Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Spațiu metric

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice,sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsescnotele de subsol.
Puteți ajuta introducândcitări mai precise ale surselor.

Înmatematică, prinspațiu metric se înțelege oricemulțimeX pe care este definită ofuncțied:X×X→[0,∞){\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )} ce satisface proprietățile:

Orice funcțied cu proprietățile de mai sus se numeștefuncție distanță saumetrică.

Exemple importante

[modificare |modificare sursă]

undex=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}.

Bile

[modificare |modificare sursă]

Prinbila deschisă de centrux∈X{\displaystyle x\in X} și de razăr∈(0,∞){\displaystyle r\in (0,\infty )}, notatăB(x,r){\displaystyle B(x,r)}, se înțelege mulțimea punctelor a căror distanță până lax este strict mai mică decâtr:B(x,r)={y∈X|d(x,y)<r}{\displaystyle B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}}.Bila închisă de centrux și razăr, notatăB~(x,r){\displaystyle {\tilde {B}}(x,r)} sau, uneori,B¯(x,r){\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}, esteB~(x,r)={y∈X|d(x,y)≤r}{\displaystyle {\tilde {B}}(x,r)=\{y\in X|d(x,y)\leq r\}}.

De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secțiunea următoare), oricebilă deschisă este omulțime deschisă și oricebilă închisă este omulțime închisă. În orice spațiu metric are locB~(x,r)⊆B¯(x,r){\displaystyle {\tilde {B}}(x,r)\subseteq {\overline {B}}(x,r)}, undeM¯{\displaystyle {\overline {M}}} desemneazăînchiderea topologică a mulțimiiM. Înspațiile normate finit-dimensionale, de exemplu înR{\displaystyle \mathbb {R} },Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}},C{\displaystyle \mathbb {C} } șiCn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}, are loc egalitateaB~(x,r)=B¯(x,r){\displaystyle {\tilde {B}}(x,r)={\overline {B}}(x,r)}.

Topologia indusă de metrică

[modificare |modificare sursă]

Orice metrică induce otopologie pe mulțimea de puncte. Astfel, orice spațiu metric este și spațiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):

Echivalența metricilor

[modificare |modificare sursă]

Pe o aceeași mulțime se pot defini mai multe funcții distanță, rezultând structuri de spațiu metric distincte pe aceeași mulțime de bază. Două funcții distanță,d1{\displaystyle d_{1}} șid2{\displaystyle d_{2}} definite pe aceeași mulțimeX{\displaystyle X} se numesc:

Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.

Spații metrice complete

[modificare |modificare sursă]

Un spațiu metric se numeștecomplet dacă oriceșir Cauchy esteconvergent.

De exemplu, mulțimea numerelor raționale nu este spațiu metric complet deoarece șirulxn=(1+1n)n{\displaystyle x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} este fundamental fără a fi convergent (același șir, în mulțimea numerelor reale este convergent și are ca limită numărule. În schimb, mulțimea numerelor reale este spațiu metric complet.

Alte exemple

[modificare |modificare sursă]

1. Fie(G,+){\displaystyle (G,+)} ungrupcomutativ șip:G→R+{\displaystyle p:G\rightarrow \mathbb {R} _{+}} ofuncție ce satisface proprietățile:

  1. p(x)=0⇔x=0;{\displaystyle p(x)=0\;\Leftrightarrow \;x=0;}
  2. p(−x)=p(x),∀x∈G;{\displaystyle p(-x)=p(x),\;\forall x\in G;}
  3. p(x+y)≤p(x)+p(y),∀x,y∈G.{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y),\;\forall x,y\in G.}

Atunciaplicațiad:G×G→R,d(x,y)=p(x−y),∀x,y∈G{\displaystyle d:G\times G\rightarrow \mathbb {R} ,\;d(x,y)=p(x-y),\;\forall x,y\in G} este o metrică peG.

2. Următoarele aplicații sunt distanțe peN:{\displaystyle \mathbb {N} :}

  1. d:N×N→R+,d(m,n)=|m−n|,∀m,n∈N.{\displaystyle d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=|m-n|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} .}
  2. d:N∗×N∗→R+,d(m,n)=|1m−1n|,∀m,n∈N∗.{\displaystyle d:\mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N} ^{*}\rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} ^{*}.}
  3. d:N×N→R+,d(m,n)=|m1+m−n1+n|,∀m,n∈N.{\displaystyle d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+},\;d(m,n)=\left|{\frac {m}{1+m}}-{\frac {n}{1+n}}\right|,\;\forall m,n\in \mathbb {N} .}
Portal iconPortal Matematică
Domenii
Computer graphics rendering of a Klein bottle
Concepte de bază
Glosar/Liste
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Spațiu_metric&oldid=16064363
Categorii:
Categorie ascunsă:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp