Emgeometria plana, umatransformação de cisalhamento é umatransformação linear, que desloca cada ponto em uma direção fixada, por um montante proporcional à sua distância com sinal de umareta que éparalela à direção.^[1]

Um exemplo é a transformação que leva qualquer ponto comcoordenadas${\displaystyle (x,y)}$ para o ponto${\displaystyle (x+2y,y)}$. Neste caso, o deslocamento é horizontal, a reta fixada é o eixo${\displaystyle x}$, e a distância com sinal é a coordenada${\displaystyle y}$. Note que pontos de lados opostos da reta de referência são deslocados em sentidos opostos.

Transformações de cisalhamento não devem ser confundidas comrotações. A aplicação de um cisalhamento a um conjunto de pontos do plano irá alterar todos osângulos entre eles (excetoângulos retos), e o comprimento de qualquersegmento de reta que não é paralelo à direção de deslocamento. Portanto, elas normalmente distorcerão a forma de uma figura geométrica, por exemplo, transformando quadrados emparalelogramos não-quadrados, ecírculos emelipses. No entanto, um cisalhamento preserva aárea de figuras geométricas e o alinhamento e distâncias relativas de pontos colineares. Uma transformação de cisalhamento é a principal diferença entre os estilos de letras vertical einclinada (ou itálico).

A mesma definição é utilizada nageometria tridimensional, exceto que a distância é medida a partir de um plano fixo. Uma transformação de cisalhamento no espaço tridimensional preserva o volume de figuras sólidas, mas altera as áreas de figuras planas (exceto aquelas que são paralelas ao deslocamento). Esta transformação é usada para descrevero fluxo laminar de um fluido entre placas, uma se movendo em um plano  paralelo e acima da primeira.

Noespaço Cartesiano${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ geral${\displaystyle n}$-dimensional a distância é medida a partir de umhiperplano fixo paralelo à direção de deslocamento. Esta transformação geométrica é umatransformação linear de${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ que preserva amedida${\displaystyle n}$-dimensional (hipervolume) de qualquer conjunto.

No plano${\displaystyle {\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}}$, umcisalhamento horizontal (oucisalhamento paralelo ao eixox) é uma função que leva um ponto genérico de coordenadas${\displaystyle (x,y)}$ para o ponto${\displaystyle (x+my,y)}$; em que${\displaystyle m}$ é um parâmetro fixo, chamadofator de cisalhamento.

O efeito desta transformação é o deslocamento de cada ponto horizontalmente por uma quantidade proporcionalmente à sua coordenada${\displaystyle y}$. Qualquer ponto acima do eixo${\displaystyle x}$ é deslocado para a direita (aumentando${\displaystyle x}$) se${\displaystyle m>0}$, e para a esquerda se Os pontos abaixo do eixo${\displaystyle x}$ se movimentam no sentido oposto, enquanto que os pontos sobre o eixo permanecem fixos.

As retas paralelas ao eixo${\displaystyle x}$ permanecem onde estão, enquanto todas as outras retas são giradas, através de vários ângulos, sobre o ponto em que elas cruzam o eixo${\displaystyle x}$. As retas verticais, em particular, tornam-se retasoblíquas cominclinação${\displaystyle 1/m}$. Portanto, o fator de cisalhamento${\displaystyle m}$ é acotangente do ângulo${\displaystyle \phi }$ segundo o qual as retas verticais são inclinadas, o chamadoângulo de inclinação.

Se as coordenadas de um ponto forem escritas como um vetor coluna (umamatriz 2×1), a transformação de cisalhamento pode ser escrita como umamultiplicação por uma matriz 2×2:

Umcisalhamento vertical (ou cisalhamento paralelo ao eixo${\displaystyle y}$) de retas é semelhante, exceto pelo fato de que os papéis de${\displaystyle x}$ e de${\displaystyle y}$ são trocados. Isto corresponde a multiplicar o vetor de coordenadas pelatransposta da matriz:

O cisalhamento vertical desloca pontos à direita do eixo${\displaystyle y}$ para cima ou para baixo, dependendo do sinal de${\displaystyle m}$. Ele deixa as linhas verticais invariantes, mas inclina todas as outras retas no ponto em que elas encontram o eixo ${\displaystyle y}$. Linhas horizontais, em particular, são inclinadas pelo ângulo de inclinação${\displaystyle \phi }$ para se tornar retas com inclinação${\displaystyle m}$.

Para umespaço vetorialV e um subespaçoW, um cisalhamento que fixaW translada todos os vetores paralelamente aW.

Mais precisamente, seV é asoma direta deW eW', e os vetores deV são escritos como

v =w +w'

respectivamente, um típico cisalhamento que fixaW éL onde

L(v) = (w +Mw') +w '

em queM é uma transformação linear deW' emW. Portanto, em termos dematriz em blocosL pode ser representada como

As seguintes aplicações das transformações de cisalhamento foram observadas porWilliam Kingdon Clifford:

Uma sucessão de cisalhamentos nos permite reduzir qualquer figura delimitada por linhas retas a um triângulo de mesma área.

... podemos cisalhar qualquer triângulo transformando-o em um triângulo retângulo, e isto não alterará a sua área. Assim, a área de qualquer triângulo é metade da área do retângulo com a mesma base e a altura igual à perpendicular a base do ângulo oposto.^[2]

A preservação da área por cisalhamentos é uma propriedade que pode ser usada para obter resultados envolvendo áreas. Por exemplo, oteorema de Pitágoras foi ilustrado com transformações de cisalhamento.^[3]

Um algoritmo devido a Alan W. Paeth utiliza uma sequência de três transformações de cisalhamento (horizontal, vertical e novamente horizontal) para girar umaimagem digital por um ângulo arbitrário. O algoritmo é muito simples de implementar, e muito eficiente, uma vez que cada etapa processa apenas uma coluna ou uma linha depixels de cada vez.^[4]

O texto em itálico pode ser pensado como o resultado de aplicar um cisalhamento ao texto normal.

• Matriz de cisalhamento

• Funções matemáticas
• Álgebra linear

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