數論函式¶

math.comb(n,k)¶

回傳從n 個物品中不重複且不考慮排序地取出k 個物品的方法數。

當k<=n 時其值為n!/(k!*(n-k)!)，否則其值為0。

因為此值等同於(1+x)ⁿ 進行多項式展開後第 k 項的係數，所以又稱為二項式係數。

當任一參數非整數型別時會引發TypeError。當任一參數為負數時會引發ValueError。

在 3.8 版被加入.

math.factorial(n)¶

回傳非負整數n 的階乘。

在 3.10 版的變更:現在已經不允許傳入其值為整數的浮點數（如：5.0）。

math.gcd(*integers)¶

回傳指定整數引數的最大公因數。若存在任一非零引數，回傳值為所有引數共有因數中最大的正整數。若所有引數皆為零，則回傳值為0。gcd() 若未傳入任何引數也將回傳0。

在 3.5 版被加入.

在 3.9 版的變更:新增支援任意數量的引數。先前僅支援兩個引數。

math.isqrt(n)¶

回傳非負整數n 的整數平方根。此值為n 精確平方根經下取整的值，亦等同於滿足a² ≤ n 的最大整數值a。

於有些應用程式中，取得滿足n ≤ a² 的最小整數值a ── 或者說n 精確平方根經上取整的值 ── 會更加方便。對正數n，此值可使用a=1+isqrt(n-1) 計算。

在 3.8 版被加入.

math.lcm(*integers)¶

回傳指定整數引數的最小公倍數。若所有引數值皆非零，回傳值為所有引數共有倍數中最小的正整數。若存在任一引數值為零，則回傳值為0。lcm() 若未傳入任何引數將回傳1。

在 3.9 版被加入.

math.perm(n,k=None)¶

回傳從n 個物品中不重複且考慮排序地取出k 個物品的方法數。

當k<=n 時其值為n!/(n-k)!，否則其值為0。

若未給定k 或其值為None，則k 值預設為n，且函式回傳n!。

當任一參數非整數型別時會引發TypeError。當任一參數為負數時會引發ValueError。

在 3.8 版被加入.

浮點數算術運算¶

math.ceil(x)¶

回傳x 經上取整的值，即大於或等於x 的最小整數。若x 並非浮點數，此函式將委派給x.__ceil__，並回傳Integral 型別的值。

math.fabs(x)¶

回傳x 的絕對值。

math.floor(x)¶

回傳x 經下取整的值，即小於或等於x 的最大整數。若x 並非浮點數，此函式將委派給x.__floor__，並回傳Integral 型別的值。

math.fma(x,y,z)¶

融合乘加運算。回傳(x*y)+z，用近似於無限精密度及範圍的方式計算，而後一次轉換為float 格式。此操作通常能提供比運算式(x*y)+z 更高的精確度。

此函式遵循 IEEE-754 標準中規範的融合乘加（fusedMultiplyAdd）運算。該標準保留一種由實作決定的案例，即fma(0,inf,nan) 和fma(inf,0,nan) 的結果；在這些案例中，math.fma 回傳 NaN 且不會引發例外。

在 3.13 版被加入.

math.fmod(x,y)¶

回傳x/y 的浮點數餘數，其以平臺上的 C 函式庫fmod(x,y) 函式定義。請注意此函式與 Python 運算式x%y 可能不會回傳相同結果。C 標準要求fmod(x,y) 的回傳值完全等同（數學定義上，即無限精密度）於x-n*y，n*為可使回傳值與 *x 同號且量值小於abs(y) 的整數。Python 運算式x%y 的回傳值則與y 同號，且可能無法精確地計算浮點數引數。例如：fmod(-1e-100,1e100) 的值為-1e-100，但 Python 運算式-1e-100%1e100 的結果為1e100-1e-100，此值無法準確地表示成浮點數，並會四捨五入為出乎意料的1e100。因此，處理浮點數時通常會選擇函式fmod()，而處理整數時會選擇 Python 運算式x%y。

math.modf(x)¶

回傳x 的小數及整數部分，兩者皆為與x 同號的浮點數。

請注意modf() 的呼叫/回傳模式與 C 語言中相應的函式不同：它們接受一個引數並回傳一對值，而非透過一個「輸出參數（output parameter）」傳遞第二個回傳值（Python 沒有那種東西）。

math.remainder(x,y)¶

回傳x 對y 根據 IEEE 754 定義的餘數。對有限數x 及有限非零數y，該值為x-n*y 差值，n 是最接近商數x/y 的整數。若x/y 剛好位於兩個連續整數的正中間，n 為最接近的偶數。因此該餘數r=remainder(x,y) 總是滿足abs(r)<=0.5*abs(y)。

特殊情況遵循 IEEE 754：特別是，對任何有限數x，remainder(x,math.inf) 的值為x；對任何非 NaN 值的x，remainder(x,0) 及remainder(math.inf,x) 會引發ValueError。若取餘數操作的結果為零，則該零值會與x 同號。

在使用 IEEE 754 浮點標準中二進制浮點數的平台上，此操作的結果必能精準表示，不會出現捨入誤差。

在 3.7 版被加入.

math.trunc(x)¶

回傳去除小數部分而僅餘整數部分的x。此函式會向零捨入：若x 為正值，trunc() 等價於floor()；若x 為負值，trunc() 等價於ceil()。若x 非浮點數，此函式將委派給x.__trunc__，而後回傳一Integral 值。

使用ceil()、floor() 及modf() 三個函式時，請注意所有足夠大的浮點數都是精確的整數。Python 的浮點數型別的精密度通常不會超過 53 位元（與 C 語言 double 型別相同），因此當浮點數x 滿足abs(x)>=2**52 時，它必然沒有小數部分。

浮點數操作函式¶

math.copysign(x,y)¶

回傳與x 相同量值（絕對值）且與y 同號的浮點數。在支援帶符號零的平臺上，copysign(1.0,-0.0) 回傳-1.0。

math.frexp(x)¶

以(m,e) 對的格式回傳x 的尾數m 及指數e。m 是浮點數而e 是整數，且兩者精確地使x==m*2**e。若x 為零，回傳(0.0,0)，否則令0.5<=abs(m)<1。此函式用於以可攜的方式「分割」浮點數內部表示法。

請注意frexp() 的呼叫/回傳模式與 C 語言中相應的函式不同：它們接受一個引數並回傳一對值，而非透過一個「輸出參數（output parameter）」傳遞第二個回傳值（Python 沒有那種東西）。

math.isclose(a,b,*,rel_tol=1e-09,abs_tol=0.0)¶

若a 及b 兩值足夠接近便回傳True，否則回傳False。

兩數是否足夠接近取決於給定的絕對及相對容許偏差 (tolerance)。如果沒有錯誤發生，結果將為：abs(a-b)<=max(rel_tol*max(abs(a),abs(b)),abs_tol)。

rel_tol 為相對容許偏差 ──a 與b 兩數差的最大容許值，與a 及b 兩數的絕對值中較大者相關。例如欲設置 5% 的容許偏差，則傳入rel_tol=0.05。其預設值為1e-09，該值可確保兩數於大約 9 個十進數位內相同。rel_tol 須不為負且小於1.0。

abs_tol 為絕對容許偏差；預設為0.0 且必須不為負。當比較x 與0.0 時，isclose(x,0) 將計算為abs(x)<=rel_tol *abs(x)，此結果對任何非零x 及小於1.0 的rel_tol 而言皆為False。因此呼叫時應加上適當的正數abs_tol 引數。

定義於 IEEE 754 浮點標準中的特殊值NaN、inf 和-inf 會根據該標準處理。更明確地說，NaN 不會與包含自身在內的任何數字足夠接近，而inf 及-inf 皆只與自身接近。

在 3.5 版被加入.

也參考

PEP 485 ── 用於測試近似相等的函式

math.isfinite(x)¶

若x 不是無限值或 NaN 便回傳True，否則回傳False。（注意0.0 被視為有限數。）

在 3.2 版被加入.

math.isinf(x)¶

若x 是正無限值或負無限值便回傳True，否則回傳False。

math.isnan(x)¶

若x 是 NaN ── 即非數值（NaN, not a number）── 便回傳True，否則回傳False。

math.ldexp(x,i)¶

回傳x*(2**i)。此函式本質上為frexp() 的反函式。

math.nextafter(x,y,steps=1)¶

回傳x 向ysteps 步的浮點數值。

除非steps 為零，否則當x 與y 相等時回傳y。

範例：

• math.nextafter(x,math.inf) 增加：往正無限。

• math.nextafter(x,-math.inf) 減少：往負無限。

• math.nextafter(x,0.0) 靠近零。

• math.nextafter(x,math.copysign(math.inf,x)) 遠離零。

另請參閱math.ulp()。

在 3.9 版被加入.

在 3.12 版的變更:新增steps 引數。

math.ulp(x)¶

回傳浮點數x 的最低有效位元：

• 若x 為 NaN（非數值），回傳x。

• 若x 為負值，回傳ulp(-x)。

• 若x 為正無限值，回傳x。

• 若x 等於零，回傳反正規化可表示的最小正浮點數（此值小於正規化可表示的最小正浮點數sys.float_info.min）。

• 若x 等於可表示的最大正浮點數，回傳x 的最低有效位元值，使x-ulp(x) 為第一個小於x 的浮點數。

• 否則（當x 為正有限數），回傳x 的最低有效位元值，使x+ulp(x) 為第一個大於x 的浮點數。

ULP 即最後一位上的單位值（Unit in the Last Place）。

另請參閱math.nextafter() 及sys.float_info.epsilon。

在 3.9 版被加入.

次方、指數與對數函式¶

math.cbrt(x)¶

回傳x 的立方根。

在 3.11 版被加入.

math.exp(x)¶

回傳e 的x 次方，其中e = 2.718281... 為自然對數的底數。此函式通常比math.e**x 或pow(math.e,x) 更為精確。

math.exp2(x)¶

回傳2 的x 次方。

在 3.11 版被加入.

math.expm1(x)¶

回傳e 的x 次方減 1。此處e 為自然對數的底數。對於較小的浮點數x，exp(x)-1 中的減法運算可能導致顯著的精密度損失；expm1() 函式提供了一種能以完整精密度計算此值的方法：

>>>frommathimportexp,expm1>>>exp(1e-5)-1# gives result accurate to 11 places1.0000050000069649e-05>>>expm1(1e-5)# result accurate to full precision1.0000050000166668e-05

在 3.2 版被加入.

math.log(x[,base])¶

傳入一個引數時，回傳x 的自然對數（以e 為底）。

傳入兩個引數時，回傳x 以給定base 為底的對數，計算方式為log(x)/log(base)。

math.log1p(x)¶

回傳1+x 的自然對數（以e 為底）。計算結果對於接近零的x 值是精確的。

math.log2(x)¶

回傳x 的以 2 為底的對數。此函式通常比log(x,2) 更為精確。

在 3.3 版被加入.

也參考

int.bit_length() 回傳以二進位表示一個整數所需的位元數，不包含正負號及前導零。

math.log10(x)¶

回傳x 的以 10 為底的對數。此函式通常比log(x,10) 更為精確。

math.pow(x,y)¶

回傳x 的y 次方。例外情況盡可能遵循 IEEE 754 標準。特別是，pow(1.0,x) 和pow(x,0.0) 總是回傳1.0，即使x 是零或 NaN 也是如此。若x 和y 皆為有限數、x 為負數且y 不是整數，則pow(x,y) 是未定義的，並會引發ValueError。

與內建** 運算子不同，math.pow() 會將其兩個引數都轉換為float 型別。若需要計算精確的整數次方，請使用** 或內建的pow() 函式。

在 3.11 版的變更:特殊情況pow(0.0,-inf) 和pow(-0.0,-inf) 已變更為回傳inf 而非引發ValueError，以符合 IEEE 754 標準。

math.sqrt(x)¶

回傳x 的平方根。

總和與乘積函式¶

math.dist(p,q)¶

回傳兩點p 與q 之間的歐幾里得距離，各點以座標的序列（或可疊代物件）表示。兩點必須具有相同的維度。

約等價於：

sqrt(sum((px-qx)**2.0forpx,qxinzip(p,q)))

在 3.8 版被加入.

math.fsum(iterable)¶

回傳可疊代物件（iterable）中所有值的精確浮點數和。透過追蹤過程中多個部分和（partial sum）以避免精密度損失。

此演算法準確性奠基於保證 IEEE-754 浮點標準及典型奇進偶捨（half-even）模式。於有些非 Windows 平台建置時，底層 C 函式庫使用延伸精密度加法運算，而可能導致對過程中同一部分和重複捨入，並使其最低有效位不如預期。

更深入的討論及兩種替代做法請參閱ASPN cookbook recipes 精準的浮點數總和。

math.hypot(*coordinates)¶

回傳歐幾里得範數sqrt(sum(x**2forxincoordinates))。這是從原點到座標所給定的點之間的向量長度。

對於二維點(x,y)，這等同於使用畢氏定理計算直角三角形的斜邊，即sqrt(x*x+y*y)。

在 3.8 版的變更:新增對 n 維點的支援。先前僅支援二維情況。

在 3.10 版的變更:改進了演算法的精確度，使最大誤差低於 1 ulp（最後一位上的單位值）。更典型的情況是，結果幾乎總是能正確捨入到 1/2 ulp 以內。

math.prod(iterable,*,start=1)¶

計算輸入iterable 中所有元素的乘積。乘積的預設start 起始值為1。

當可疊代物件為空時，回傳起始值。此函式專門設計用於數值運算，可能會拒絕非數值型別。

在 3.8 版被加入.

math.sumprod(p,q)¶

回傳兩個可疊代物件p 及q 各值乘積的總和。

若兩個傳入物件長度不同會引發ValueError。

約等價於：

sum(map(operator.mul,p,q,strict=True))

對浮點數或混合整數及浮點數的傳入物件，其過程中的乘積及總和皆使用延伸精密度計算。

在 3.12 版被加入.

角度轉換¶

math.degrees(x)¶

將角度x 從弧度轉換為度。

math.radians(x)¶

將角度x 從度轉換為弧度。

三角函式¶

math.acos(x)¶

回傳x 的反餘弦值，以弧度表示。結果介於0 與pi 之間。

math.asin(x)¶

回傳x 的反正弦值，以弧度表示。結果介於-pi/2 與pi/2 之間。

math.atan(x)¶

回傳x 的反正切值，以弧度表示。結果介於-pi/2 與pi/2 之間。

math.atan2(y,x)¶

回傳atan(y/x)，以弧度表示。結果介於-pi 與pi 之間。從原點到點(x,y) 的平面向量與正 X 軸形成此角度。atan2() 的重點在於它知道兩個輸入的正負號，因此能計算出角度所在的正確象限。例如，atan(1) 和atan2(1,1) 都是pi/4，但atan2(-1,-1) 是-3*pi/4。

math.cos(x)¶

回傳x 弧度的餘弦值。

math.sin(x)¶

回傳x 弧度的正弦值。

math.tan(x)¶

回傳x 弧度的正切值。

雙曲函式¶

雙曲函式是三角函式的類似物，但基於雙曲線而非圓。

math.acosh(x)¶

回傳x 的反雙曲餘弦值。

math.asinh(x)¶

回傳x 的反雙曲正弦值。

math.atanh(x)¶

回傳x 的反雙曲正切值。

math.cosh(x)¶

回傳x 的雙曲餘弦值。

math.sinh(x)¶

回傳x 的雙曲正弦值。

math.tanh(x)¶

回傳x 的雙曲正切值。

特殊函式¶

math.erf(x)¶

回傳在x 處的誤差函式值。

erf() 函式可用於計算傳統的統計函式，例如累積標準常態分布：

defphi(x):'標準常態分布的累積分布函式'return(1.0+erf(x/sqrt(2.0)))/2.0

在 3.2 版被加入.

math.erfc(x)¶

回傳在x 處的互補誤差函式值。互補誤差函式定義為1.0-erf(x)。此函式用於較大的x 值，因為在該情況下從一減去會導致顯著性損失。

在 3.2 版被加入.

math.gamma(x)¶

回傳在x 處的Gamma 函式值。

在 3.2 版被加入.

math.lgamma(x)¶

回傳在x 處 Gamma 函式絕對值的自然對數。

在 3.2 版被加入.

常數¶

math.pi¶

數學常數π = 3.141592...，精確至可用精密度。

math.e¶

數學常數e = 2.718281...，精確至可用精密度。

math.tau¶

數學常數τ = 6.283185...，精確至可用精密度。Tau 是一個圓常數，等於 2π，即圓的周長與半徑的比值。若想了解更多關於 Tau 的資訊，請觀看 Vi Hart 的影片Pi is (still) Wrong，並開始慶祝Tau 日，吃兩倍的派吧！

在 3.6 版被加入.

math.inf¶

浮點數正無限值。（對於負無限值，請使用-math.inf。）等同於float('inf') 的輸出。

在 3.5 版被加入.

math.nan¶

浮點數「非數值」（NaN）值。等同於float('nan') 的輸出。根據IEEE-754 標準的要求，math.nan 和float('nan') 不被認為等於任何其他數值，包括它們自身。若要檢查一個數是否為 NaN，請使用isnan() 函式而非is 或==。範例：

>>>importmath>>>math.nan==math.nanFalse>>>float('nan')==float('nan')False>>>math.isnan(math.nan)True>>>math.isnan(float('nan'))True

在 3.5 版被加入.

在 3.11 版的變更:現在總是可用。