensională (de ex. unn-paralelotop, unn-elipsoid); cu magnitudine (Spațiu cvadridimensional), șiorientare⁠(d) definită de cea a frontierei salen − 1-dimensionale și de partea acesteia pe care se află interiorul.[12][13]

Notație

[modificare |modificare sursă]

Există mai multe sisteme de notație care sunt folosite pentru a descrie tensorii și pentru a efectua calcule cu aceștia.

Calculul Ricci

[modificare |modificare sursă]

Calculul Ricci⁠(d) este formalismul și notarea moderne ale indicilor tensoriali: indicândprodusul scalar șidiadic,covarianța și contravarianța⁠(d),însumări ale componentelor tensorului,simetria⁠(d) șiantisimetria⁠(d), șiderivatele parțiale șicovariante⁠(d) .

Convenția de însumare a lui Einstein

[modificare |modificare sursă]

Convenția de însumare a lui Einstein⁠(d) scutește de scriereasemnelor de însumare, lăsând-o implicită. Orice indice repetat înseamnă că se face însumarea peste el: dacă indicelei este folosit de două ori într-un termen dat dintr-o expresie tensorială, înseamnă că termenul trebuie să fie însumat peste toatei-urile. Mai multe perechi distincte de indicii pot fi însumate în acest fel.

Notația grafică Penrose

[modificare |modificare sursă]

Notația grafică Penrose⁠(d) este o notație grafică care înlocuiește simbolurile pentru tensori cu forme și indicii lor prin linii și curbe. Este independentă de elementele bazei și nu necesită simboluri pentru indicii.

Notația cu indice abstract

[modificare |modificare sursă]

Notația cu indice abstract este o modalitate de a scrie tensorii astfel încât indicii să nu mai fie considerați numerici, ci mai degrabănedeterminați⁠(d). Această notație surprinde expresivitatea indicilor și independența de bază a notației fără indice.

Notație fără componente

[modificare |modificare sursă]

Otratare fără componente pentru tensori⁠(d) utilizează notația care subliniază faptul că tensorii nu se sprijină pe nicio bază și sunt definiți în termeni deprodus tensorial al spațiilor vectoriale⁠(d).

Operații

[modificare |modificare sursă]

Există mai multe operații pe tensori care produc un alt tensor. Natura liniară a tensorului implică faptul că doi tensori de același tip pot fi adunați și că tensorii pot fi înmulțiți cu un scalar cu rezultate analoage cuscalarea unui vector. Aceste operațiuni se efectuează pur și simplu pe componente. Ele nu modifică tipul tensorului; dar există și operații care produc un tensor de tip diferit.

Produs tensorial

[modificare |modificare sursă]

Produsul tensorial primește doi tensori,S șiT, și produce un nou tensor,S ⊗T, al cărui ordin este suma ordinelor tensorilor originari. Când sunt descriși ca aplicații multiliniare, produsul tensorial doar multiplică cei doi tensori, adică

(S⊗T)(v1,…,vn,vn+1,…,vn+m)=S(v1,…,vn)T(vn+1,…,vn+m),{\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}

ceea ce produce din nou o aplicație care este liniară în toate argumentele sale. Pe componente, efectul este de a multiplica componentele celor doi tensori de intrare pe perechi, adică

(S⊗T)j1…jkjk+1…jk+mi1…ilil+1…il+n=Sj1…jki1…ilTjk+1…jk+mil+1…il+n,{\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}},}

DacăS este de tip(l,k) șiT este de tip(n,m), atunci produsul tensorialS ⊗T are tipul(l +n,k +m).

Contracția

[modificare |modificare sursă]

Contracția tensorilor este o operație care reduce un tensor de tip(n,m) la un tensor de tip(n − 1,m − 1), din care un caz special esteurma. Aceasta reduce astfel ordinul total al unui tensor cu doi. Operația este realizată prin însumarea componentelor pentru care un indice contravariant specificat este același cu un indice covariant specificat pentru a produce o componentă nouă. Componentele pentru care acești doi indicatori sunt diferiți sunt eliminate. De exemplu, un(1, 1)-tensor poate fi contractat la un scalar prinTii{\displaystyle T_{i}^{i}}.

Unde când suma este implicită. Când(1, 1) -tensorul este interpretată ca o aplicație liniară, această operație este cunoscută caurmă.

Contracția este adesea folosită împreună cu produsul tensorial pentru a contracta un indice din fiecare tensor.

Contracția poate fi înțeleasă și folosind definiția unui tensor ca element al unui produs tensorial al cópiilor spațiuluiV cu spațiulV* prin descompunerea mai întâi a tensorului într-o combinație liniară de tensori simpli și apoi prin aplicarea unui factor dinV* la un factor dinV. De exemplu, un tensor

T∈V⊗V⊗V∗{\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}

poate fi scris ca o combinație liniară

T=v1⊗w1⊗α1+v2⊗w2⊗α2+⋯+vN⊗wN⊗αN.{\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}

Contracția luiT pe prima și ultima poziție este atunci vectorul

α1(v1)w1+α2(v2)w2+⋯+αN(vN)wN.{\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}

Într-un spațiu vectorial cuprodus scalar (cunoscut și cametrică⁠(d))g, termenulcontracție⁠(d) este utilizat pentru a elimina doi indici contravarianți sau doi covarianți, formând o urmă cu tensorul metric sau cu inversul lui. De exemplu, un(2, 0)-tensorTij{\displaystyle T^{ij}} poate fi contractat la un scalar prin

Tijgij{\displaystyle T^{ij}g_{ij}}

(din nou presupunând convenția de însumare).

Creșterea sau coborârea unui indice

[modificare |modificare sursă]

Când un spațiu vectorial este echipat cu oformă bilineară nedegenerată⁠(d) (sautensor metric⁠(d) așa cum se numește deseori în acest context), pot fi definite operații care convertesc un indice contravariant (superior) într-un indice covariant (inferior) și invers. Un tensor metric este un (0, 2)-tensor simetric; este posibil să se contracte un indice superior al unui tensor cu unul dintre indicii inferiori ai tensorului metric din produs. Acest lucru generează un nou tensor cu aceeași structură a indicilor ca tensorul anterior, dar cu indicele inferior afișat în general în aceeași poziție a indicelui superior convențional. Această operație este cunoscută sub denumirea destul de grafică decoborâre a unui indice.

Se poate defini analog și operația inversă, care se numeșteridicarea unui indice. Aceasta este echivalentă cu o contracție similară a produsului cu un(2, 0)-tensor. Acesttensor metric invers are componente care sunt matricea inversă a celor din tensorul metric.

Aplicații

[modificare |modificare sursă]

Mecanica mediilor continue

[modificare |modificare sursă]

Exemple importante sunt furnizate demecanica mediilor continue. Tensiunile din interiorul unuicorp solid⁠(d) sau dintr-unlichid sunt descrise de un câmp tensorial.Tensorul tensiune șitensorul întindere⁠(d) sunt ambii câmpuri de tensori de ordinul doi și sunt legați într-un material elastic liniar general printr-uncâmp tensorial de elasticitate de ordinul patru. În detaliu, tensorul care cuantifică tensiunea într-un obiect solid tridimensional are componente care pot fi reprezentate în mod convenabil ca o matrice 3 × 3. Cele trei fețe ale unui segment de volum infinitezimal în formă de cub a solidului sunt fiecare supuse unei forțe date. Componentele vectoriale ale forței sunt, de asemenea, trei la număr. Astfel, sunt necesare 3 × 3 sau 9 componente pentru a descrie tensiunea în acest cub infinitezimal. În limitele acestui solid este o masă întreagă de cantități variabile ale tensiunii, fiecare necesitând 9 cantități pentru a fi descrisă. Astfel, este nevoie de un tensor de ordinul doi.

Dacă un element special de suprafață interiorul materialului este separat, materialul de pe o parte a suprafeței va aplica o forță asupra celeilalte părți. În general, această forță nu va fi ortogonală pe suprafață, dar va depinde de orientarea suprafeței într-o manieră liniară. Aceasta este descrisă de un tensor detip(2, 0), înelasticitatea liniară⁠(d) sau, mai precis, de un câmp tensorial de tip(2, 0), deoarece tensiunile pot varia de la un punct la altul.

Alte exemple din fizică

[modificare |modificare sursă]

Printre aplicațiile comune se numără:

Aplicații ale tensorilor de ordin > 2

[modificare |modificare sursă]

Conceptul de tensor de ordinul doi este deseori confundat cu de matrice. Tensorii de ordin superior surprind însă idei importante în domeniul științei și ingineriei, așa cum s-a arătat succesiv în numeroase domenii pe măsură ce acestea se dezvoltă. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, în domeniulvederii calculatoarelor⁠(d), undetensorul trifocal⁠(d) generalizeazămatricea fundamentală⁠(d).

Domeniulopticii neliniare⁠(d) studiază modificăriledensității de polarizare⁠(d) a materialelor în câmpurile electrice extreme. Undele de polarizare generate sunt legate de generareacâmpurilor electrice prin tensorul neliniar de susceptibilitate. Dacă polarizareaP nu este liniar proporțională cu câmpul electricE, mediul se numeșteneliniar. Pentru o aproximare bună (pentru câmpurile suficient de slabe, presupunând că nu există momente dipol permanente),P este dat de oserie Taylor înE ai cărei coeficienți sunt susceptibilitățile neliniare:

Aici este susceptibilitatea liniară, dăefectul Pockels⁠(d) și a armonica a doua, iar dăefectul Kerr. Această dezvoltare arată modul în care tensorii de ordin mai înalt apar în mod natural în chestiunile studiate.

Generalizări

[modificare |modificare sursă]

Holori

[modificare |modificare sursă]

Așa cum s-a discutat mai sus, un tensor poate fi reprezentat ca un tablou (potențial multidimensional, multi-indexat) de cantități. Pentru a distinge tensorii (atunci când sunt desemnați ca mărimi tensiorale ale cantităților în raport cu o bază fixă) de tablourile arbitrare de cantități, termenulholor⁠(d) a fost inventat pentru acestea din urmă.[14]

Astfel, tensorii pot fi analizați ca un anumit tip de holor, alături de alți holori care nu sunt strict tensioriali, cum ar fi valorile rețelei neurale (noduri și/sau legături), tabele indexate de inventar și așa mai departe. Un alt grup de holori care se transformă ca și tensorii până la o așa-numităpondere, derivată din ecuațiile de transformare, suntdensitățile tensorilor⁠(d), de exemplu, simbolul Levi-Civita.Simbolurile Christoffel⁠(d) aparțin, de asemenea, holorilor.

Termenulholor nu este folosit pe scară largă și cuvântul „tensor” este folosit adesea abuziv atunci când se face referire la reprezentarea multidimensională a matricei unui holor, provocând confuzie cu privire la sensul strict al cuvântuluitensor.

Conceptul de holori și terminologia asociată oferă o algebră și o analiză a holorilor într-un cadru mai general decât ceea ce se vede pentru matricele tensiorale.

Produsul tensorial de spații vectoriale

[modificare |modificare sursă]

Spațiile vectoriale ale unuiprodus tensorial⁠(d) nu trebuie să fie aceleași și uneori elementele unui astfel de produs tensorial mai general se numesc „tensori”. De exemplu, un element al produsului tensorial de spațiiV ⊗W este un „tensor“ de ordinul doi în acest sens mai general,[15] și un tensor de ordind poate fi de asemenea definit ca element al unui produs tensorial ad spații vectoriale diferite.[16] Un tensor de tip(n,m), în sensul definit anterior, este și el un tensor de ordinn +m în acest sens mai general. Conceptul de produs tensorial poate fi extins lamodule⁠(d) arbitrare peste un inel.

Tensori în dimensiuni infinite

[modificare |modificare sursă]

Noțiunea de tensor poate fi generalizată într-o varietate de moduri, până ladimensiuni infinite. O modalitate, de exemplu, este prinprodusul tensorial⁠(d) despații Hilbert.[17] Un alt mod de a generaliza ideea de tensor, obișnuită înanaliza neliniară⁠(d), este prindefiniția aplicațiilor multiliniare unde, în loc să se utilizeze spații vectoriale dimensionale finite șidualele lor algebrice⁠(d), se utilizeazăspații Banach de dimensiuni infinit dimensionale șidualul lor continuu⁠(d).[18] Tensorii trăiesc astfel în mod natural pevarietăți Banach⁠(d)[19] șiFréchet⁠(d).

