Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Derivată

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În fiecare punct, derivata funcțieif(x)=1+xsin⁡x2{\displaystyle \scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}} estepanta (înclinarea)dreptei care estetangentă lacurbă. Dreapta care se mișcă este tangenta instantanee lacurbă în orice moment; este colorată înverde dacă este pozitivă, înnegru dacă estezero, respectiv înroșu, dacă este negativă.

Înmatematică,derivata uneifuncții este unul dintre conceptele fundamentale aleanalizei matematice, împreună cuprimitiva (inversa derivatei, adică integrala).

Derivata unei funcții într-unpunct semnifică rata cu care se modificăvaloarea funcției atunci când se modificăargumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noțiunii derată de variație. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne lagraficul bidimensional al funcțieif, derivata într-un punctx reprezintăpantatangentei la grafic în punctulx. Panta tangentei se poate aproxima printr-osecantă. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul căderivatele pot fi folosite pentru a descrie multe proprietăți geometrice ale graficelor de funcții, cum ar ficoncavitatea șiconvexitatea.

Trebuie menționat că nu toate funcțiile admit derivate. De exemplu, funcțiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele dediscontinuitate și înpunctele de întoarcere.

Disputa Leibnitz–Newton

[modificare |modificare sursă]

Calculul diferențial și cel integral au fost inventate practic simultan, dar independent unul de celălalt, de către englezulIsaac Newton (1643–1727), respectiv de către matematicianul germanGottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716).

Se poate menționa, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, că lumea științifică a momentului respectiv (1685-1690) asista, aproape „cu sufletul la gură”, timp de câțiva ani buni, la un dialog deschis și permanent al celor doi titani, Leibnitz și Newton. Doar după ce cei doi oameni de știință au ajuns la înțelegerea abordării conceptelor și noțiunilor din ambele puncte de vedere (al fizicianului și al matematicianului), după ce s-au pus de acord cu noțiunile preliminare, limitele și metodologia deabordare a conceptelor etc., cei doi au putut explica și restului lumii științifice despre ce este vorba.

Derivată și derivabilitate

[modificare |modificare sursă]

Derivata a apărut din necesitatea de a exprima rata cu care se modifică (variază) o cantitatey ca urmare a modificării (variației) unei alte cantitățix de care este legată printr-o funcție. Folosind simbolul Δ pentru a nota modificarea (variația) unei cantități, această rată se definește calimita raportului variațiilor (diferențelor):

ΔyΔx{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

pe măsură ce Δx tinde spre 0 sau altfel exprimat Δx e învecinătatea lui 0. În notația luiLeibniz, derivata luiy în raport cux se scrie

dydx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}

sugerândraportul a două diferențe numerice (cantități)infinitezimale (învecinătatea lui 0). Expresia de mai sus se poate pronunța fie "dy supra dx", fie "dy la dx".

În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantitățile care variază; derivata este considerată o operație matematică asupra funcțiilor. Definiția formală a acestei operații (care nu mai face uz de noțiunea de cantitățiinfinitezimale) este dată de limita cândh tinde la 0 (e învecinătatea lui 0) a următoarei expresii:

f(x+h)−f(x)h.{\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}

Funcții derivabile

[modificare |modificare sursă]

O funcțief(x){\displaystyle f(x)} estederivabilă într-un punctx0{\displaystyle x_{0}} dacă:

∃limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=L{\displaystyle \exists \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=L} șiL∈R{\displaystyle L\in \mathbb {R} }

DacăL∈{−∞,+∞}{\displaystyle L\in \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace } atunci spunem căf{\displaystyle f} are derivată dar nu este derivabilă

Relația dintre continuitate și derivabilitate

[modificare |modificare sursă]

Fief:D⊆R→R,x0∈D∩D′{\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x_{0}\in D\cap D\prime } undeD′{\displaystyle D\prime } este mulțimeapunctelor de acumulare. Atunci:

f{\displaystyle f} derivabilă înx0⇒f{\displaystyle x_{0}\Rightarrow f} continuă înx0{\displaystyle x_{0}}, dar :f{\displaystyle f} poate ficontinuă și nederivabilă (conversa afirmației este falsă)

Derivarea funcțiilor obținute prin operații algebrice elementare

[modificare |modificare sursă]

Fief,g:R→R,f{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f} șig{\displaystyle g} funcții derivabile pe domeniul lor de definiție. Atunci:

f′+g′=(f+g)′{\displaystyle f'+g'=(f+g)'} ;
(λf)′=λf′ ,λ∈R{\displaystyle (\lambda f)'=\lambda f'\ ,\,\lambda \in \mathbb {R} } ;
(fg)′=f′g+fg′{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'} ;
(fg)′=f′g−fg′g2,g(x)≠0{\displaystyle {\biggl (}{\frac {f}{g}}{\biggr )}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}},\quad g(x)\neq 0}.
((g∘f)(x))′=(g(f(x))′=g′(f(x))⋅f′(x){\displaystyle ((g\circ f)(x))'=(g(f(x))'=g'(f(x))\cdot f'(x)}

Acesteegalități se pot demonstra pornind de la definiția derivatei.

Derivatele unor funcții elementare

[modificare |modificare sursă]
  • Putere:
f(x)=xr{\displaystyle f(x)=x^{r}}

under este numărreal, atunci:

f′(x)=rxr−1{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}

oriunde derivata estebine definită.

ddxax=axln(a){\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}ln(a)}
ddxlogax=1x ln(a){\displaystyle {d \over dx}log_{a}x={1 \over x\ ln(a)}}
ddxsin(x)=cos(x){\displaystyle {d \over dx}sin(x)=cos(x)}
ddxcos(x)=−sin(x){\displaystyle {d \over dx}cos(x)=-sin(x)}
ddxtan(x)=1cos2(x){\displaystyle {d \over dx}tan(x)={1 \over cos^{2}(x)}}
ddxcot(x)=−1sin2(x){\displaystyle {d \over dx}cot(x)=-{1 \over sin^{2}(x)}}
ddxsinh(x)=cosh(x){\displaystyle {d \over dx}sinh(x)=cosh(x)}
ddxcosh(x)=sinh(x){\displaystyle {d \over dx}cosh(x)=sinh(x)}
ddxtanh(x)=sech2(x){\displaystyle {d \over dx}tanh(x)=sech^{2}(x)}
  • Funcții trigonometrice inverse:
ddxarcsin(x)=11−x2{\displaystyle {d \over dx}arcsin(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
ddxarccos(x)=−11−x2{\displaystyle {d \over dx}arccos(x)=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
ddxarctan(x)=11+x2{\displaystyle {d \over dx}arctan(x)={1 \over 1+x^{2}}}
ddxarccot(x)=−11+x2{\displaystyle {d \over dx}arccot(x)=-{1 \over 1+x^{2}}}
ddxarcsinh(x)=1x2+1{\displaystyle {d \over dx}arcsinh(x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
ddxarccosh(x)=1x2−1{\displaystyle {d \over dx}arccosh(x)={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
ddxarctanh(x)=11−x2{\displaystyle {d \over dx}arctanh(x)={1 \over 1-x^{2}}}
ddxarccoth(x)=11−x2{\displaystyle {d \over dx}arccoth(x)={1 \over 1-x^{2}}}
Valabile pentru domeniile corespunzătoare de definiție.

Notații

[modificare |modificare sursă]

Dacăf este o funcție, derivata funcțieif în punctulx se poate nota (simboliza) în mai multe moduri:

pronunțat "fprim de x";

pronunțat "d pe d x din f de x";

pronunțat "d f pe d x"

pronunțat "d indice x de f".

Bibliografie

[modificare |modificare sursă]
  • Gh. Sirețchi,Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.
  • Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (),Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (ed. 8th), New York: Wiley,ISBN 978-0-471-47244-5 
  • Apostol, Tom M. (iunie 1967),Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra,1 (ed. 2nd), Wiley,ISBN 978-0-471-00005-1 
  • Apostol, Tom M. (iunie 1969),Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications,1 (ed. 2nd), Wiley,ISBN 978-0-471-00007-5 
  • Courant, Richard; John, Fritz (),Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag,ISBN 978-3-540-65058-4 
  • Eves, Howard (),An Introduction to the History of Mathematics (ed. 6th), Brooks Cole,ISBN 978-0-03-029558-4 
  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (),Calculus: Early Transcendental Functions (ed. 4th), Houghton Mifflin Company,ISBN 978-0-618-60624-5 
  • Spivak, Michael (septembrie 1994),Calculus (ed. 3rd), Publish or Perish,ISBN 978-0-914098-89-8 
  • Stewart, James (),Calculus (ed. 5th), Brooks Cole,ISBN 978-0-534-39339-7 
  • Thompson, Silvanus P. (),Calculus Made Easy (ed. Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press,ISBN 978-0-312-18548-0 

Vezi și

[modificare |modificare sursă]

Legături externe

[modificare |modificare sursă]
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivată&oldid=16716378
Categorii:
Categorie ascunsă:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp