Matematica este în general definită caștiința ce studiază modelele de structură, schimbare și spațiu. În conversații amicale, poate fi descrisă ca „analiza cifrelor și a numerelor”, în timp ce cu alte ocazii poate fi utilizată o descriere pedantă de genul „cercetarea axiomatică a structurilor abstracte folosind raționamente logice șinotații matematice”. Un compromis se obține prin „studiul obiectelor sau noțiunilor a căror existență este independentă de această investigație științifică”.
Datorită utilizării sale în majoritatea celorlalte discipline științifice, matematica a fost numită „limbajul științei” sau „limbajul universului”.
Geometria (din grecesculγεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură) s-a născut ca fiind ramura de studiu a matematicii care se ocupă cu relațiile spațiale. Este una dintre cele două ramuri ale matematicii moderne, cealaltă fiind studiul numerelor. În ziua de azi, conceptele geometriei au fost generalizate către un nivel mai înalt de abstractizare și complexitate, și a fost făcută obiect de studiu pentru metode de calcul și algebră abstractă, așa că multe ramuri moderne ale geometriei mai pot fi recunoscute ca fiind descendente ale geometriei de la începuturile ei. (Vezigeometrie algebrică.)
Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babylon, în jurul anului 3000 î.e.n. Începuturile geometriei au fost marcate de o colecție de principii empirice în legătură cu lungimea, unghiul, aria, și volumul, care au fost dezvoltate pentru a putea fi puse în practică în construcții, astronomie, și alte științe. Printre acestea se numără și câteva principii sofisticate, iar un matematician din zilele noastre ar putea cu greu să le redescopere fără a folosi calculul integral și diferențial. De exemplu, și egiptenii și babilonienii cunoșteau versiunileteoremei lui Pitagora cu 1500 de ani înainte dePitagora; Egiptenii aveau formula corectă pentru volumul piramidei cu baza pătrat; Babilonienii aveau un tabel de trigonometrie.
Mulțimea lui Mandelbrot este unfractal care a devenit cunoscut și în afaramatematicii atât pentru estetica sa, cât și pentru structura complicată, dar care are la bază o definiție simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor luiBenoît Mandelbrot și ale altora, care au lucrat pentru a face cunoscut acest domeniu al matematicii publicului general.
Deși N este inclusă strict in Z , cele două mulțimi sunt cardinal echivalente, adică au același cardinal. Funcția bijectivă care ne arată acest lucru este următoarea: f definită pe Z cu valori în N , unde numerele întregi nenegative merg prin f în numerele naturale pare, iar numerele întregi negative în numerele naturale impare.
