Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Corp (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Acest articol se referă la ostructură algebrică. Pentru alte sensuri, vedețiCorp (dezambiguizare).
Acest articol sau această secțiune arebibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vedereasusținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

Înalgebră, uncorp se referă la omulțime pe care sunt definite nișteoperații binare numiteadunare,scădere,înmulțire șiîmpărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare penumerele reale (cu posibila excepție acomutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).

Conceptul de corp a fost dezvoltat însecolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluțiaecuaților polinomiale (cu ce a devenitteoria lui Galois),teoria algebrică a numerelor, șigeometria algebrică.[1] A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.

Definiție

[modificare |modificare sursă]

Se numeștecorp un triplet(K,+,∗){\displaystyle (K,+,*)} în careK{\displaystyle K} este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar+{\displaystyle +} și∗{\displaystyle *} sunt două operații peK{\displaystyle K} (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:

  1. (K,+){\displaystyle (K,+)} estegrup abelian cuelementul neutru notat cu0{\displaystyle 0}.
  2. (K∖{0},∗){\displaystyle (K\setminus \{0\},*)} estegrup cu elementul neutru notat cu1{\displaystyle 1}.
  3. „Înmulțirea” estedistributivă față de „adunare”, adică pentru oricex,y,z∈K{\displaystyle x,y,z\in K}:
x∗(y+z)=x∗y+x∗z{\displaystyle x*(y+z)=x*y+x*z}
(y+z)∗x=y∗x+z∗x{\displaystyle (y+z)*x=y*x+z*x}

Dacă, în plus, „înmulțirea” estecomutativă, atunci tripletul(K,+,∗){\displaystyle (K,+,*)} se numeștecorp comutativ.

Grupul(K,+){\displaystyle (K,+)} se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul(K∖{0},∗){\displaystyle (K\setminus \{0\},*)} se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Exemple

[modificare |modificare sursă]

MulțimeaQ{\displaystyle \mathbb {Q} } (respectivR{\displaystyle \mathbb {R} }) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numitcorpul numerelor raționale (respectivcorpul numerelor reale).

InelulZ/pZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } al claselor de resturi modulop este corp comutativ dacă și numai dacăp este unnumăr prim. Reciproc, oricecorp finit al cărui cardinalp este prim esteizomorf cuZ/pZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }.

Subcorp

[modificare |modificare sursă]

Definiție

[modificare |modificare sursă]

OsubmulțimeF{\displaystyle F} a unui corpK{\displaystyle K} se numeștesubcorp al luiK{\displaystyle K}, dacăoperațiile algebrice definite peK{\displaystyle K} induc peF{\displaystyle F} operații algebrice, împreună cu careF{\displaystyle F} este corp.

DacăF{\displaystyle F} este subcorp al luiK{\displaystyle K}, atunciK{\displaystyle K} se numeșteextindere a luiF{\displaystyle F} și se noteazăF⊆K{\displaystyle F\subseteq K} sauK⊇F{\displaystyle K\supseteq F}.

Caracterizare

[modificare |modificare sursă]

O submulțime nevidăF{\displaystyle F} a unui corpK{\displaystyle K} este un subcorp a luiK{\displaystyle K} dacă și numai dacă:

  1. x,y∈F⟹x+y∈F{\displaystyle x,y\in F\implies x+y\in F}
  2. x,y∈F⟹x∗y∈F{\displaystyle x,y\in F\implies x*y\in F}
  3. x∈F,x≠0⟹x−1∈F{\displaystyle x\in F,x\neq 0\implies x^{-1}\in F}

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția:∀x∈F,∃y∈F∖{0}:x∗y−1=1{\displaystyle \forall x\in F,\exists y\in F\setminus \{0\}:x*y^{-1}=1}.

Exemple de subcorpuri

[modificare |modificare sursă]
  1. FieK{\displaystyle K} un corp. AtunciK{\displaystyle K} este un subcorp al luiK{\displaystyle K}.
  2. Q{\displaystyle \mathbb {Q} } este un subcorp al luiR{\displaystyle \mathbb {R} }.
  3. FieQ(2)={a+b2|∀a,b∈Q}{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}\;|\;\forall a,b\in \mathbb {Q} \}}, înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. AvemQ⊂Q(2){\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} șiQ(2)⊂R{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {R} }.

Note

[modificare |modificare sursă]
  1. ^Kleiner (2007)

Bibliografie

[modificare |modificare sursă]

Vezi și

[modificare |modificare sursă]

Legături externe

[modificare |modificare sursă]
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Corp_(matematică)&oldid=15945185
Categorie:
Categorii ascunse:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp