Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Distanță euclidiană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de laDistanța euclidiană)

Înmatematică,distanța euclidiană saumetrica euclidiană este distanța „obișnuită” între douăpuncte, dată încoordonate carteziene deformula lui Pitagora. Utilizând această formulă ca distanță într-unspațiu euclidian, acest spațiu (ca și orice alt spațiu cuprodus scalar) devinespațiu metric.Norma asociată acestui spațiu metric se numește normă euclidiană.

Definiție

[modificare |modificare sursă]

Distanța euclidiană între două puncte P și Q cu vectorii pozițiep șiq este lungimeasegmentului dedreaptă care le unește, (pq¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}).

p șiq suntvectori euclidieni, pornind din originea sistemului cartezian al spațiului, și cu vârful indicând cele două puncte.

Încoordonate carteziene, pentrup = (p1, p2,..., pn) șiq = (q1, q2,..., qn) vectori poziție într-unspațiu euclidiann-dimensional distanța de lap laq, sau de laq lap este dată de:

d(p,q)=d(q,p)=(q1−p1)2+(q2−p2)2+⋯+(qn−pn)2=∑i=1n(qi−pi)2.{\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\mathrm {d} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}.} (1)

Norma euclidiană a unui vector exprimă lungimea vectorului:

‖p‖=p12+p22+⋯+pn2=p⋅p{\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}

unde ultimaecuație implicăprodusul scalar.

Un vector poziție poate fi descris ca fiind un segment de dreaptă ce leagă originea spațiului euclidian cu un punct din acel spațiu. Dacă se consideră că lungimea acestui segment este de fapt distanța dintre puncte, devine evident că norma euclidiană a unui vector este doar un caz particular de distanță euclidiană: distanța euclidiană între origine și punct.

Distanța întrep șiq poate avea direcție (de ex., de lap laq), și deci poate fi și ea reprezentată printr-un vector diferență, dat de expresia

q−p=(q1−p1,q2−p2,⋯,qn−pn){\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})}

Într-unspațiu tridimensional (n=3), aceasta este o săgeată de lap laq, care poate fi privită ca fiind poziția luiq relativ lap.

Distanța euclidiană întrep șiq este doar norma euclidiană a acestui vector-distanță:

‖q−p‖=(q−p)⋅(q−p).{\displaystyle \|\mathbf {q} -\mathbf {p} \|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}.} (2)

echivalent cu:

‖q−p‖=‖p‖2+‖q‖2−2p⋅q.{\displaystyle \|\mathbf {q} -\mathbf {p} \|={\sqrt {\|\mathbf {p} \|^{2}+\|\mathbf {q} \|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.}

Cazul unidimensional

[modificare |modificare sursă]

Înspațiul unidimensional distanța între două puncte pedreapta reală estevaloarea absolută a diferenței lor. Astfel, dacăx șiy sunt două puncte pe dreapta reală, distanța între ele este dată de:

(x−y)2=|x−y|.{\displaystyle {\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.}

Într-o singură dimensiune, există o singură metrică omogenă, invariantă la translație (cu alte cuvinte, o distanță indusă de normă), și anume distanța euclidiană. În mai multe dimensiuni, sunt posibile și alte norme.

Două dimensiuni

[modificare |modificare sursă]

În planul euclidian, dacăp = (p1, p2) șiq = (q1, q2) atunci distanța este dată de

d(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2.{\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}

Altfel, rezultă din ecuația 2 (2) că dacăcoordonatele polare ale punctuluip sunt (r1, θ1) iar cele ale luiq sunt (r2, θ2), atunci distanța este

d(p,q)=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2).{\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}

Trei dimensiuni

[modificare |modificare sursă]

În spațiul euclidian tridimensional, distanța este

d(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2+(p3−q3)2.{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}

În N dimensiuni

[modificare |modificare sursă]

În general, pentru un spațiu cu N dimensiuni, distanța este:

d(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2+...+(pi−qi)2+...+(pn−qn)2.{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{i}-q_{i})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}

Distanța euclidiană la pătrat

[modificare |modificare sursă]

Distanța euclidiană standard se poate ridica la pătrat pentru a da pondere mai mare obiectelor aflate la distanță mai mare. În acest caz, ecuația de definiție a distanței devine

d(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2+...+(pi−qi)2+...+(pn−qn)2.{\displaystyle d(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{i}-q_{i})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}.}

Aceasta nu este o metrică, deoarece nu satisfaceinegalitatea triunghiului, dar este utilizată adesea în probleme deoptimizare în care distanțele trebuie doar comparate, valorile lor numerice nefiind importante.

Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Distanță_euclidiană&oldid=17217956
Categorii:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp