Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Integrală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Înanaliza matematică,integrala uneifuncții este o generalizare a noțiunilor dearie,masă,volum șisumă. Procesul de determinare a unei integrale se numeșteintegrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită dederivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite.

Integrala definită reprezintă aria regiunii delimitate de graficul unei funcții

În mod intuitiv, integrala unei funcții continue, pozitive,f(x), de variabilăreală și luând valori reale între două punctea șib, reprezintăvaloareaariei mărginite de segmentelex=a,x=b, axax și graficul funcțieif(x). Formal, considerând

S={(x,y)∈R2:a≤x≤b,0≤y≤f(x)},{\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\},}

atunci integrala funcțieif întrea șib estemăsura luiS.

Termenul "integrală" se poate referi și la noțiunea deprimitivă a unei funcții, adică o funcțieF a căreiderivată este funcția datăf. În acest caz, se numeșteintegrală nedefinită, pe când integralele discutate în acest articol sunt numiteintegrale definite. Integrala definită este denumită șiintegrala Riemann (conform Encyclopaedia Britannica).

Principiile integrării au fost enunțate deIsaac Newton șiGottfried Wilhelm Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Printeorema fundamentală a calculului integral, pe care au dezvoltat-o independent unul de altul, integrarea este legată dederivare[1], iar integrala definită a unei funcții poate fi ușor calculată odată ce este cunoscută o primitivă a ei. Matematicienii secolului al XVIII-lea considerau de la sine înțeleasă existența unei integrale pentru funcții elementare, chiar în situația când nu se poate calcula.

Integralele și derivatele au devenit uneltele de bază aleanalizei matematice, cu numeroase aplicații în știință și inginerie.

O definiție riguroasă a integralei a fost dată deBernhard Riemann. Ea este bazată pe o trecere lalimită prin care se aproximează aria unei regiuni curbilinii prin descompunerea acesteia în zone verticale subțiri. Din secolul al XIX-lea, au început să apară tipuri de integrale mai sofisticate, în care atât tipul funcției cât și domeniul peste care se face integrarea au început să fie generalizate. Ointegrală curbilinie este definită pentru funcții de două sau trei variabile, iar intervalul de integrare[a,b]{\displaystyle [a,b]} este înlocuit de o anumităcurbă care leagă două puncte din plan sau din spațiu. Într-ointegrală de suprafață, curba este înlocuită de o bucată desuprafață dinspațiul tridimensional.

Integraleleformelor diferențiale joacă un rol fundamental îngeometria diferențială modernă. Aceste generalizări ale integralelor au apărut datorită necesităților dinfizică, și joacă un rol important în formularea multor legi din fizică, în principal a celor dinelectrodinamică. Conceptele moderne ale integrării se bazează pe teoria matematică abstractă numităintegrală Lebesgue, dezvoltată deHenri Lebesgue.

Leibniz a introdus notația standard a integralei, de forma unuiS alungit. Integrala din paragraful anterior se notează∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}. Semnul ∫ notează integrarea,a șib sunt extremitățileintervalului,f(x) este funcția care se integrează, iardx notează variabila în care se face integrarea. La început,dx reprezenta o "cantitate infinitezimală", iar S-ul alungit însemna „sumă”. Însă teoria modernă a integralei este construită pe altefundamente, iar aceste simboluri tradiționale au devenit simplenotații.

Terminologie și notație

[modificare |modificare sursă]

Dacă o funcție are integrală, ea se numeșteintegrabilă. Funcția pentru care se calculează integrala se mai numeșteintegrand. Regiunea peste care este integrată o funcție se numeștedomeniu de integrare. În general, integrandul poate fi o funcție de mai multe variabile, iar domeniul de integrare poate fi o suprafață, unvolum, o regiune de dimensiune superioară sau un spațiu abstract care nu are o structură geometrică în sensul obișnuit.

Cazul cel mai simplu, integrala unei funcții realef de o variabilă realăx pe un interval[a,b]{\displaystyle [a,b]}, se notează cu

∫abf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

Simbolul ∫ un „S” alungit, reprezintă integrarea;a șib suntlimita inferioară șilimita superioară de integrare, definind domeniul de integrare;f este integrandul, de evaluat în funcție de variația luix în intervalul[a,b]{\displaystyle [a,b]} iardx poate avea diferite interpretări în funcție de teoria folosită. De exemplu, poate fi văzut doar ca un indicator al faptului căx este 'variabila de integrare', ca o reflecție a ponderilor din suma Riemann, o măsură (în integralele Lebesgue și extensiile acestora), o cantitate matematică infinitezimală (în analiza nestandard) sau independentă: oformă diferențială. Cazurile mai complicate pot varia cumva notația.

Introducere

[modificare |modificare sursă]

Integralele apar în multe situații practice. Să considerăm un bazin. Dacă este dreptunghiular, atunci din lungimea, lățimea și adâncimea lui se poate determina cu ușurință volumul de apă pe care-l poate conține, suprafața lui, și lungimea muchiei. Dar dacă bazinul este oval și are și fundul rotunjit, calculul acestor cantități necesită integrale. Aproximările practice pot fi la început suficiente dar în cele din urmă sunt necesare soluții riguroase ale acestor probleme.

Aproximări ale integralei funcției √x de la 0 la 1, cu■ 5 probe (sus) și■ 12 probe (jos)

Pentru început, să considerăm curbay =f(x) întrex = 0 șix = 1, cuf(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}. Întrebarea este:

Care este aria de sub graficul luif, pe intervalul de la 0 la 1?

să numim această arieintegrala luif. Notația pentru această integrală este

∫01xdx{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!}.

Într-o primă aproximare, se considerăpătratul unitar dat de laturilex=0 lax=1 șiy=f(0)=0 șiy=f(1)=1. Aria sa este exact 1. Se pare că valoarea reală a integralei trebuie să fie puțin mai mică. Scăzând lungimea dreptunghiurilor de aproximare se obține un rezultat mai bun; deci se împarte intervalul în cinci pași, folosind punctele de aproximare 0,15{\displaystyle {\frac {1}{5}}},25{\displaystyle {\frac {2}{5}}}, și tot așa până la 1. Se construiește pentru fiecare pas câte undreptunghi cu înălțimea egală cu valoarea la capătul din dreapta al bucății de curbă corespunzător, respectiv15{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}},25{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}, și tot așa până la1=1{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}. Însumând ariile acestor dreptunghiuri, se obține o aproximare mai bună a integralei, și anume

15(15−0)+25(25−15)+…+55(55−45)≈0.7497{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\ldots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497\,\!}

Se observă că luăm o sumă de un număr finit de valori ale funcțieif, înmulțite cu diferența dintre două puncte consecutive de aproximare. Se vede ușor că aproximarea este încă prea largă. Folosirea mai multor pași produce o aproximare mai bună, dar nu vom fi niciodată exacți: înlocuind cele 5 subintervale cu douăsprezece subintervale, se obține o valoare aproximativă pentru arie de 0,6203, care este prea mică. Ideea esențială este tranziția de la a adunaun număr finit de distanțe dintre puncte de aproximare înmulțite cu valori corespunzătoare ale funcției la folosirea unor pași infinit de fini, sauinfinitezimali. Notația

∫f(x)dx{\displaystyle \int f(x)\,dx\,\!}

definește integrala ca osumă ponderată (notată cu "S"-ul alungit), cu valorile funcției (cum ar fi înălțimile,y =f(x)) înmulțite cu lungimi de pași infinitezimali, așa-numitelediferențiale (notate cudx).

În ce privește calculul efectiv al integralelor,teorema fundamentală a calculului integral, dezvoltată de Newton și Leibniz, este legătura fundamentală între operațiile dederivare și integrare. În condiții potrivite, valoarea unei integrale pe o regiune poate fi determinată privind doar limitele regiunii. Aplicată curbei rădăcinei pătrate, considerăm funcțiaF(x)=23x3{\displaystyle F(x)={\frac {2}{3}}{\sqrt {x^{3}}}}, și se calculeazăF(1)−F(0), unde 0 și 1 sunt limiteleintervalului[0,1]{\displaystyle [0,1]}.[2]

În istorie, după eșecul primelor eforturi de a defini riguros cantitățile infinitezimale, Riemann a definit formal integralele calimite ale unor sume ponderate ordinare, astfel încâtdx sugera limita unei diferențe (și anume mărimea intervalului). Defectele dependenței lui Riemann de intervale și continuitate au motivat noi definiții, mai ales integrala Lebesgue, bazată pe abilitatea de a extinde ideea de "măsură" în moduri mult mai flexibile. Astfel, notația

∫Af(x)dμ{\displaystyle \int _{A}f(x)\,d\mu \,\!}

se referă la o sumă ponderată în care valorile funcțiilor sunt împărțite, cu μ o pondere ce se asociază fiecărei valori. (Aici se notează cuA domeniul de integrare.)Geometria diferențială dă notația familiară fără altă interpretare. Acumf(x) șidx devin oformă diferențială, ω =f(x)dx, apare un nouoperator diferențiald, cunoscut cadiferențiala, iar teorema fundamentală devine oteoremă mai generală,teorema lui Stokes,

∫Adω=∫∂Aω,{\displaystyle \int _{A}\mathbf {d} \omega =\int _{\partial A}\omega ,\,\!}

de unde derivăteorema lui Green,teorema de divergență, șiteorema fundamentală a calculului integral.

Deși există diferențe între aceste concepte de integrală, ele se suprapun considerabil. Astfel, aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același.

Definiții

[modificare |modificare sursă]

Există mai multe moduri de definire a integralelor, și nu toate sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții sunt cele aleintegralei Riemann și a integralei Lebesgue.

Integrala Riemann

[modificare |modificare sursă]
Articol principal:Integrală Riemann
Integrală abordată ca sumă Riemann pe o diviziune, cu poziții și lățimi de eșantionare neregulate (lățimea maximă cu roșu). Valoarea reală este 3.76; cea estimată este 3.648.

Integrala Riemann este definită în termeni desume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie [a,b] uninterval închis de pedreapta reală; atunci o diviziune cu puncte intermediare a lui [a,b] este o secvență finită

a=x0≤ξ1≤x1≤ξ2≤x2≤⋯≤xn−1≤ξn≤xn=b.{\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{1}\leq x_{1}\leq \xi _{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq \xi _{n}\leq x_{n}=b.\,\!}
Sume Riemann care converg odată cu înjumătățirea intervalului de diviziune, eșantionate la■ dreapta,■ minim,■ maxim, sau■ stânga.

Aceasta împarte intervalul [a,b] înn sub-intervale [xi−1,xi], fiecare având un punct alesξi ∈ [xi−1,xi]. Fie Δi =xi−xi−1 lățimea sub-intervaluluii; atuncinorma unei astfel de diviziuni este lățimea celui mai mare subinterval format de diviziune, maxi=1…n Δi. Osumă Riemann a unei funcțiif în raport cu o astfel de diviziune este

∑i=1nf(ξi)Δi;{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta _{i};}

astfel fiecare termen al sumei este aria dreptunghiului cu înălțimea egală cu valoarea funcției în punctul ales al subintervalului dat, și cu lățimea egală cu lățimea subintervalului.Integrala Riemann a unei funcțiif pe intervalul [a,b] este egală cuS dacă:

Oricare ar fi ε > 0 există δ > 0 astfel încât, oricare ar fi o partiție [a,b] cu norma mai mică decât δ, avem
|S−∑i=1nf(ξi)Δi|<ϵ.{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}

Când valorile intermediare alese sunt valoarea maximă (respectiv, minimă) a funcției pe fiecare interval, suma Riemann devine osumă Darboux superioară (respectiv, inferioară), sugerând legătura strânsă între integrala Riemann și integrala Darboux.

Integrala Lebesgue

[modificare |modificare sursă]

Integrala Riemann nu este definită pentru o gamă largă de funcții și situații cu importanță în aplicații (și de interes în teorie). De exemplu, integrala Riemann poate fi folosită pentru a integra densitatea și a găsi astfel masa unei bare de oțel, dar nu poate trata cazul unei bile de oțel care stă pe aceasta. Din această cauza au apărut și alte definiții, care permit unei game mai largi de funcții să fie integrabile[3]. În particular, integrala Lebesgue aduce o mare flexibilitate atrăgând atenția asupra ponderilor din sumă.

Astfel, definiția integralei Lebesgue începe cu omăsură μ. În cazul cel mai simplu,măsura Lebesgue μ(A) a unui intervalA = [a,b] este lățimea sa,b −a, astfel încât integrala Lebesgue este echivalentă cu integrala Riemann proprie atunci când există amândouă. În cazuri mai complicate, mulțimile măsurate pot fi foarte fragmentate, fără vreo continuitate sau vreo asemănare cu intervalele.

Pentru a exploata această flexibilitate, integralele Lebesgue inversează abordarea sumei ponderate. "Pentru a calcula integrala Riemann a luif, se împarte domeniul [a,b] în subintervale", pe când la integrala Lebesgue, "se împarte de fapt domeniul de valori al luif".[4]

O abordare comună definește întâi integralafuncției indicator a uneimulțimi măsurabileA drept:

∫1Adμ=μ(A){\displaystyle \int 1_{A}d\mu =\mu (A)}.

Aceasta se extinde prin liniaritate la ofuncție simplă măsurabilăs, care poate lua un număr finitn, de valori distincte nenegative:

∫sdμ=∫(∑i=1nai1Ai)dμ=∑i=1nai∫1Aidμ=∑i=1naiμ(Ai){\displaystyle {\begin{aligned}\int s\,d\mu &{}=\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)d\mu \\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\,d\mu \\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})\end{aligned}}}

(unde imaginea luiAi sub funcția simplăs este o valoare constantăai). Astfel dacăE este o mulțime măsurabilă, se definește

∫Esdμ=∑i=1naiμ(Ai∩E).{\displaystyle \int _{E}s\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i}\cap E).}

Apoi pentru oricefuncție măsurabilă nenegativăf se definește

∫Efdμ=sup{∫Esdμ:0≤s≤f si s este o functie simpla};{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{E}s\,d\mu \,\colon 0\leq s\leq f{\text{ si }}s{\text{ este o functie simpla}}\right\};}

adică, integrala luif estesupremum al tuturor integralelor de funcții simple mai mici sau egale cuf.O funcție măsurabilă generalăf, este împărțită între valorile sale pozitive și negative definind

f+(x)={f(x),pentru f(x)>00,altfelf−(x)={−f(x),pentru f(x)<00,altfel{\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&{}={\begin{cases}f(x),&{\text{pentru }}f(x)>0\\0,&{\text{altfel}}\end{cases}}\\f^{-}(x)&{}={\begin{cases}-f(x),&{\text{pentru }}f(x)<0\\0,&{\text{altfel}}\end{cases}}\end{aligned}}}

În final,f este integrabilă Lebesgue dacă

∫E|f|dμ<∞,{\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\infty ,\,\!}

și integrala este definită de

∫Efdμ=∫Ef+dμ−∫Ef−dμ.{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu .\,\!}

Dacă spațiul pe care sunt definite funcțiile estespațiu topologiclocal compact (ca în cazul numerelor realeR{\displaystyle \mathbb {R} }), pot fi definite diferit măsuri compatibile cu topologia (Măsuri Radon, din care face parte și măsura Lebesgue) și integrale în raport cu acestea, începând de la integralele defuncții continue cusuport compact. Mai exact, funcțiile cu suport compact formează unspațiu vectorial cu o topologie naturală, și se poate defini o măsură Radon caorice funcțională liniară continuă pe acest spațiu; valoarea unei măsuri la o funcție cu suport compact este prin definiție integrala funcției. Apoi se extinde măsura (și deci integrala) l aunele funcții mai generale prin continuitate, și se definește măsura unei mulțimi ca integrala funcției sale indicator. Aceasta este o abordare folosită de unii autori[5].

Alte integrale

[modificare |modificare sursă]

Deși integralele Riemann și Lebesgue sunt cele mai importante definiții ale integralei, există și altele, printre care:

Proprietăți ale integralelor

[modificare |modificare sursă]

Liniaritatea

[modificare |modificare sursă]
  • Mulțimea de funcții integrabile Riemann pe un interval închis [a,b] formează unspațiu vectorial împreună cu operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar, și operația de integrare
f↦∫abfdx{\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}fdx}
este ofuncțională liniară pe acest spațiu vectorial. Astfel, în primul rând, mulțimea funcțiilor integrabile este închisă în raport cucombinația liniară; și, în al doilea rând, integrala unei combinatii liniare este combinația liniară a integralelor,
∫ab(αf+βg)(x)dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}
  • Similar, mulțimea funcțiilor integrabile Lebesgue cu valorireale pe un spațiuE cu măsuraμ este închis în raport cu combinația liniară și astfel formează un spațiu vectorial. Integrala Lebesgue
f↦∫Efdμ{\displaystyle f\mapsto \int _{E}fd\mu }
este o funcțională liniară pe acest spațiu, astfel încât
∫E(αf+βg)dμ=α∫Efdμ+β∫Egdμ.{\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}
  • Mai general, se consideră spațiul vectorial al tuturorfuncțiilor măsurabile pe un spațiu cu măsură (E,μ), cu valori într-un spațiu vectorial topologiccompletlocal compactV peste ungrup topologiclocal compactK,f :E →V. Atunci se poate defini o funcție de integrare abstractă care atașează fiecărei funcțiif un element dinV sau simbolul∞,
f↦∫Efdμ,{\displaystyle f\mapsto \int _{E}fd\mu ,\,}
compatibilă cu combinațiile liniare. În această situație liniaritatea se menține pentru subspațiul funcțiilor a căror integrală este un element dinV (adică este "finită"). Cele mai importante cazuri speciale apar atunci cândK esteR{\displaystyle \mathbb {R} },C{\displaystyle C}, sau o extensie finită a grupuluiQp{\displaystyle Q_{p}} al numerelorp-adice, iarV este un spațiu vectorial de dimensiune finită pesteK, iar cândK=C{\displaystyle K=C} iarV este unspațiu Hilbert complex.

Liniaritatea, împreună cu unele proprietăți naturale de continuitate și normalizare pentru o anume clasă de funcții "simple", se poate folosi pentru a da o definiție alternativă a integralei. Aceasta este abordarea luiDaniell pentru cazul functiilor cu valori reale pe o mulțimeX, generalizate deBourbaki la funcții cu valori într-un spațiu vectorial topologic local compact.[6]

Inegalitatea integralelor

[modificare |modificare sursă]

Sunt valabile mai multe inegalități generale pentrufuncții integrabile Riemann, definite pe unintervalînchis șimărginit [a,b]. Acestea pot fi generalizate și pentru alte feluri de integrală (cum ar fi integralele Lebesgue și Daniell).

  • Limita superioară și inferioară. O funcție integrabilăf pe [a,b], este în mod necesarmărginită pe acel interval. De aceea existănumere realem șiM astfel încâtm ≤f (x) ≤M pentru oricex din [a,b]. Deoarece suma inferioară și cea superioară ale luif peste [a,b] sunt mărginite, respectiv, dem(b −a) șiM(b −a), rezultă că
m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).{\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}
  • Inegalitățile între funcții. Dacăf(x) ≤g(x) pentru oricex din [a,b] atunci limita superioară și cea inferioară ale luif sunt mărginite superior de suma superioară, respectiv inferioară ale luig. Deci
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}
Aceasta este o generalizare a inegalităților de mai sus, cândM(b −a) este integrala funcției constante cu valoareaM pe [a,b].
  • Subintervale. Dacă [c,d] este un subinterval al lui [a,b] șif(x) este nenegativă pentru oricex, atunci
∫cdf(x)dx≤∫abf(x)dx.{\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
  • Produsul și modulul funcțiilor. Dacăf șig sunt două funcții atunci se pot considera functia produs a celor două funcții, funcția putere a unei funcții și valoarea absolută:
(fg)(x)=f(x)g(x),f2(x)=(f(x))2,|f|(x)=|f(x)|.{\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.\,}
Dacăf este integrabilă Riemann pe [a,b] atunci aceasta este adevărat și pentru |f|, și
|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}
Mai mult, dacăf șig sunt ambele integrabile Riemann, atuncif2,g2, șifg sunt și ele integrabile Riemann, și
(∫ab(fg)(x)dx)2≤(∫abf(x)2dx)(∫abg(x)2dx).{\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}
Această inegalitate, cunoscută sub numele deinegalitatea Cauchy–Schwarz, joacă un rol important în teoriaspațiilor Hilbert, unde partea din stânga este interpretată caprodus scalar a două funcții integrabile la pătratf șig pe intervalul [a,b].
  • Inegalitatea lui Hölder. Se presupune căp șiq sunt două numere reale, 1 ≤p,q ≤ ∞ cu 1/p + 1/q = 1, șif șig sunt două funcții integrabile Riemann. Atunci funcțiile |f|p și |g|q sunt integrabile și este valabilă următoareainegalitate a lui Hölder:
|∫f(x)g(x)dx|≤(∫|f(x)|pdx)1/p(∫|g(x)|qdx)1/q.{\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}
Pentrup =q = 2, inegalitatea lui Hölder devine inegalitatea Cauchy–Schwarz.
  • Inegalitatea Minkowski. Se presupune căp ≥ 1 este un număr real șif șig sunt funcții integrabile Riemann. Atunci |f|p, |g|p and |f +g|p sunt de asemenea integrabile Riemann și este valabilă următoareainegalitate Minkowski:
(∫|f(x)+g(x)|pdx)1/p≤(∫|f(x)|pdx)1/p+(∫|g(x)|pdx)1/p.{\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}

Convenții

[modificare |modificare sursă]

Fief ofuncție cu valorireale integrabilă Riemann. Integrala

∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}

pe un interval [a,b] este definită dacăa <b. Aceasta înseamnă că sumele inferioară și superioară ale funcțieif sunt evaluate pe o partițiea =x0 ≤x1 ≤ . . . ≤xn =b cu valorilexi crescătoare. Geometric, aceasta înseamnă că integrarea are loc „de la stânga la dreapta”, evaluândf pe intervale [x i ,x i +1] unde un interval cu indice mai mare se află la dreapta intervalelor cu ordine mai mici. Valorilea șib, capeteleintervalului, se numesc limitele de integrare ale luif. Integralele pot fi definite și dacăa >b:

  • Inversarea limitelor de integrare. Dacăa >b atunci se definește
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}

Aceasta, dacăa =b, înseamnă:

  • Integrale pe intervale de lungime zero. Dacăa este unnumăr real atunci
∫aaf(x)dx=0.{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}

Prima convenție este necesară dacă se consideră integralele pe subintervale ale lui [a,b]; cea de-a doua spune că o integrală pe un intervaldegenerat, sau unpunct, trebuie să fiezero. Un motiv pentru prima convenție este că integrabilitatea luif e un interval [a,b] înseamnă căf este integrabilă pe orice subinterval [c,d], dar în particular integralele au proprietatea:

  • Aditivitatea integrării pe intervale. Dacăc este oriceelement al intervalului [a,b], atunci
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}

Cu prima convenție, integrala rezultată

∫acf(x)dx=∫abf(x)dx−∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}

estebine definită pentru oricepermutare circulară a luia,b, șic.

În loc de a privi cele de mai sus drept convenții, se poate adopta și punctul de vedere că integrarea este efectuată doar pevarietățiorientate. DacăM este o astfel de varietatem-dimensională orientată, șiM' este aceeași varietate cu orientare opusă șiω este om-formă, atunci există:

∫Mω=−∫M′ω.{\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}

Teorema fundamentală a calculului integral

[modificare |modificare sursă]
Articol principal:Teorema fundamentală a calculului integral

Teorema fundamentală a calculului integral este afirmația căderivarea și integrarea sunt operații inverse: dacă ofuncție continuă este întâi integrată și apoi derivată, se obține funcția originală. O consecință importantă, uneori numităa doua teoremă fundamentală a calculului integral, permite calculul integralelor folosind oprimitivă a funcției de integrat.

Enunțul teoremelor

[modificare |modificare sursă]
  • Teorema fundamentală a calculului integral. Fief ofuncție cu valorireale integrabilă definită pe uninterval închis [a,b]. DacăF este definită pentrux din [a,b] de
F(x)=∫axf(t)dt.{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}
atunciF estecontinuă pe [a,b]. Dacăf este continuă înx din [a,b], atunciF estederivabilă înx, șiF ′(x) =f(x).
  • A doua teoremă fundamentală a calculului integral. Fief o funcție integrabilă cu valori reale definită pe un interval închis [a,b]. DacăF este o funcție astfel încâtF ′(x) =f(x) pentru oricex din [a,b] (adicăF este oprimitivă a luif), atunci
∫abf(t)dt=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}
  • Corolar. Dacăf este o funcție continuă pe [a,b], atuncif este integrabilă pe [a,b], șiF, definită ca
F(x)=∫axf(t)dt{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}
este o primitivă a luif pe [a,b]. Mai mult,
∫abf(t)dt=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}

Metode și aplicații

[modificare |modificare sursă]

Calculul integralelor

[modificare |modificare sursă]

Cea mai simplă tehnică de calcul a integralelor de o singură variabilă reală este cea bazată peteorema fundamentală a calculului integral:

  1. Se alege o funcțief(x) și un interval [a,b].
  2. Se găsește o primitiva a luif, adică o funcțieF astfel încâtF' =f.
  3. Conform teoremei fundamentale, dacă integrandul și integrala nu ausingularități pe calea de integrare,
    ∫abf(x)dx=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}
  4. Deci valoarea integralei esteF(b) −F(a).

Se observă că integrala nu este chiar primitiva, ci teorema fundamentală permite folosirea primitivelor la evaluarea integralelor definite.

Pasul cel mai dificil este adesea găsirea unei primitive a luif. Rareori este posibilă găsirea a unei funcții cu proprietatea că scrierea unei primitive a ei este imediată. Deseori, este nevoie să se folosească una din multiplele tehnici dezvoltate pentru calculul integralei. Majoritatea acestor tehnici rescriu o integrală sub o altă formă care este mai ușor de rezolvat. Printre aceste tehnici se numără:

Chiar dacă aceste tehnici nu sunt folosibile, o integrală dată se poate totuși evalua. O altă tehnică des întâlnită esteanaliza reziduurilor, în timp ceseriile Taylor pot fi uneori folosite pentru a găsi o primitivă. Există și multe modalități mai puțin obișnuite de calcul a unor integrale; de exemplu, se poate folosiidentitatea lui Parseval pentru a transforma o integrală pe o regiune dreptunghiulară într-o sumă infinită.

Calculul volumelorcorpurilor de rotație poate fi efectuat folosindintegrala pe disc.

Algoritmi simbolici

[modificare |modificare sursă]

Multe probleme din matematică, fizică și inginerie implică rezolvarea unor integrale unde este de dorit o formulă explicită pentru integrală. În acest scop, de-a lungul anilor, au fost construite și publicate tabele de integrale. Datorită răspândiriicalculatoarelor, mulți profesioniști, profesori și studenți au apelat la software-uri specializate, proiectate pentru a efectua calcule dificile, inclusiv integrale. Integrarea simbolică prezintă o problemă specială în dezvoltarea acestor sisteme.

O dificultate matematică majoră în integrarea simbolică este aceea că, în multe cazuri, pur și simplu nu există o formulă închisă pentru primitivele unei funcții, chiar dacă acea funcție are o expresie simplă. De exemplu, se știe că primitivele funcțieiexp (x2),xx și sin x /x nu pot fi exprimate într-o formă închisă care implică doar funcțiiraționale,exponențiale,logaritmice,trigonometrice și trigonometrice inverse, și operațiile de înmulțire și compunere; cu alte cuvinte, niciuna dintre cele trei funcții date nu are primitive care se pot exprima prin funcții elementare.Teoria diferențială Galois furnizează criterii generale care permit să se determine dacă primitiva unei funcții elementare este funcție elementară. Din nefericire, aceasta arată că primitivele cu expresii închise sunt excepția de la regula generală. În consecință, sistemele algebrice computerizate nu au nicio speranță să găsească primitiva unei funcții elementare construită aleator. Din fericire însă, dacă „elementele componente” ale primitivelor sunt fixate dinainte, poate fi posibil să se decidă dacă primitivele unei funcții date pot fi exprimate folosind aceste elemente și operațiile de înmulțire și compunere, și să se găsească soluția simbolică atunci când ea există.Algoritmul Risch, implementat în sistemele algebriceMathematica șiMaple, face exact aceasta pentru funcții și primitive construite din funcții raționale,radicali, logaritmi, și funcții exponențiale.

Unii integranzi apar suficient de des încât să impună studiu separat. În particular, poate fi utilă prezența, în mulțimea de primitive, a unor funcții speciale din fizică (cum ar fifuncțiile Legendre,funcțiile hipergeometrice,funcția Gamma). Extinderea algoritmului Risch-Norman pentru a include și aceste funcții este posibilă, dar dificilă.

Integrarea numerică

[modificare |modificare sursă]

Integralele întâlnite într-un curs de inițiere în analiza matematică sunt alese intenționat pentru simplitatea lor; cele găsite în aplicațiile reale sunt adesea mult mai complicate. Unele integrale nu pot fi calculate exact, altele necesită funcții speciale care sunt ele însele dificil de calculat, iar altele sunt atât de complicate încât găsirea răspunsului exact durează prea mult. Aceasta a motivat studiul și aplicarea metodelor numerice de aproximare a integralelor, care astăzi folosescaritmetica în virgulă mobilă de pecalculatoarele electronice numerice. Multe dintre aceste idei au apărut mult mai devreme, pentru calculul de mână; dar viteza calculatoarelor de uz general, cum ar fiENIAC, a creat nevoia de îmbunătățiri.

Scopurile integrării numerice sunt precizia, fiabilitatea, eficiența, și generalitatea. metodele sofisticate pot depăși o metodă naivă după toate cele patru măsuri.[7][8][9] Fie, de exemplu, integrala

∫−2215(1100(322+3x(98+x(37+x)))−24x1+x2)dx,{\displaystyle \int _{-2}^{2}{\tfrac {1}{5}}\left({\tfrac {1}{100}}(322+3x(98+x(37+x)))-24{\frac {x}{1+x^{2}}}\right)dx,}

a cărei soluție exactă este9425=3.76{\displaystyle {\frac {94}{25}}\,=\,3.76}. (În practica obișnuită rezultatul nu este cunoscut dinainte, deci o problemă importantă — neexplorată aici — este găsirea momentului când o aproximație este suficient de bună.) O abordare este împărțirea domeniului de integrare, de exemplu, în 16 părți egale, și calculul unor valori ale funcțiilor reprezentative pentru fiecare interval.

Spațierea valorilor funcțiilor
x−2.00−1.50−1.00−0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
f(x) 2.22800 2.45663 2.67200 2.32475 0.64400−0.92575−0.94000−0.16963 0.83600
x −1.75−1.25−0.75−0.25 0.25 0.75 1.25 1.75
f(x) 2.33041 2.58562 2.62934 1.64019−0.32444−1.09159−0.60387 0.31734
Metodele de integrare numerică:■ a dreptunghiului,■ a trapezului,■ Romberg,■ Gauss

Utilizând extremitatea stângă a fiecărei componente,metoda dreptunghiului însumează 16 valori ale funcției și le înmulțește cu lățimea pasului,h, aici 0,25, pentru a obține valoarea aproximativă 3,94325 pentru integrală. Precizia nu este impresionantă, dar în analiza matematică se folosesc componente de lățime infinitezimală, deci inițial aceasta a părut a fi o problemă mică. Într-adevăr, dublarea repetată a numărului de pași conduce în cele din urmă la o aproximare de 3,76001. Pentru aceasta este însă nevoie de 218 componente, cu un cost computațional mare pentru această precizie redusă; urmărirea unei precizii mai mari poate face pașii atât de mici încât precizia să ajungă să fie limitată de precizia reprezentării în virgulă mobilă.

O abordare mai bună este înlocuirea aproximării funcției cu linii orizontale (de pe partea de sus a dreptunghiului) cu aproximația cu drepte înclinate care unesc valorile funcției la cele două capete ale intervalelor. Funcția de integrat este astfel aproximată pe fiecare interval cu o funcție polinomială de gradul 1, în metoda dreptunghiului ea fiind aproximată cu o funcție polinomială de gradul 0 (o constantă). Integrala prinmetoda trapezului este aproape la fel de ușor de calculat ca și prin cea a dreptunghiului; se însumează toate cele 17 valori de la capete, prima și ultima valoare fiind împărțite la doi, și înmulțește totul cu lățimea pasului. Aproximarea integralei este imediat îmbunătățită la 3,76925, evident mai precis. Mai mult, pentru a obține valoarea 3,76000 sunt necesare 210 componente, necesitând substanțial mai puțin efort computațional decât metoda dreptunghiului.

Metoda lui Romberg elaborează cu succes metoda dreptunghiului. Întâi, lungimile pașilor sunt reduse incremental, dând trapeze de aproximare notate cuT(h0),T(h1), și așa mai departe, undehk+1 este jumătate dinhk. Pentru fiecare nou pas, trebuie să fie calculate jumătate din noile valori ale funcției folosite în calcul; celelalte sunt aceleași ca la pasul anterior (după cum se vede în tabelul de mai sus). Dar ideea cu adevărat puternică esteinterpolarea unuipolinom prin aproximare, și extrapolarea laT(0). Cu această metodă, o soluție cu eroare mică necesită doar patru componente (cinci valori ale funcției).Polinomul Lagrange de interpolare {hk,T(hk)}k=0…2 = {(4.00;6,128), (2,00;4,352), (1,00;3.908)} este 3,76+0,148h2, dând valoarea extrapolată 3,76 înh = 0.

Cvadratura gaussiană necesită adesea un efort de calcul considerabil mai mic pentru o precizie superioară. În acest exemplu, se pot calcula valorile funcției în doar două punctex, ±2⁄√3, apoi se dublează fiecare valoare și se însumează pentru a obține răspunsul numeric exact. Explicația pentru acest succes constă în analiza erorilor și în puțin noroc. O metodă gaussiană înn puncte este exactă pentru polinoame degrad până la 2n−1. Funcția din acest exemplu este un polinom de gradul 3, plus un termen care se anulează deoarece capetele alese sunt simetrice în jurul lui zero.

Deplasând intervalul de integrare spre stânga puțin, încât să fie de la −2,25 la 1,75, simetria dispare. Totuși, metoda trapezului este destul de lentă, metoda cu interpolare polinomială a lui Romberg este acceptabilă, iar cea gaussiană necesită cel mai mic volum de calcule dacă numărul de puncte este cunoscut în avans. De asemenea, interpolarea rațională poate folosi aceleași evaluări ca și metoda Romberg pentru a obține efecte mai bune.

Comparație a eficienței metodelor de cvadratură
MetodaTrapezuluiRombergRaționalăGauss
Puncte104857725712936
Eroare rel.−5.3×10−13−6.3×10−158.8×10−153.1×10−15
Valoare∫−2.251.75f(x)dx=4.1639019006585897075…{\displaystyle \textstyle \int _{-2.25}^{1.75}f(x)\,dx=4.1639019006585897075\ldots }

În practică, fiecare metodă trebuie să efectueze evaluări suplimentare pentru a calcula eroarea; aceasta tinde să elimine o parte din avantajele metodei gaussiene pure, și motivează folosirea metodei hibride Gauss–Kronrod. Simetria poate să fie exploatată și în această metodă împărțind această integrală în două intervale, de la −2,25 la −1,75 (fără simetrie), și de la −1,75 la 1,75 (simetric). În general, cvadratura adaptivă împarte un interval pe baza proprietăților funcției, astfel încât punctele de eșantionare sunt concentrate acolo unde este nevoie de ele.

Pentru integrale de dimensiuni superioare (duble sau triple), există algoritmi alternativi, cum ar fiintegrarea Monte Carlo.

Vezi și

[modificare |modificare sursă]

Note

[modificare |modificare sursă]
  1. ^Nicolae N. Mihăileanu,Istoria matematicii, volumul II, p. 220
  2. ^Acesta este un exemplu al regulii generale acela pentruf(x) =xq, cuq ≠ −1, funcția numităprimitivă esteF(x) = (xq+1)/(q+1).
  3. ^Rudin, 1987
  4. ^Folland, 1984, p. 56
  5. ^Bourbaki, 2004
  6. ^Hildebrandt, 1953
  7. ^Dahlquist, Björck
  8. ^Kahaner, Moler, Nash, 1989
  9. ^Stoer, Bulirsch, 2002

Bibliografie

[modificare |modificare sursă]
Portal iconPortal Matematică
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrală&oldid=17099565
Categorie:
Categorie ascunsă:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp