Movatterモバイル変換

Sari la conținut

Conică

Modifică legăturile

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Reprezentare grafică 3D a generării conicelor:
A: Parabolă
B: Cerc și elipsă
C: Hiperbole

Înmatematică, oconică estecurba care se obține prin intersectarea unuiplan cu uncon (mai exact este vorba de suprafața unui con drept, circular).Forma acestei curbe poate să difere destul de mult în funcție de poziția planului față de axa conului, deci este vorba de fapt despre ofamilie de curbe, numite în mod obișnuit „conice”. Ele au fost studiate dinAntichitate, de exemplu deApollonius, în jurul anului 200 î.e.n.

Tipuri de conice

[modificare |modificare sursă]

În cazul în care se generează o curbă închisă, aceasta va fi oelipsă (sau, în cazul particular în care planul esteperpendicular pe axa conului, uncerc). Altfel, va apărea oparabolă (dacă planul este paralel cu generatoarea conului) sau ohiperbolă. În cazul hiperbolei apar de fapt două curbe deschise (uneori una dintre ele este ignorată). În general sunt ignorate de asemenea cazurile în care planul trece prin vârful conului, ori unghiul la vârf al conului este de 90 de grade.

Reprezentarea în coordonate carteziene

[modificare |modificare sursă]

Încoordonate carteziene, conicele sunt mulțimea punctelor care satisfac următoarea ecuație:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\;

.

Atunci:

dacă $B^{2}-4AC<0$ , ecuația reprezintă o elipsă (dacă are soluții, de exemplu $x^{2}+y^{2}+10=0$ nu are vreo soluție);
- dacă $A=C$ și $B=0$ , ecuația reprezintă un cerc;
dacă $B^{2}-4AC=0$ , o parabolă;
dacă $B^{2}-4AC>0$ , ecuația reprezintă o hiperbolă;
- dacă și $A+B=0$ , o hiperbolă dreaptă.

Notă: A și B sunt doar niște coeficiențipolinomiali, nu lungimile axelor geometrice ale curbelor.

Schimbând coordonatele se poate ajunge la ecuațiile binecunoscute ale acestor curbe (restricționate însă la fi simetrice față de una sau ambele axe ale sistemului de coordonate):

Cerc: $x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$
Elipsă: ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$
Parabolă: $y^{2}=4ax\,$
Hiperbolă: ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$

Scrise parametrizat, ecuațiile sunt:

Cerc: $(a\cos \theta ,a\sin \theta )\,$ ,
Elipsă: $(a\cos \theta ,b\sin \theta )\,$ ,
Parabolă: $(at^{2},2at)\,$ ,
Hiperbolă: $(a\sec \theta ,b{\mbox{ tg }}\theta )\,$ sau $(\pm a\cosh u,b\sinh u)\,$ .

Curbura și excentricitatea

[modificare |modificare sursă]

Conicele sunt curbe cu rază de curbură variabilă. Raza de curbură se exprimă funcție deunghiul la centru șiexcentricitate încoordonate polare relativ la reperul raportat la focar

\qquad r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos \theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R}

Parametrul focal p e redat în tabelul de mai jos:

secțiune conică	ecuație	excentricitate (e)	excentricitate lineară (c)	semi-latus rectum (ℓ)	parametru focal (p)
cerc	$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$r\,$	$\infty$
elipsă	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
parabolă	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	$a\,$	$2a\,$	$2a\,$
hiperbolă	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Vezi și

[modificare |modificare sursă]

Teorema lui Cramer (curbe algebrice)

Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Conică&oldid=15839498

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp