Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Normală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Un poligon și doi vectori normali pe el
Normala la osuprafață într-unpunct este aceeași cu normala laplanultangent la suprafață în același punct

Îngeometrie onormală este un obiect, cum ar fi odreaptă, orază sau unvector, care esteperpendicular pe un obiect dat. De exemplu,dreapta normală la ocurbă plană într-unpunct dat este dreapta (infinită) perpendiculară petangenta lacurbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (unversor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (unvector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.

Înspațiul tridimensional onormală la suprafață sau, simplu,normală la osuprafață în punctulP este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață înP. Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptănormală la un plan, componentanormală a uneiforțe, vectorulnormal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează laortogonalitate (unghiuri drepte).

Noțiunea a fost generalizată lavarietăți diferențiabile⁠(d) de dimensiune arbitrară încorporate într-unspațiu euclidian.Spațiul vectorial normal sauspațiul normal al unei varietăți în punctulP este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cuspațiul tangent⁠(d) înP. Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazulcurbelor șisuprafețelor netede.

Distanța normală a unui punctQ la o curbă sau la o suprafață estedistanța euclidiană dintreQ și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctulP de pe obiect a cărui normală conțineQ).

Normala la suprafețe în spațiul tridimensional

[modificare |modificare sursă]
O suprafață curbată cu vectorii normali (săgețile albastre) la suprafață

Calculul normalei la o suprafață

[modificare |modificare sursă]

Pentru unpoligon convex (cum ar fi untriunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorulprodus vectorial al douălaturi (neparalele) ale poligonului.

La un plan dat de ecuațiaax+by+cz+d=0,{\displaystyle ax+by+cz+d=0,} vectoruln=(a,b,c){\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)} este normal.[1][2]

Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:

r(s,t)=r0+sp+tq,{\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}

under0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}} este un punct din plan, iarp,q{\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} } sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambiip{\displaystyle \mathbf {p} } șiq,{\displaystyle \mathbf {q} ,} care poate fi calculat prin produsul vectorialn=p×q.{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}[2][3]

Dacă o suprafață (nu neapărat plană)S{\displaystyle S} în spațiul tridimensionalR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} este parametrizată de un sistem de coordonate curbiliniir(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),{\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),} cus{\displaystyle s} șit{\displaystyle t} variabile reale, atunci o normală laS este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial alderivatelor parțiale

n=∂r∂s×∂r∂t.{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}

Dacă suprafațaS{\displaystyle S} este dată sub formăimplicită⁠(d) ca un set de puncte(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} care satisfacF(x,y,z)=0,{\displaystyle F(x,y,z)=0,} atunci o normală într-un punct(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} de pe suprafață este dată degradientul

n=∇F(x,y,z){\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)}

deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setuluiS{\displaystyle S}.

Pentru suprafațaS{\displaystyle S} dinR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} care estegraficul funcțieiz=f(x,y),{\displaystyle z=f(x,y),} o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarear(x,y)=(x,y,f(x,y)),{\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),} dând

n=∂r∂x×∂r∂y=(1,0,∂f∂x)×(0,1,∂f∂y)=(−∂f∂x,−∂f∂y,1);{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}

sau mai simplu din forma sa implicităF(x,y,z)=z−f(x,y)=0,{\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,} rezultând

n=∇F(x,y,z)=(−∂f∂x,−∂f∂y,1).{\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}

Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-unpunct singular (de exemplu, vârful unuicon), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normalăaproape peste tot⁠(d).

Alegerea normalei

[modificare |modificare sursă]
Câmp de vectori normali la o suprafață

Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avealungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care estefrontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge întrenormala orientată spre interior șinormala orientată spre exterior. Pentru o suprafațăorientată, normala este de obicei determinată deregula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.

Hipersuprafețe în spațiuln-dimensional

[modificare |modificare sursă]

La unhiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiun-dimensionalRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dat de reprezentarea sa parametrică

r(t1,…,tn−1)=p0+t1p1+⋯+tn−1pn−1,{\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}

undep0{\displaystyle \mathbf {p} _{0}} un punct pe hiperplan, iarpi{\displaystyle \mathbf {p} _{i}} pentrui=1,…,n−1{\displaystyle i=1,\ldots ,n-1} sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vectorn{\displaystyle \mathbf {n} } dinnucleul matriceiP=[p1⋯pn−1],{\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},} undePn=0.{\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .} Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniarea1x1+⋯+anxn=c,{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,} atunci vectoruln=(a1,…,an){\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)} este o normală.

Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele (n−1)-dimensionale dinRn.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor(x1,x2,…,xn){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} care satisfac o ecuațieF(x1,x2,…,xn)=0,{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,} undeF{\displaystyle F} este o funcție scalară. DacăF{\displaystyle F} este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă învecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient:

n=∇F(x1,x2,…,xn)=(∂F∂x1,∂F∂x2,…,∂F∂xn).{\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}

Dreapta normală este unsubspațiu unidimensional cu baza{n}.{\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}

Note

[modificare |modificare sursă]
  1. ^Paul A. Blaga,Dreapta și planul în spațiu,Universitatea Babeș-Bolyai, 8 aprilie 2020, accesat 2022-06-20
  2. ^abPlane în spațiu. Breviar teoretic,Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2022-06-20
  3. ^Paul Popescu, Marcela Popescu,Algebră Liniară și Geometrie Analitică,Universitatea din Craiova, p. 27, accesat 2022-06-20

Legături externe

[modificare |modificare sursă]
Portal iconPortal Matematică
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Normală&oldid=16333808
Categorii:
Categorie ascunsă:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp