Înanaliza de variabile multiple^⁠(d)problema valorii inițiale,^[1][2] sau doarproblemă inițială,^[3] cunoscută și dreptproblema Cauchy,^[3][4] este o problemă referitoare la oecuație diferențială ordinară împreună cu ocondiție inițială care specifică valoareafuncției pentru un anumitargument dindomeniul de definiție. Modelarea unui fenomen înfizică sau în alte științe echivalează frecvent cu rezolvarea unei probleme cu condiție inițială. În acest context ecuația diferențială specifică modul în care acestaevoluează în timp^⁠(d) având în vedere condițiile inițiale ale problemei.

O problemă Cauchy este o ecuație diferențială

${\displaystyle y{}^{\mathrm{\prime }}(t)=f(t,y(t))}$

cu${\displaystyle f:\mathrm{\Omega }\subset \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n}$ unde${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ iste omulțime deschisă din${\displaystyle \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n}$, împreună cu un punct din domeniul${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_0,y_0)\in \mathrm{\Omega },}$

numităcondiție inițială.^[4]

O soluție la o problemă Cauchy este o funcție${\displaystyle y}$ care este o soluție a ecuației diferențiale și satisface

${\displaystyle y(t_0)=y_0.}$

În dimensiuni superioare, ecuația diferențială este înlocuită cu o familie de ecuații${\displaystyle y_i^{\mathrm{\prime }}(t)=f_i(t,y_1(t),y_2(t),\dots )}$, iar${\displaystyle y(t)}$ este vectorul${\displaystyle (y_1(t),\dots ,y_n(t))}$, cel mai frecvent asociat cu poziția în spațiu. În general, funcția necunoscută${\displaystyle y}$ poate lua valori în spații dimensionale infinite, cum ar fispații Banach saudistribuții^⁠(d).

Problemele Cauchy pot fi extinse la derivatele de ordin superior tratând derivatele în același mod ca o funcție independentă, de ex.${\displaystyle y{}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=f(t,y(t),y{}^{\mathrm{\prime }}(t))}$.

Teorema Picard–Lindelöf^⁠(d) garantează o soluție unică într-un interval care conținet₀ dacăf este continuă într-o regiune care conținet₀ șiy₀ și satisfacecondiția Lipschitz^⁠(d) pentru variabilay. Demonstrarea acestei teoreme continuă prin reformularea problemei ca oecuație integrală echivalentă. Integrarea poate fi considerată un operator care aplică o funcție pe alta, astfel încât soluția să fie unpunct fix al operatorului. Apoi,principiul contracției arată că există un punct fix unic, care corespunde soluției problemei Cauchy.

Hiroshi Okamura a obținut o condițienecesară și suficientă^⁠(d) pentru ca rezolvarea unei probleme Cauchy să fie unică. Această condiție are legătură cu existența uneifuncții Liapunov pentru problemă.

În unele situații funcțiaf nu este ofuncție netedă^⁠(d) din clasaC¹, sau chiar din clasa Lipschitz, deci rezultatul care garantează existența locală a unei soluții unice nu se aplică.Teorema de existență a lui Peano demonstrează totuși că și pentruf continuu, soluțiile sunt garantate că există local în timp; problema este că nu există nicio garanție a unicității. Rezultatul poate fi găsit în Coddington & Levinson (1955, Teorema 1.3) sau Robinson (2001, Teorema 2.6). Un rezultat și mai general esteteorema de existență a lui Carathéodory, care afirmă existența soluției în cazul unor funcțiif discontinue.

Un exemplu simplu este rezolvarea ecuației${\displaystyle y{}^{\mathrm{\prime }}(t)=0,85y(t)}$ cu${\displaystyle y(0)=19}$. Se caută funcția${\displaystyle y(t)}$ care să satisfacă aceste două ecuații.

Se rearanjează ecuația astfel încât${\displaystyle y}$ să fie în partea stângă

${\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{y(t)}=0,85}$

Se integrează ambele părți în raport cu${\displaystyle t}$ (aceasta introduce oconstantă de integrare necunoscută${\displaystyle B}$).

${\displaystyle \int \frac{y{}^{\mathrm{\prime }}(t)}{y(t)}dt=\int 0,85dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0,85t+B}$

Se elimină logaritmul prin exponențierea ambilor membri

${\displaystyle |y(t)|=e^B{e}^{0,85t}}$

Fie${\displaystyle C}$ constanta necunoscută${\displaystyle C=\pm e^B}$, astfel

${\displaystyle y(t)=C{e}^{0,85t}}$

Acum se calculează o valoare pentru${\displaystyle C}$. Cu${\displaystyle y(0)=19}$ așa cum este dat la început, se înlocuiesc 0 în${\displaystyle t}$ și 19 în${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=C{e}^{0,85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

În final se obține soluția${\displaystyle y(t)=19e^{0,85t}}$.

Al doilea exemplu

Soluția ecuației

${\displaystyle y{}^{\mathrm{\prime }}+3y=6t+5,y(0)=3}$

poate fi

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.}$

Într-adevăr,

• enCoddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955).Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 
• enHirsch, Morris W.; Smale, Stephen (1974).Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. New York-London: Academic Press. 
• enOkamura, Hirosi (1942). „Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano”.Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A (în French).24: 21–28.MR 0031614. Mentenanță CS1: Limbă nerecunoscută (link)
• enAgarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993).Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. Series in real analysis.6. World Scientific.ISBN 978-981-02-1357-2. 
• enPolyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003).Handbook of exact solutions for ordinary differential equations (ed. 2nd). Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC.ISBN 1-58488-297-2. 
• enRobinson, James C. (2001).Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press.ISBN 0-521-63204-8. 

• Condiții pe frontieră

• Webarchive template wayback links
• Mentenanță CS1: Limbă nerecunoscută
• Articole Wikipedia cu identificatori LCCN
• Articole Wikipedia cu identificatori NDL
• Articole Wikipedia cu control de autoritate