Tensori de densitate

[modificare |modificare sursă]

Fie un mediu omogen care umpleR3 astfel încât densitatea mediului este descrisă de un singurscalar⁠(d)ρ exprimat înkg m−3. Masa, în kg, a unei regiuniΩ se obține prin înmulțirea luiρ cu volumul regiuniiΩ sau prin integrarea echivalentă a constanteiρ în regiune:

m=∫Ωρdxdydz{\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz}

unde coordonatele cartezienexyz sunt măsurate în m. Dacă unitățile de lungime sunt modificate în cm, atunci valorile numerice ale funcțiilor de coordonate trebuie să fie redimensionate cu un factor de 100:

x′=100x,y′=100y,z′=100z{\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z}

Valoarea numerică a densitățiiρ trebuie apoi transformată și prin 100-3 m3/cm3 pentru a compensa, astfel încât valoarea numerică a masei în kg este încă dată de integrala luiρdxdydz{\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}. Prin urmareρ′=100−3ρ{\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho } (în unități dekg cm−3).

Mai general, dacă coordonatele cartezienexyz suferă o transformare liniară, atunci valoarea numerică a densitățiiρ trebuie să se schimbe printr-un factor reciproc al valorii absolute adeterminantului transformării de coordonate, astfel încât integralele să rămână invariabile, de cătreformula schimbării de variabilă la integrare. O astfel de cantitate care scade cu reciproca valorii absolute a determinantului aplicației de transformare a coordonatelor se numeștedensitate scalară⁠(d). Pentru a modela o densitate neconstantă,ρ este o funcție de variabilelexyz (uncâmp scalar) și, sub o schimbare curbilinie de coordonate, ea se transformă prin inversaiacobianului⁠(d) schimbării de coordonate.

O densitate tensorială se transformă ca un tensor sub o schimbare de coordonate, cu excepția faptului că, în plus, preia un factor al valorii absolute a determinantului tranziției de coordonate:[20]

Tj1′…jq′i1′…ip′[f⋅R]=|detR|−w(R−1)i1i1′⋯(R−1)ipip′{\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=|\det R|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}Tj1,…,jqi1,…,ip[f]{\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}Rj1′j1⋯Rjq′jq.{\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}

Aiciw este numită pondere. În general, orice tensor înmulțit cu o putere a acestei funcții sau valoarea sa absolută se numește densitate tensorială sau tensor ponderat.[21][22] Un exemplu de densitate tensorială estedensitatea de curent dinelectromagnetism.

Sub o transformare afinã de coordonate, un tensor se transformã prin partea liniarã a transformãrii (sau invers) pe fiecare indice. Acestea provin dinreprezentările raționale⁠(d) ale grupului liniar general. Dar aceasta nu este chiar cea mai generală lege de transformare liniară pe care o poate avea un astfel de obiect: densitățile tensorilor sunt neraționale, dar sunt încă reprezentăriSemisimple⁠(d). O altă clasă de transformări vine din reprezentarea logaritmică a grupului liniar general, o reprezentare reductibilă, dar nu semisimplă,[23] constând dintr-un(x,y) ∈R2 cu legea de transformare

(x,y)↦(x+ylog⁡|detR|,y).{\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log |\det R|,y).}

Obiecte geometrice

[modificare |modificare sursă]

Legea transformării pentru un tensor se comportă ca unfunctor pe categoria sistemelor de coordonate admisibile, sub transformări liniare generale (sau alte transformări în cadrul unei anumite clase, cum ar fidifeomorfisme locale⁠(d)). Aceasta face din tensor un caz special de obiect geometric, în sensul tehnic că este o funcție a sistemului de coordonate care se transformă functorial sub schimbări de coordonate.[24] Exemple de obiecte care se supun mai multor tipuri generale de legi de transformare suntjeturile⁠(d) și, mai general,mănunchiurile naturale⁠(d).[25][26]

Spinori

[modificare |modificare sursă]

Când se trece de la obază ortonormală (numităcadru) la alta printr-o rotație, componentele unui tensor se transformă prin aceeași rotație. Această transformare nu depinde de calea urmată prin spațiul cadrelor. Cu toate acestea, spațiul cadrelor nu estesimplu conectat: există căi continue în spațiul cadrelor cu aceleași configurații de început și de sfârșit care nu se deformează una în cealaltă. Este posibil să se atașeze o invarianță discretă suplimentară pentru fiecare cadru care încorporează această dependență de cale și care se (local) are valori de ± 1.[27] Unspinor⁠(d) este un obiect care se transformă ca un tensor sub rotațile cadrului, cu excepția unui semn posibil care este determinat de valoarea acestui invariant discret.[28][29]

Istorie

[modificare |modificare sursă]

Conceptele a ceea ce avea să devină analiza tensorială au apărut din opera luiCarl Friedrich Gauss în geometria diferențială, iar formularea a fost influențată de teoria invarianților șiformelor algebrice dezvoltate la mijlocul secolului al XIX-lea.[30] Cuvântul „tensor” însuși a fost introdus în 1846 deWilliam Rowan Hamilton[31] pentru a descrie ceva diferit de ceea ce se înțelege acum ca tensor.[c] Utilizarea contemporană a fost introdusă deWoldemar Voigt⁠(d) în 1898.[32]

Calculul tensorial a fost elaborat în jurul anului 1890 de cătreGregorio Ricci-Curbastro sub titlul decalcul diferențial absolut și prezentat de Ricci pentru prima oară în 1892.[33] A fost făcut accesibil mai multor matematicieni prin publicarea de către Ricci șiTullio Levi-Civita în 1900 a textului clasicMéthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Metode de calcul diferențial absolut și aplicațiile lor).[34]

În secolul al XX-lea, subiectul a ajuns să fie cunoscut sub numele deanaliza tensorială, și a obținut acceptare mai largă prin introducerea de cătreEinstein înteoria relativității generale, în preajma lui 1915. Relativitatea generală este formulată în întregime în limbaj tensorial. Einstein a aflat de ei cu mare greutate, de la geometrulMarcel Grossmann.[35] Levi-Civita a inițiat apoi o corespondență cu Einstein pentru a corecta greșelile pe care Einstein le făcuse în utilizarea analizei tensoriale. Corespondența a durat între 1915-17 și s-a caracterizat prin respect reciproc:

„Admir eleganța metodei dumneavoastră de calcul; trebuie să fie frumos să călărești prin aceste câmpuri pe calul matematicii adevărate, în timp ce alții ca noi trebuie să umble laborios pe jos.”
—Albert Einstein[36]

Tensorii s-au dovedit a fi utili și în alte domenii, cum ar fimecanica continuă. Unele exemple bine cunoscute de tensori îngeometria diferențială suntformele pătratice cum ar fitensorii metrici⁠(d) șitensorul de curbură Riemann.Algebra exterioară a luiHermann Grassmann, de la mijlocul secolului al XIX-lea, este ea însăși o teorie tensorială și foarte geometrică, dar a durat ceva timp înainte de a fi văzută, cu teoriaformelor diferențiale⁠(d), unificate natural cu calculul tensorial. Opera luiÉlie Cartan a făcut din formele diferențiale unul dintre tipurile elementare de tensori utilizate în matematică.

Încă din anii 1920, s-a constatat că tensorii joacă un rol fundamental întopologia algebrică (de exemplu, înteorema Künneth⁠(d)).[37] În mod corespunzător există tipuri de tensori care operează în multe ramuri alealgebrei abstracte, în special înalgebra homologică⁠(d) și înteoria reprezentării. Algebra multi-liniară poate fi dezvoltată într-o mai mare generalitate decât pentru scalarii proveniți dintr-uncorp. De exemplu, scalarii pot proveni dintr-uninel. Dar teoria este mai puțin geometrică, iar calculele mai tehnice și mai puțin algoritmice.[38] Tensorii sunt generalizați înteoria categoriilor prin intermediul conceptului decategorie monoidală⁠(d), din anii 1960.[39]

Note

[modificare |modificare sursă]
  1. ^ Convenția de însumare Einstein, pe scurt, cere să se ia o sumă peste toate valorile indicilor ori de câte ori același simbol apare și la indice și la exponent în același termen. De exemplu, în conformitate cu această convenție,BiCi=B1C1+B2C2+⋯BnCn{\displaystyle B_{i}C^{i}=B_{1}C^{1}+B_{2}C^{2}+\cdots B_{n}C^{n}}
  2. ^Izomorfismul dublu dualitar⁠(d), de exemplu, este folosit pentru a identificaV cu spațiul dublu dualV**, care constă din formele multiliniare de gradul unu peV*. Este tipic în algebra liniară să se identifice spații care sunt naturale izomorfe, tratându-le ca același spațiu.
  3. ^ Anume,operația de normare într-un anumit tip de sistem algebric (acum cunoscut sub numele dealgebră Clifford⁠(d)).

Bibliografie

[modificare |modificare sursă]

Note bibliografice

[modificare |modificare sursă]
  1. ^„What is a Tensor?”.Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science.University of Cambridge. 
  2. ^abcdKline, Morris (martie 1990).Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3. Oxford University Press, USA.ISBN 978-0-19-506137-6. 
  3. ^abSharpe, R.W. ().Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer Science & Business Media. p. 194.ISBN 978-0-387-94732-7. 
  4. ^Tensor analysis for physicists 
  5. ^Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (),Foundations of Differential Geometry (în engleză), Vol. 1 (ed. New),Wiley,ISBN 978-0-471-15733-5 
  6. ^Lee, John (),Introduction to smooth manifolds, Springer, p. 173,ISBN 978-0-387-95495-0 
  7. ^Dodson, CTJ; Poston, T (),Tensor geometry,Graduate Texts in Mathematics,130, Springer, p. 105 
  8. ^Hazewinkel, Michiel, ed. (),„Affine tensor”,Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers,ISBN 978-1556080104 
  9. ^Bourbaki, N. ().„3”.Algebra I: Chapters 1-3. Springer Science & Business Media.ISBN 978-3-540-64243-5.  where the case of finitely generated projective modules is treated. The global sections of sections of a vector bundle over a compact space form a projective module over the ring of smooth functions. All statements for coherent sheaves are true locally.
  10. ^Joyal, A; Street, Ross (),„Braided tensor categories”(PDF),Advances in Mathematics (în engleză),102: 20–78 [nefuncțională]
  11. ^Bamberg, Paul; Sternberg, Shlomo ().A Course in Mathematics for Students of Physics: Volume 2. Cambridge University Press. p. 669.ISBN 978-0-521-40650-5. [nefuncțională]
  12. ^Penrose, R. ().The Road to Reality. Vintage books.ISBN 978-0-679-77631-4. 
  13. ^Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. ().Gravitation. W.H. Freeman & Co. p. 83.ISBN 978-0-7167-0344-0. 
  14. ^Moon, Parry Hiram;Spencer, Domina Eberle ().Theory of Holors: A Generalization of Tensors.Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-01900-2. 
  15. ^Maia, M. D. ().Geometry of the Fundamental Interactions: On Riemann's Legacy to High Energy Physics and Cosmology. Springer Science & Business Media. p. 48.ISBN 978-1-4419-8273-5. 
  16. ^Hogben, Leslie, ed. ().Handbook of Linear Algebra, Second Edition (ed. 2nd). CRC Press. pp. 15–7.ISBN 978-1-4665-0729-6. 
  17. ^Segal, I. E. (ianuarie 1956). „Tensor Algebras Over Hilbert Spaces. I”.Transactions of the American Mathematical Society.81 (1): 106–134.doi:10.2307/1992855.JSTOR 1992855. 
  18. ^Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E.; Ratiu, Tudor S. (februarie 1988) [First Edition 1983].„Chapter 5 Tensors”.Manifolds, Tensor Analysis and Applications. Applied Mathematical Sciences, v. 75.75 (ed. 2nd). New York: Springer-Verlag. pp. 338–339.ISBN 978-0-387-96790-5.OCLC 18562688.Elements of Trs are called tensors on E, [...]. 
  19. ^Lang, Serge ().Differential manifolds. Reading, Massachusetts:Addison-Wesley⁠(d) Pub. Co.ISBN 978-0201041668. 
  20. ^Schouten, Jan Arnoldus,Tensor analysis for physicists , §II.8: Densities.
  21. ^McConnell, AJ ().Applications of tensor analysis. Dover. p. 28. 
  22. ^Kay 1988, p. 27.
  23. ^Olver, Peter (),Equivalence, invariants, and symmetry, Cambridge University Press, p. 77 
  24. ^Haantjes, J., &Laman, G.⁠(d) (1953). On the definition of geometric objects. I.
  25. ^Nijenhuis, Albert (), „Geometric aspects of formal differential operations on tensor fields”,Proc. Internat. Congress Math.(Edinburgh, 1958)(PDF) (în engleză), Cambridge University Press, pp. 463–469, arhivat dinoriginal(PDF) la, accesat în .
  26. ^Salviori, Sarah (),„On the theory of geometric objects”,Journal of Differential Geometry (în engleză),7: 257–278 .
  27. ^Penrose, Roger ().The road to reality: a complete guide to the laws of our universe. Knopf. pp. 203–206. 
  28. ^Meinrenken, E. (), „The spin representation”,Clifford Algebras and Lie Theory, Ergebnisse der Mathematik undihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics,58, Springer-Verlag, pp. 49–85,doi:10.1007/978-3-642-36216-3_3,ISBN 978-3-642-36215-6 
  29. ^Dong, S. H. (), „Chapter 2, Special Orthogonal Group SO(N)”,Wave Equations in Higher Dimensions, Springer, pp. 13–38 [nefuncțională]
  30. ^Reich, Karin ().Die Entwicklung des Tensorkalküls. Science networks historical studies, v. 11. Birkhäuser.ISBN 978-3-7643-2814-6.OCLC 31468174. 
  31. ^Hamilton, William Rowan (). Wilkins, David R., ed.„On some Extensions of Quaternions”(PDF).Philosophical Magazine (7–9): 492–499, 125–137, 261–269, 46–51, 280–290.ISSN 0302-7597.  De la p. 498: "And if we agree to call thesquare root (taken with a suitable sign) of this scalar product of two conjugate polynomes, P and KP, the common TENSOR of each, … " [„Și dacă convenim să numimrădăcină pătrată (luată cu semnul corespunzător) din acest produs scalar de două polinoame conjugate, P și KP, al căror TENSOR comun, … ”]
  32. ^Voigt, Woldemar ().Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [Proprietățile fizice fundamentale ale cristalelor într-o prezentare elementară] (în germană). Von Veit. pp. 20–.Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nennen. [Așadar dorim [ca prezentarea anoastră] să se bazeze numai pe [presupunera că] condițiile de tipul descris apar în cadrul tensiunilor și deformărilor corpurilor nerigide, și de aceea le numim „tensoriale", și pe cantitățile fizice care le exprimă, „tensori".] 
  33. ^Ricci Curbastro, G. ().„Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique”.Bulletin des Sciences Mathématiques.2 (16): 167–189. 
  34. ^Ricci & Levi-Civita 1900.
  35. ^Pais, Abraham ().Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press.ISBN 978-0-19-280672-7. 
  36. ^Goodstein, Judith R. (). „The Italian Mathematicians of Relativity”.Centaurus.26 (3): 241–261.Bibcode:1982Cent...26..241G.doi:10.1111/j.1600-0498.1982.tb00665.x. 
  37. ^Spanier, Edwin H. ().Algebraic Topology. Springer Science & Business Media. p. 227.ISBN 978-1-4684-9322-1.the Künneth formula expressing the homology of the tensor product... [formul Künneth exprimând homologia produsului tensorial...] 
  38. ^Hungerford, Thomas W. ().Algebra. Springer Science & Business Media. p. 168.ISBN 978-0-387-90518-1....the classification (up to isomorphism) of modules over an arbitrary ring is quite difficult... 
  39. ^MacLane, Saunders ().Categories for the Working Mathematician. Springer Science & Business Media. p. 4.ISBN 978-1-4612-9839-7....for example the monoid M ... in the category of abelian groups, × is replaced by the usual tensor product... [...de exemplu monoidul M ... din categoria grupurilor abeliene, × este înlocuit cu produsul tensorial uzual ...] 

Lucrări

[modificare |modificare sursă]

Legături externe

[modificare |modificare sursă]
Commons
Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate detensor
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor&oldid=17274290
Categorie:
Categorii ascunse:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp