Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Integrală improprie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Înanaliza matematică, ointegrală improprie estelimita uneiintegrale definite, când limita intervalului de integrare tinde la unnumăr real, la ∞ sau −∞ sau, în unele cazuri, când ambele capete ale intervalului de integrare se apropie de limite.

Formulare

[modificare |modificare sursă]

Mai exact, ointegrală improprie nu este un fel de integrală, dar înseamnă o expresie de forma

limb→c∫abf(x)dx{\displaystyle \lim _{b\to c}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

undec este fie +∞, fie un număr real cu proprietatea că |f(x)| → ∞ când x → c-.

sau

limb→a∫bcf(x)dx{\displaystyle \lim _{b\to a}\int _{b}^{c}f(x)\,dx}

undea este fie −∞, fie un număr real cu proprietatea că |f(x)| → ∞ când x → a+.

Chestiunile de bază ale teoriei sunt deci:

A doua parte poate fi tratată prin tehnici de calcul integral, dar în unele cazuri prinintegrare pe contur,transformate Fourier și alte metode avansate.

Notație

[modificare |modificare sursă]

De regulă se folosesc notații care se aseamănă cu cele de la integrala tipică, dar fiecare simbol semnifică integrarea improprie.

∫a∞f(x)dx:=limt→∞∫atf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,}
∫−∞bf(x)dx:=limt→−∞∫tbf(x)dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}f(x)\,dx\,}
∫−∞∞f(x)dx:=limt→−∞∫taf(x)dx+limt→∞∫atf(x)dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{a}f(x)\,dx\,+\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,}
∫abf(x)dx:=limt→b−∫atf(x)dx,undelimx→b−|f(x)|=∞{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx,\,{\mbox{unde}}\,\,\lim _{x\to b^{-}}|f(x)|=\infty }
∫abf(x)dx:=limt→a+∫tbf(x)dx,undelimx→a+|f(x)|=∞{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{b}f(x)\,dx,\,{\mbox{unde}}\,\,\lim _{x\to a^{+}}|f(x)|=\infty }
∫abf(x)dx:=limt→c−∫atf(x)dx+limt→c+∫tbf(x)dx,undelimx→c|f(x)|=∞{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to c^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,+\lim _{t\to c^{+}}\int _{t}^{b}f(x)\,dx,\,{\mbox{unde}}\,\,\lim _{x\to c}|f(x)|=\infty }

Probleme de definiție

[modificare |modificare sursă]
Figura 1.
Figura 2

În unele cazuri, integrala

∫acf(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx\,}

se poatedefini fără a se face referire la limita

limb→c−∫abf(x)dx{\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\,}

dar nu există o metodă convenabilă diferită de calcul. Aceasta se întâmplă adesea cândf areasimptotă verticală într-una dintre limitele de integrare, sau dacă una dintre aceste limite este  = ∞.

În unele cazuri, intervalul dintrea șic nici nu este definit, deoarece integralele părților pozitivă și negativă ale luif(x) dx de laa lac sunt ambele infinite, dar limita poate exista.

Probleme de interpretare

[modificare |modificare sursă]

Există mai multe teorii ale integrării matematice. Din punctul de vedere al calculului integral, teoriaintegralei Riemann este folosită de obicei (ca teorie implicită, cu alte cuvinte, în discuțiile privitoare la ce semnifică expresia cu semnul de integrală). În studiul integralelor improprii, poate conta teoria de integrare folosită.

Integrala

∫0∞dx1+x2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}

poate fi interpretată ca

limb→∞∫0bdx1+x2=limb→∞arctan⁡b=π2,{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}

dar din punctul de vedere al analizei matematice nu estenecesar să se interpreteze astfel, deoarece se poate interpreta caintegrală Lebesgue pe mulțimea (0, ∞). Pe de altă parte, utilizarea limitei de integrale definite pe intervale finite este în mod cert utilă, fie și doar ca metodă de calcul a valorilor.

Prin contrast,

∫0∞sin⁡(x)xdx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}

nu poate fi interpretată ca integrală Lebesgue, deoarece

∫0∞|sin⁡(x)x|dx=∞.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}

iar valoarea acesteia este dată de

∫0∞sin⁡(x)xdx=limb→∞∫0bsin⁡(x)xdx=π2.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}


Singularități

[modificare |modificare sursă]

Se poate vorbi despresingularitățile unei integrale improprii, ceea ce înseamnă punctele de pe axa reală extinsă în care se folosesc limitele.

Astfel de integrală este adesea scrisă simbolic ca o integrală definită standard, eventual cuinfinit ca limită de integrare. Dar aceasta ascunde procesul de limitare. Folosind integrala Lebesgue, mai avansată, în locul integralei Riemann, în unele cazuri această cerință poate fi depășită, dar dacă se dorește doar evaluarea limitei pentru obținerea unui răspuns clar, această modificare nu este în mod necesar de ajutor. Este mai mult sau mai puțin esențială în tratarea teoretică a transformatei Fourier, prin folosirea integralelor pe toată axa reală.

Bibliografie

[modificare |modificare sursă]
  • C. Dochițoiu, A. Matei,Matematici economice generale, Editura Economică, 1995
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrală_improprie&oldid=10760002
Categorie:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp