Šeško s-a alăturatRed Bull Salzburg la vârsta de 16 ani în 2019 de laDomžale. A fost împrumutat echipei de rezervă a lui Salzburg, FC Liefering, pentru două sezoane, unde a marcat 22 de goluri în 44 de meciuri în aldoilea eșalon al fotbalului austriac. A debutat în prima echipă pentru Red Bull Salzburg în ianuarie 2021 și a câștigat trei titluri înBundesliga austriacă și oCupă a Austriei.
Šeško a reprezentat Slovenia la mai multe categorii de tineret, înainte de a deveni cel mai tânăr jucător care a apărut pentru echipa națională de seniori în 2021, la vârsta de 18 ani, și a marcat primul său gol pentru echipa națională în octombrie 2021, devenind cel mai tânăr marcator al Sloveniei din istorie.
Šeško și-a început cariera la clubul din orașul său natal, Radeče, când era în clasa întâi.[2][3] Apoi a petrecut un an cu Rudar Trbovlje în selecția sub 11 ani,[2][4] înainte de a se întoarce la Radeče.[2] În 2016 s-a transferat la Krško, unde a jucat pentru echipele sub 15 și sub 17 ani.[5] În sezonul 2017-18, a marcat 59 de goluri în 23 de meciuri pentru echipa sub 15 ani.[5] În 2018, Šeško s-a alăturat luiDomžale, unde a petrecut un sezon.[5]
La vârsta de 16 ani, pe 3 iunie 2019, Šeško a semnat un contract profesionist pe trei ani cuRed Bull Salzburg.[6] A debutat cu Red Bull Salzburg într-o victorie cu 3-0 înBundesliga austriacă împotriva lui TSV Hartberg pe 30 ianuarie 2021.[7]
Imediat după ce a semnat cu Red Bull Salzburg, a fost mutat la clubul lor de bază, FC Liefering, care concura îna doua divizie a Austriei. În sezonul 2020–21, a marcat 21 de goluri în 29 de apariții și a devenit al doilea cel mai bun marcator din campionat.[8] El a marcat majoritatea golurilor sale în ultima parte a sezonului, reușind 13 goluri în ultimele 7 etape.[9]
Pe 9 august 2022,RB Leipzig a anunțat transferul lui Šeško de la 1 iulie 2023, cu un contract pe cinci ani până în 2028, pentru o sumă de transfer raportată de aproximativ 24 de milioane de euro.[10][11]
Pe 3 septembrie 2023, Šeško a marcat primele sale goluri pentru RB Leipzig, reușind o dublă într-o victorie în deplasare cu 3-0 împotriva luiUnion Berlin, punând capăt seriei de 24 de meciuri fără înfrângere pe teren propriu.[12][13] Pe 19 septembrie, a marcat primul său gol înLiga Campionilor (excluzând rundele de calificare), în meciul în care RB Leipzig a învinsYoung Boys cu 3-1 în deplasare, în prima etapă a ediției2023-2024.[14] Šeško și-a încheiat primul sezon cu 18 goluri în toate competițiile și a devenit, de asemenea, cel mai tânăr jucător care a marcat vreodată în șapte meciuri consecutive dinBundesliga, la 20 de ani și 353 de zile.[15]