Înmatematică,coordonatele omogene, introduse deAugust Ferdinand Möbius, permittransformări afine prin reprezentarea lor sub forma uneimatrici. Coordonatele omogene permit, de asemenea, efectuarea calculelor înspații proiective într-un mod similar cu cel în carecoordonatele carteziene o fac înspațiul euclidian.

Coordonatele omogene ale unui punct din spațiul proiectiv de dimensiunen sunt de obicei scrise ca (x: y: z: ...: w), unvector linie de lungime n + 1, altele decât (0: 0: 0: ... : 0). Două seturi de coordonate, care sunt proporționale denotă același punct din spațiul proiectiv: pentru orice non-zero c scalar din domeniu care stă la bazaK, (cx :cy :cz : ... :cw) reprezintă același punct. Prin urmare, acest sistem de coordonate poate fi explicat după cum urmează: în cazul în care spațiul proiectiv este construit dintr-un spațiu vectorial V de dimensiune n + 1, se introduc coordonatele înV, prin alegerea unei baze, și utilizarea acestora înP (V), clasele de echivalență proporționale non-zero vectori înV.

Există două feluri deînmulțire scalară: una pentru puncte neproiectate și alta pentru puncte proiectate.

Se consideră un scalara și un punct 3-D neproiectat (x : y : z). Atunci

${\displaystyle a(x:y:z)=(ax:ay:az).}$

Se observă că

${\displaystyle (x:y:z)\equiv a(x:y:z)}$

deși

${\displaystyle (x:y:z)\ne a(x:y:z).}$

Fie acum un scalara și un punct 3-D proiectat [x :y :z]. Atunci

${\displaystyle a[x:y:z]=[ax:ay:z]}$

astfel încât

${\displaystyle [x:y:z]\ne a[x:y:z].}$

Se observă totuși un caz special - dacă${\displaystyle a=z=0}$, formula de mai sus dă [0:0:0] ca rezultat, care după cum se știe nu reprezintă niciun punct. Într-adevăr,${\displaystyle 0\cdot \mathrm{\infty }}$ enedefinită, așa că nu este o imperfecțiune în definiție.

Fie o pereche de puncteA andB pe 3-spațiu proiectiv, a căror omogene coordonate sunt

${\displaystyle \mathbf{A}:[X_A:Y_A:Z_A:W_A],}$

${\displaystyle \mathbf{B}:[X_B:Y_B:Z_B:W_B].}$

Este de dorit a se găsi combinația liniară${\displaystyle a\mathbf{A}+b\mathbf{B}}$ undea șib sunt coeficienți ajustabili, cu condiția ca${\displaystyle a,b\ne 0}$, sau (mai exact) ca${\displaystyle a\mathbf{A},b\mathbf{B}\ne 0}$, pentru a evita punctele degenerate. Există trei cazuri de luat în considerare:

• ambele puncte aparțin 3-spațiilor afine,
• ambele puncte aparținplanului de la infinit,
• un punct este afin și celălalt este la infinit.

Coordonatele omogene sunt omniprezente în grafica digitală deoarece rezolvă problema reprezentăriitranslației și a proiecției ca operații matriciale.

Coordonatele omogene permit tuturortransformărilor afine să fie reprezentate prin operații matriciale. O translație in${\displaystyle {\mathbb{R}}^2:(x,y)\to (x+a,y+b)}$ poate fi reprezentată ca

unde vectorii coloană sunt coordonatele omogene ale celor două puncte. Toate transformările liniare carotație șireflexie față de origine pot fi si ele reprezentate prin matrici de forma

Mai mult toate transformările proiective pot fi reprezentate prin alte matrici. Această reprezentare simplifică calculul în grafica digitală deoarece toate transformările necesare pot fi efectuate prinînmulțirea matricilor. Ca rezultat, o serie de transformări afine pot fi combinate simplu prin înmulțirea succesivă a matricilor. Aceasta se realizează în sisteme grafice în timp real caOpenGL andDirectX care pot folosi plăci video moderne pentru efectuarea de operații cu coordonate omogene.

• Coordonate carteziene
• Coordonate cilindrice
• Coordonate polare
• Coordonate triliniare

Portal Matematică

• Algebră liniară
• Coordonate
• Geometrie proiectivă