Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Sari la conținut
Wikipediaenciclopedia liberă
Căutare

Cerc

 Acest articol este semiprotejat pe termen nelimitat pentru a preveni vandalismul.
De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol sau această secțiune arebibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vedereasusținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
Pentru alte sensuri, vedețiCerc (dezambiguizare).
Elemente geometrice ale unui cerc:centrul este mov,raza roșie,diametrul albastru, iarcircumferința neagră.
Geometrie

Îngeometria euclidiană,cercul este mulțimea tuturor punctelor dinplan, egal depărtate de un punct fix numit centru. Distanța comună este denumită de obiceiraza cercului.

Cercurile suntcurbe simple închise, care separă astfel planul în două regiuni, interior și exterior.

Un cerc este un caz particular deelipsă, în care lungimile axelor sunt egale (și deci cele douăfocare se confundă). Astfel, cercurile sunt, ca și elipsele,conice; mai precis sunt secțiuni ale unuicon circular drept cu un plan perpendicular pe axa acestuia.

Definițiile elementelor unui cerc

  • Unarc de cerc este o porțiune dintr-un cerc delimitată de douăpuncte.
  • Undisc este regiunea planului delimitată de un cerc (aflată în interiorul acestuia).
  • Orază este unsegment de dreaptă care conectează centrul unui cerc cu orice punct de pe acesta. Lungimea acestuia se notează de obicei cu "r" sau "R".
  • Ocoardă este unsegment dedreaptă determinat de două puncte de pe cerc.
  • Undiametru este o coardă care trece prin centrul cercului. Diametrul este compus din două raze coliniare, lungimea sa fiind de 2R.
  • Osăgeată este un segment trasatperpendicular pe o coardă, situat între mijlocul corzii șicircumferința cercului.
  • Unsector de cerc este o parte a discului cuprins între două raze.
  • Unsegment de cerc este o regiune a discului delimitată de un arc de cerc și o coardă care au extremități comune.
  • Ununghi la centru este un unghi format de două raze ale cercului.

Calcule analitice

Aria discului de cerc

A=π⋅r2=π⋅d24{\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}}

undeA este aria cercului,r este raza cercului,d este diametrul cercului,π{\displaystyle \pi } esteo constantă matematică.

Circumferința cercului

c=πD=2π⋅r{\displaystyle c=\pi D=2\pi \cdot r}

Aria unui sector de cerc

Asect=π⋅r2⋅n360{\displaystyle A_{sect}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}}}

undeAsect este aria sectorului de cerc,r este raza cercului,n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat in grade, iarπ{\displaystyle \pi } esteo constantă matematică.

Lungimea unui arc de cerc

Larc=π⋅r⋅n180{\displaystyle L_{arc}={\frac {\pi \cdot r\cdot n}{180}}}

undeLarc este lungimea arcului de cerc,r este raza cercului,n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat în grade, iarπ{\displaystyle \pi } esteo constantă matematică.

Ecuații

Coordonate carteziene

Cerc cu razar = 1, centru (a,b) = (1.2, -0.5)

Într-un sistem de coordonatex-y, cercul cu centrul (a,b) și razar reprezintă mulțimea tuturor punctelor (x,y) astfel încât

(x−a)2+(y−b)2=r2.{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.}

Această ecuație rezultă din teorema lui Pitagora aplicată la orice punct de pe circumferința: raza este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, a cărui catene au lungimilex - a șiy - b. Dacă cercul are centrul în origine (0, 0), atunci ecuația se simplifică la

x2+y2=r2. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }

Această ecuație poate fi scrisă și parametric folosindfuncțiile trigonometricesinus șicosinus:

x=a+rcos⁡t,{\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,\!}
y=b+rsin⁡t{\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}

undet este o variabilă parametrică, fiind interpretată geometric ca unghiul format de raza care unește punctul(x,y) cu originea(0,0) cu axax. O parametrizare rațională este:

x=a+r1−t21+t2{\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
y=b+r2t1+t2.{\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}

În coordonate omogene, fiecaresecțiuneconică cu ecuația cercului este de forma:

 ax2+ay2+2b1xz+2b2yz+cz2=0.{\displaystyle \ ax^{2}+ay^{2}+2b_{1}xz+2b_{2}yz+cz^{2}=0.}

Poate fi demonstrat că o secțiune conică poate fi un cerc doar dacă punctele I(1: i: 0) și J(1: −i: 0) sunt în secțiunea conică. Aceste puncte mai sunt numitepuncte circulare la infinitate.

Coordonate polare

În coordonate polare, ecuația cercului este:

r2−2rr0cos⁡(θ−φ)+r02=a2{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}

undea este raza cercului,r0 este distanța de la origine la centrul cercului, și φ este unghiul măsurat trigonometric de la axax la dreapta care conectează originea cu centrul cercului. Pentru un cerc cu centrul în origine,r0 = 0, aceasta se reduce lar =a. Candr0 =a, sau când originea este pe cerc, ecuația devine

r=2acos⁡(θ−φ){\displaystyle r=2a\cos(\theta -\varphi )}.

În cazul general, ecuația poate fi rezolvată pentru r:

r=r0cos⁡(θ−φ)+a2−r02sin2⁡(θ−φ){\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\varphi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}},

soluția cu un semn minus în fața rădăcinii pătrate având aceeași curbă.

Planul complex

În un cerc cu centrul înc și raza (r) are ecuația|z−c|2=r2{\displaystyle |z-c|^{2}=r^{2}\,}. În forma parametrică poate fi scrisăz=reit+c{\displaystyle z=re^{it}+c\!}.

Ecuația generalizatăpzz¯+gz+gz¯=q{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q} pentrup real,q real șig complex este numită uneoricercul generalizat. Aceasta devine ecuația de mai sus cup=1, g=c¯, q=r2−|c|2{\displaystyle p=1,\ g={\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}, deoarece|z−c|2=zz¯−c¯z−cz¯+cc¯{\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}. Nu toate cercurile generalizate sunt chiar cercuri: un cerc generalizat este fie un cerc, fie o dreaptă.

OBSERVATII:1) Dreapta intersectează cercul în două puncte, M1 și M2, scrise concentrat M1,2. În consecință, ecuația:

r=r0cos⁡(θ−φ)+a2−r02sin2⁡(θ−φ){\displaystyle r=r_{0}\cos {(\theta -\varphi )}+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}{(\theta -\varphi )}}}}

se scrie corect astfel:

r1,2=R[−s⋅cos⁡(θ−ϵ)±[1−[s⋅sin⁡(θ−ϵ)]2]]=R⋅rex1,2[θ,S(s,ϵ)],{\displaystyle r_{1,2}=R\left[-s\cdot \cos {(\theta -\epsilon )}\pm {\sqrt {\left[1-\left[s\cdot \sin {(\theta -\epsilon )}\right]^{2}\right]}}\right]=R\cdot rex_{1,2}\left[\theta ,S(s,\epsilon )\right],}

care sunt cele două determinări ale funcției supermatematice circulare excentrice radial excentrică de variabilă excentrică θ ṣi de excentru S(s,ε). În care, excentricitatea reală este e și excentricitatea numerică este s = e/R.Coordonatele polare ale excentrului E sunt e si ε, iar ale excentrului S sunt s si ε.

Pentru semnul plus, din fața radicalului, se obține intersecția cercului de raza R cu semidreapta pozitivă, turnantă în jurul punctului E(e,ε),iar pentru semnul minus se obține intersecția cu semidreapta negativă.Din S, în aceleași condiții, se obțin intersecțiile dreptei turnante în jurul lui S cucercul unitate. Toate acestea, în condiția în care excentrele sunt interioare discurilor circulare respective, de rază R si, respectiv 1. Adică, pentru e < R și s < 1.În caz contrar, adică e > R și s > 1, se obțin patru determinări: câte două pe fiecare semidreaptă.

Pentru e < R, cele două puncte se rotesc pe cerc în același sens cu dreapta generatoare turnantă în jurul excentrelor E și S, adică în sens trigonometric, iar pentru e > R sau s > 1, cele două puncte, de pe aceeași semidreaptă se rotesc în sensuri opuse, iar funcția rexθ, ca toate celelalte funcții circulare excentrice, exista numai în domeniul în care drepta generatoare intersectează cercul.

2) În aceste condiții, definiția cercului poate fi extinsă: Cercul este locul geometric al punctelor din plan pentru care distanța de la un punct oarecare din plan, denumit excentru E, variază după funcțiar=R⋅rex[θ,S(s,ϵ)]{\displaystyle r=R\cdot rex\left[\theta ,S(s,\epsilon )\right]}.Dacă E si S coincid cu centrul cercului O(0,0), atunci e = s = 0 șirex[θ,S(s,ϵ)]=1{\displaystyle rex\left[\theta ,S(s,\epsilon )\right]=1} astfel căr=R,{\displaystyle r=R,} obținându-se definiția veche.

Tangența la cerc

Tangenta printr-un punctP este perpendiculară la diametrul care trece prinP. DacăP = (x1,y1) și cercul are centrul (a,b) și razar, atunci tangenta este perpendiculară pe dreapta care unește (a,b) cu (x1,y1), astfel are forma (x1−a)x+(y1−b)y =c. Evaluând la (x1,y1) determinăvaloarea luic și ecuația tangentei este

(x1−a)x+(y1−b)y=(x1−a)x1+(y1−b)y1{\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\!}

sau

(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}\!}.

Dacay1≠b atunci panta acestei drepte va fi

dydx=−x1−ay1−b{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}}.

Aceasta poate fi aflată și folosind diferențierea.

Când centrul cercului este la origine atunci ecuația tangentei devine

x1x+y1y=r2{\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}\!},

și panta ei va fi

dydx=−x1y1{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}}.

Diferite formule

Formule ale cercului
Lungimea cerculuiL=2πr=πd{\displaystyle L=2\pi r=\pi d}
Suprafața cerculuiA=πr2=π4d2=4∫0rr2−x2dx{\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi }{4}}d^{2}=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} x}
Suprafața inelului unui cercA=π(ra2−ri2){\displaystyle A=\pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})}
Lungimea unui arc de cercLB=2πrα360∘{\displaystyle L_{B}=2\pi r{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}}
Suprafața unui sector circularASK=α360∘πr2{\displaystyle A_{\mathrm {SK} }={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}\pi r^{2}}
Suprafața unui segment circularASG=r2(πα360∘−sin⁡α2cos⁡α2)=r22⋅(α′−sin⁡α′){\displaystyle A_{\mathrm {SG} }=r^{2}\left({\frac {\pi \alpha }{360^{\circ }}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha '-\sin \alpha '\right)}
Lungimea unei corzilKS=2rsin⁡α2{\displaystyle l_{\mathrm {KS} }=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}}
Înalțimea segmentului circularh=r−rcos⁡α2{\displaystyle h=r-r\cos {\frac {\alpha }{2}}}
Momentul de inerție (al discului în jurul centrului)J=12mr2{\displaystyle J={\frac {1}{2}}mr^{2}}

Proprietăți

Unghiuri înscrise

Ununghi înscris este jumătate din unghiul corespunzător central. Prin urmare, toate unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt egale. Unghiurile înscrise care subîntind împreună un diametru sunt suplementare. În particular, fiecare unghi înscris care subîntinde un diametru este un unghi drept.

Teoreme

  • Teorema corzii stipulează că dacă două corzi, CD și EB, se intersectează în A, atunci CA*DA = EA*BA.
  • Dacă o tangentă de la un punct exterior D intersectează cercul în C și o secantă din același punct D intersectează cercul în G și E, atunci DC2 = DG * DE.
  • În cazul în care două secante, DG și DE, intersectează cercul în H și F, apoi DH * DG = FD*DE.
  • Unghiul dintre o tangentă și o coardă este egal cu o jumătate din unghiul subîntins pe partea opusă a coardei.
  • Dacă unghiul subîntins de coardă la centru este de 90 de grade, atunci l = √2 × R, unde l este lungimea corzii și R este raza cercului.
  • Dacă două secante sunt înscrise în cerc precum în desenul alăturat, măsura unghiului A este egal cu jumătate din diferența măsurilor arcelor mici (DE și BC).

Vezi și

Control de autoritate
Adus de lahttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Cerc&oldid=17242020
Categorii:
Categorii ascunse:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp