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Qui-quadrado

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Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

(Redirecionado deTeste Qui-Quadrado)

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Esta páginacita fontes, mas quenão cobrem todo o conteúdo. Ajude ainserir referências (Encontre fontes:Google (N • L • A • I • WP refs) • ABW • CAPES).(março de 2014)

Distribuição Qui-quadrado
Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade da distribuição χ²
Função de distribuição cumulativa A função distribuição acumulada da distribuição χ²
Parâmetros	$k\in \mathbb {N} _{>0}$ graus de liberdade
Suporte	$x\in (0,+\infty )\;$ if $k=1$ , caso contrário $x\in [0,+\infty )\;$
FDP	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
FDA	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Média	$k {\displaystyle k}$
Mediana	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Moda	$\max(k-2,0)\;$
Variância	$2k\;$
Obliquidade	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
Curtose	${\frac {12}{k}}$
Entropia	${\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\log(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}$
Função Geradora de Momentos	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ para }}t<{\frac {1}{2}}\;$
Função Característica	$(1-2it)^{-k/2}$ ^[1]

A distribuiçãoχ² ouqui-quadrado é uma das distribuições mais utilizadas emestatística inferencial, principalmente para realizartestes de χ². Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição χ².

Teste de χ²

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Dado um experimento onde foram realizadasN medidas de umavariável aleatóriaX. Em cada medida, a variávelX assume os valoresx₁, x₂, ...,x_N. Gostaríamos de testar se a distribuição experimental dos valoresx₁, x₂, ..., x_k, ..., x_N é consistente com a distribuição esperada para o fenômeno,f(X). Em outras palavras, temos que avaliar como esperaríamos que asN medidas estivessem distribuídas e então comparar com a distribuição observada. Primeiramente, em geralx é uma variável contínua, de forma que não podemos nos referir ao valor esperado de medidas com um único valor dex^[2] (sex for contínuo, a probabilidade deX assumir um exato valor é zero). Logo, precisamos definir intervalosa ≤ x ≤ b e calcular o número esperado de medidas que devem estar dentro de cada intervaloj, em quej = 1, 2, …, n en é o número de intervalos definidos. O número de medidas esperadas para o intervaloj,E_j, será, então,

E_{j}=NPr_{j}

ondePr_j é a probabilidade deX assumir um valor dentro do intervaloj. Essa probabilidade obviamente depende da distribuiçãof(X) e é normalizada:

\sum _{j}Pr_{j}=1.

É natural analisar a diferença entre o número de amostras observadas dentro de cada intervalo,O_j, e o número esperado:

O_{j}-E_{j}

de forma que quanto menor forem estes valores, melhores serão as chances de nossa hipótese paraf(X) ser verdadeira. Porém, não podemos esperar que os dois valoresO_j eE_j coincidam perfeitamente para qualquer número finito de medidas que realizarmos. Na verdade, se imaginarmos uma situação onde realizamos o procedimento de contar o númeroO_j muitas vezes, esperamos que a média deO_j sejaE_j, com um desvio padrãoσ_j=E_j^1/2.^[2] Logo, esperamos que

{\frac {O_{j}-E_{j}}{\sigma _{j}}}

seja da ordem de unidade, se nossa hipótese for verdadeira. Definimos, portanto, a variávelχ_k², comkgraus de liberdade estatísticos, como sendo

$\chi _{k}^{2}\equiv \sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{j}-E_{j})^{2}}{E_{j}}},$

indicando o quanto as distribuições experimental e teórica são parecidas. Seχ² ≤ n, há uma boa concordância entre as distribuições, e seχ² >> n é bem provável que a hipótese paraf(X) seja falsa. Os graus de liberdadek são definidos como a diferença entre o número de medidas realizadas e o número de restrições feitas aos valores das medidas.^[2]

É possível estudar as discrepâncias em experimentos que envolvam duas variáveis, em diferentes níveis. Os valores observados podem ser anotados em um quadro da seguinte forma:

Tabela das frequências de eventos com duas variáveis X e Y.
Variável X	Variável Y				Total
Variável X	Y1	Y2	...	Ym	Total
X1	O11	O12	...	O1m	L1
X2	O21	O22	...	O2m	L2
...	...	...	...	...	...
Xn	On1	On2	...	Onm	Lm
Total	C1	C2	...	Cn	T

O objetivo é observar o nível de relação existente entre as variáveis estudadas. Nesse caso, a estatística de teste é dado por:

$\chi _{k}^{2}\equiv \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}},$

onde as frequências esperadas são dadas por:

$E_{ij}={\frac {L_{i}C_{j}}{T}}$

Distribuição χ²

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A probabilidade da distribuição qui quadrado não é simétrica como a da distribuição normal. Dessa forma, para aumentar seu estado de simetria, é necessário aumentar o seu grau de liberdade, portanto a relação entre simetria e grau de liberdade é diretamente proporcional.

Demonstração de como a simetria cresce conforme o grau de liberdade aumenta nas distribuições qui quadrado.

A variável $\chi _{k}^{2}$ , por si só, apresenta umafunção densidade de probabilidade. Esta função apresenta qual a probabilidade de a variável $\chi _{k}^{2}$ assumir um valor entre $\chi _{k}^{2}$ e $\chi _{k}^{2}+d\chi _{k}^{2}$ , e é dada por:

f(\chi _{k}^{2})={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}(\chi _{k}^{2})^{k/2-1}e^{-\chi _{k}^{2}/2}.

Exemplos desta função para diversosk estão plotados na figura ao lado.

Em posse desta expressão, pode-se calcular a probabilidade de, num teste de χ², obter-se um valor igual ou maior ao valor encontrado, $(\chi ^{2})'$ , calculando a integral

\int _{(\chi ^{2})'}^{\infty }f(\chi ^{2})\,d\chi ^{2}.

Desta forma, encontramos um modo quantitativo para determinar a concordância entre distribuição experimental e teórica. Em geral, para evitar o cálculo desta integral, se recorre a tabelas que apresentam os valores das probabilidades para cadaintervalo de confiança e para cada grau de liberdade.

É interessante analisar que a média da distribuição χ² ék. Isto é se repetirmos o teste de χ² muitas vezes (para várias medidas coletadas diferentes), esperamos que a média dos valores de χ² encontrados tenda para o número de graus de liberdade estatísticos.

A distribuição qui-quadrado pode ser simulada a partir dadistribuição normal. Por definição, se $Z_{1},Z_{2},\ldots Z_{k}\,$ forem k distribuições normais padronizadas (ou seja, média 0 e desvio padrão 1)independentes, então a soma de seus quadrados é uma distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade:

\chi _{k}^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\ldots +Z_{k}^{2}\,

a definição é que a soma de duas qui-quadrado independentes também é uma qui-quadrado:

\chi _{a}^{2}+\chi _{b}^{2}=\chi _{a+b}^{2}.

Exemplo^[^{carece de fontes?]}

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Podemos aplicar o teste de χ² para analisar quão boa é a concordância entre um conjunto de medidas $(x_{i},y_{i})$ e a relação esperada $y=y(x)$ .^[2]Por exemplo, suponhamos que desejamos testar a hipótese de que a trajetória do lançamento de um projétil é uma parábola. O projétil sairá de uma altura de $h=100m$ , com uma velocidade inicial horizontal de $v_{i}=100m/s$ e num local onde a gravidade vale $g=9.8m/s^{2}$ . Esperamos, portanto, que a altura do projétil em função da sua distância em relação ao ponto de partida seja:

y(x)=h-{\frac {g}{2v_{i}^{2}}}x^{2}.

Para testar a hipótese, fazemos 10 medidas dex e dey em tempos específicos. A tabela abaixo mostra os valores encontrados.

i	(×_i,y_i)
1	(50,98)
2	(80,95)
3	(110,92)
4	(140,90)
5	(170,85)
6	(200,80)
7	(230,72)
8	(260,62)
9	(290,53)
10	(320,40)

Para os valores encontrados, a incerteza na medida dex é desprezível e a dey é $\sigma =3$ . Como não calculamos nenhum parâmetro a partir dos valores medidos, o número de graus de liberdade é o mesmo do número de medidas, 10. Com estes valores, podemos calcular o valor de χ²:

\chi _{10}^{2}=\sum _{i=1}^{10}{\frac {(y_{i}-y(x_{i}))^{2}}{\sigma ^{2}}}=20,24,

ou, ainda:

{\frac {\chi _{10}^{2}}{k}}=2,024.

De posse do valor "normalizado" de $\chi ^{2}$ , podemos usar uma tabela para descobrir a probabilidade de se obter este valor ou mais, e assim saber com quanta certeza podemos dizer que os valores encontradas realmente estão distribuídos como esperado. Neste caso, para 10 graus de liberdade:

Pr(\chi _{10}^{2}\geq 2,024)=2,9\%.

O que descobrimos foi que a probabilidade de que as medidas obtidas realmente estejam sendo governadas pela lei prevista é de apenas 2,9%, ou seja, deveríamos rejeitar esta hipótese. Isto é, temos apenas 2,9% de certeza que a trajetória do projétil foi realmente uma parábola e que os grandes desvios observados foram apenas flutuações estatísticas.

Poderíamos ter avaliado a concordância experimental com a teórica fazendo os gráficos e comparando-os "à olho". Teríamos visto que o projétil caiu bem antes do que o previsto, sugerindo que estejamos esquecendo fatores de resistência do ar (no modelo previsto, consideramos apenas a força da gravidade, e ignoramos qualquer atrito que pudesse haver entre ar e projétil, que de fato existe, principalmente para velocidades grandes como 100 m/s).

Distribuições relacionadas

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SeU for umadistribuição uniforme no intervalo (0,1), então-2 log U é uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade.

Nomenclatura

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O símboloχ², a segundapotência deχ (ou $\chi$ ), envolve a forma minúscula de letra doalfabeto grego chamadaqui^[3] (também chamada, menos frequentemente,chi em português^[4]).Devido a semelhança da letra grega com a letra xisx do alfabeto latino é comum a ocorrência de confusões, motivo pelo qual alguns autores optam por utilizar o nome da letra por extenso, em expressões comoqui-quadrado.Essa é a forma recomendada pelo Glossário Inglês-Português de Estatística daSociedade Portuguesa de Estatística e daAssociação Brasileira de Estatística.^[5]

Ver também

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Limite de Chernoff

Referências

↑M.A. Sanders.«Characteristic function of the central chi-squared distribution»(PDF). Consultado em 6 de março de 2009. Arquivado dooriginal(PDF) em 15 de julho de 2011
↑^a^b^c^dTAYLOR, John R., “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, 1997, 2.ed.
↑«Qui».Dicionário Priberam da Língua Portuguesa. Priberam Informática
↑Pedro Mateus (25 de novembro de 2010).«Sobre o nome e grafia da letra qui (alfabeto grego)».Ciberdúvidas da Língua Portuguesa. Consultado em 15 de março de 2014
↑[1]

Estatística

Estatística descritiva

Gráficos estatísticos	Biplot Carta de controlo Diagrama de caixa Diagrama de ramos e folhas Gráfico em leque Forest plot Função correlograma Gráfico de barras Gráfico de dispersão Gráfico de linha Gráfico de setores Gráfico Q-Q