Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Sari la conținut

Mediană

Modifică legăturile

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

(Redirecționat de laMediana)

Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana într-untriunghi estesegmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți

[modificare |modificare sursă]

Concurența medianelor într-un triunghi

[modificare |modificare sursă]

Toate cele trei mediane ale unui triunghi suntconcurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.^[1]^[2]

Împărțirea egală a ariilor

[modificare |modificare sursă]

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente).^[3] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

[modificare |modificare sursă]

În figura alăturată se observă că $D F {\displaystyle DF}$ estelinia mijlocie a triunghiului : $A B C {\displaystyle ABC}$ , opusă laturii $B C {\displaystyle BC}$ . Prin urmare, este paralelă cu $B C {\displaystyle BC}$ și are lungimea egală cu ${\frac {BC}{2}}$ .

DeoareceBC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

OCB=ODF

și

OBC=OFD

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile $\Delta OBC$ și $\Delta OFD$ sunt asemenea. Rezultă că

{\frac {OF}{OB}}

=

{\frac {OD}{OC}}

=

{\frac {FD}{BC}}

=

{\frac {1}{2}}

Demonstrație prin teorema lui Ceva

[modificare |modificare sursă]

Deoarece:

{\frac {AF}{FC}}

=

{\frac {CE}{EB}}

=

{\frac {BD}{DA}}

= 1, rezultă că și :

{\frac {AF}{FC}}

.

{\frac {CE}{EB}}

.

{\frac {BD}{DA}}

=1. Deci, conformteoremei reciproce pentruteorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei

[modificare |modificare sursă]

Folosindteorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}

.

Alte proprietăți

[modificare |modificare sursă]

Într-untriunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuzac satisfac proprietatea $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$
Medianele corespunzătoare laturilora șib sunt perpendicularedacă și numai dacă $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$ ^[4]

Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:^[5]

{\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.

Se poate exprima aria unui triunghi,T, în funcție de lungimile medianelorm_a,m_b șim_c și semisuma lungimilor medianelor(m_a +m_b +m_c)/2 notată σ, când se obține:^[6]

T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.

Note

[modificare |modificare sursă]

^Weisstein, Eric W. (2010).CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377.ISBN 9781420035223.
^Algebra.com
^Bottomley, Henry.„Medians and Area Bisectors of a Triangle”. Accesat în27 septembrie 2013.
^Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009),Mathematical Gazette, Note 93.15.
^Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T.,Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
^Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle,"Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

Vezi și

[modificare |modificare sursă]

Commons

Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate deMediană

Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Mediană&oldid=16651357

Categorie:

Geometria triunghiului

[8]ページ先頭