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Tensor métrico

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Emmatemática, otensor métrico é umtensor simétrico positivo-definido de ordem 2 que é usado para medir a distância em umespaço e também descrever ageometria desse espaço^[1]. Em outros termos, dado umavariedade plana, nós fazemos uma escolha dotensor (0,2) sobre os espaços tangentes àvariedade. Em um ponto dado sobre avariedade, este tensor pega um par de vetores no espaço tangente ao ponto, e encontra umnúmero real. Esteconceito é exatamente como um produto pontual ouproduto interno. Estafunção de vetores dentro dos números reais é requerido para variar planamente de ponto à ponto.

De modo semelhante, narelatividade geral, otensor métrico ou simplesmentemétrica, transmite todas as informação sobre estrutura causal e geométrica do espaço-tempo. Usando amétrica pode-se definir noções como distâncias, volume, ângulos, passado, futuro e curvatura. Diferentemente do caso matemático, o tensor métrico da Relatividade não é positivo-definido, e corresponde ao que, em matemática, é chamado de pseudométrica.

Definição

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Uma vez que se eleja umabase local, o tensor métrico aparece como umamatriz, notada convencionalmenteG (ver tambémmétrica). A notaçãog_ij é utilizada convencionalmente para os componentes do tensor. Assim o tensor métricog se expressa fixada uma base coordenada como:

g=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}\ dq^{i}\otimes dq^{j}\qquad \qquad G={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&...&g_{1n}\\g_{21}&g_{22}&...&g_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\g_{n1}&g_{n2}&...&g_{nn}\end{pmatrix}}

Ou mais comodamente usando oconvenção de somatório de Einstein (que usaremos daqui em diante para o restante deste artigo como):

g=g_{ij}\ dq^{i}\otimes dq^{j}\,

Emfísica [e muito comum escrever a métrica como o quadrado do elemento de comprimento, dado que o tensor é simétrico a notação física é equivalente à notação anterior:

ds^{2}=g_{ij}\ dq^{i}dq^{j}\,

Comprimento, ângulo e volume

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Ocomprimento de um segmento de uma curva dada parametrizada por $t\,$ , desde $a\,$ até $b\,$ , é definido como:

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {q}}^{i}{\dot {q}}^{j}}}\ dt

Oângulo entre doisvetoresU eV (ou entre duas curvas cujos vetorestangentesU eV ) é definido como:

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}

On-volume de uma regiãoR de uma variedade de dimensãon vem a ser dado pela integral estendida desta região dan-forma de volume:

V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dq^{1}\land dq^{2}\land ...\land dq^{n}

Para calcular o tensor métrico de um conjunto de equações que relacionam o espaço com oespaço cartesiano (g_ij = η_ij: verdelta de Kronecker para mais detalhes), calcula-se ojacobiano do conjunto de equações, e multiplica-se o (produto exterior)transposto desse jacobiano pelo jacobiano.

G=J^{T}J\,

^[2]

Exemplos de métricas euclidianas

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Uma métrica euclidiana não é outra coisa que uma métrica arbitrária definida sobre umespaço euclidiano. Umespaço métrico é euclidiano se notensor de curvatura é identicamente nulo em todo o espaço. Quando se usam coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano as componentes do tensor tensão são constantes e, portanto, ossímbolos de Christoffel são também nulos. Porém, em muitos problemas convém usar outro tipo de coordenadas, como por exemplo ascoordenadas polares,cilíndricas ouesféricas, e neste caso ainda quando o espaço é euclidiano as componentes do tensor métrico expresso nestas coordenadas não são constantes, e os símbolos de Christoffel não se anulam. A seguir são apresentadas alguns exemplos de coordenadas frequentes.

Os sistemas decoordenadas ortogonais são caracterizados porque nesses o tensor métrico tem umaforma diagonal. A seguir são apresentadas exemplos de métricas para um espaço euclidiano, o fato de que o espaço é localmente euclidiano se reflete em que notensor de curvatura calculado para todas as métricas que seguem é identicamente nulo.

Coordenadas cartesianas

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Dado um tensormétrico euclidiano em duas dimensões, dado em coordenadas cartesianas $\scriptstyle (u^{1},u^{2})=(x,y)$ :

G={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

Dado que $g_{11}\ =g_{22}\ =1$ e $g_{12}\ =g_{21}\ =0$ .

O comprimento de uma curvaC parametrizada mediante o parâmetrot é reduzido à fórmula familiar docálculo (teorema de Pitágoras):

L_{C}=\int _{C}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}dq^{i}dq^{j}}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}{\frac {dq^{i}}{dt}}{\frac {dq^{j}}{dt}}}}\ dt

$L_{C}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1{\frac {dq^{1}}{dt}}{\frac {dq^{1}}{dt}}+0{\frac {dq^{1}}{dt}}{\frac {dq^{2}}{dt}}+0{\frac {dq^{1}}{dt}}{\frac {dq^{2}}{dt}}+1{\frac {dq^{2}}{dt}}{\frac {dq^{2}}{dt}}}}\ dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dq^{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dq^{2}}{dt}}\right)^{2}}}dt$

que também pode ser escrito como

L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt=\int \limits _{C}{\sqrt {\left(dq^{1}\right)^{2}+\left(dq^{2}\right)^{2}}}=

Coordenadas polares

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Coordenadas polares: $(q^{1},q^{2})=(r,\phi )$

G={\begin{bmatrix}1&0\\0&(q^{1})^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}{\text{d}}q^{1}{\text{d}}q^{1}+g_{22}{\text{d}}q^{2}{\text{d}}q^{2}}}

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\text{d}}r^{2}+r^{2}({\text{d}}\phi )^{2}}}

Coordenadas cilíndricas

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Coordenadas cilíndricas: $(q^{1},q^{2},q^{3})=(r,\phi ,z)$

G={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(q^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}{\text{d}}q^{1}{\text{d}}q^{1}+g_{22}{\text{d}}q^{2}{\text{d}}q^{2}+g_{33}{\text{d}}q^{3}{\text{d}}q^{3}}}

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {({\text{d}}r)^{2}+r^{2}({\text{d}}\phi )^{2}+({\text{d}}z)^{2}}}

Coordenadas esféricas

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Coordenadas esféricas: $(q^{1},q^{2},q^{3})=(r,\theta ,\phi )$

G={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(q^{1})^{2}&0\\0&0&(q^{1}\sin q^{2})^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}{\text{d}}q^{1}{\text{d}}q^{1}+g_{22}{\text{d}}q^{2}{\text{d}}q^{2}+g_{33}{\text{d}}q^{3}{\text{d}}q^{3}}}

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {({\text{d}}r)^{2}+r^{2}({\text{d}}\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta ({\text{d}}\phi )^{2}}}

Exemplos de métricas não euclidianas

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Todos os exemplos anteriores estão associados a métricas euclidianas, caracterizadas pelo fato de que otensor de curvatura é anulado identicamente em todos os pontos.

Métricas não euclidianas em geometria

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Sobre uma esfera de raioR, parametrizada pelo ângulo polar e o ângulo azimutal (θ, φ) considera-se geralmente o tensor métrico induzido peladistância euclidiana do espaço tridimensional que contém a esfera:

G={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}

Pode demonstrar-se que mediante nenhum transformação possível de coordenadas o tensor métrico nessas coordenadas será igual ao tensor métrico do espacio euclidiano bidimensional, o qual evidencia que esse tensor representa uma geometria não euclidiana (além de suacurvatura escalar ser precisamente 1/R). Pode demonstrar-se que dada uma curva sobre uma dada esfera $\scriptstyle (\theta (t),\phi (t))$ , seu comprimento vem a ser dado por:

L_{C}=\int \limits _{A}^{B}{\sqrt {R^{2}{\dot {\theta }}^{2}+(R^{2}\sin ^{2}\theta ){\dot {\phi }}^{2}}}\ {\text{d}}t=R\int \limits _{t_{A}}^{t_{B}}{\sqrt {{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\text{d}}t

Além disso acontece que fixados dois pontos sobre a esfera a curva de distância mínima entre dois pontos, é também uma curva com curvatura mínima. O comprimento da curva mínima entre dois pontos de uma esfera pode ser obtido através de pesquisa na intersecção de um plano que contém os dois pontos e o centro da esfera, então, a intersecção entre tal plano e a esfera é um círculo grande, e, portanto, com a raio máximoR (y, portanto, de curvatura 1/R mínima).

Uma curva de curvatura mínima ou comprimento mínimo em umavariedade riemanniana é denominadageodésica, e em uma esfera pensada como variedade riemanniana os círculos máximos são curvas geodésicas.

Métricas não euclidianas em física

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De acordo com ateoria da relatividade geral em presença de matéria, a geometria doespaço-tempo não é plana, ou seja, está caracterizada por um tensor de curvatura que não é identicamente nulo em todos os pontos da variedade. Este tensor de curvatura pode ser relacionado comtensor de energia-momento que representa o conteúdo material do modelo de universo que se esteja analisando. Alguns exemplos de tensores métricos não euclidianos procedentes da teoria da relatividade geral que se usam como modelos de universo são:

Métrica de Schwarzschild, que representa a geometria do espaço-tempo ao redor de um corpo de esférico isolado e estático (que não gira ao redor de si mesmo).
Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que acredita-se fornecer uma boa aproximação da estrutura do universo em expansão em grandes escalas.

Por exemplo, grosseiramente, a métrica solar afastada dos planetas, satélites e outras concentrações de matéria pode ser considerada como um exemplo bastante aproximado de métrica de Schwarzschild, sendo seus componentes (coordenadas quase-esféricas de Schwarzschild centradas no sol: $\scriptstyle (q^{0},q^{1},q^{2},q^{3})=(t,r,\theta ,\varphi )$ ):

G={\begin{bmatrix}-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}

Observe-se que a submatriz de 3x3 que se refere às coordenadas espaciais é similar a uma métrica esférica diferindo só no termo $\scriptstyle g_{22}\neq 1$ . Emcoordenadas esféricas $\scriptstyle g_{22}=1$ a métrica resulta plana e portanto representa um espaço euclidiano, entretanto, na métrica de Schwarzschild os termos $\scriptstyle g_{11},g_{22}$ caracterizam acurvatura do espaço-tempo devido aocampo gravitacional do Sol.

Por outro lado, a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker é considerada como podendo ser um modelo adequado do universo em escalas bem maiores que a de umagaláxia. No sistemacomóvel pseudo-esférico $\scriptstyle (u^{0},u^{1},u^{2},u^{3})=(t,r,\theta ,\varphi )$ esta métrica resulta ser:

G={\begin{bmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&a(t){\frac {1}{1-kr^{2}}}&0&0\\0&0&a(t){\frac {r^{2}}{1-kr^{2}}}&0\\0&0&0&a(t){\frac {r^{2}\sin ^{2}\theta }{1-kr^{2}}}\end{bmatrix}}

Para $\scriptstyle k\leq 0$ tem-se como resultado um universo aberto que se expande sem limite, enquanto que para $\scriptstyle k>0$ a métrica anterior descreve um universo fechado e finito que após expandir-se até um máximo colapsa sobre si mesmo dando lugar aoBig Crunch.

Referências

↑Capitulo VIII tensor métrico
↑Weisstein, Eric W.«Metric Tensor».mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 3 de janeiro de 2019

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Wells, Raymond (1980),Differential Analysis on Complex Manifolds, Berlin, New York:Springer-Verlag

Tensores

Glossário da teoria tensorial

Escopo

Matemática	sistema de coordenadas álgebra multilinear geometria euclidiana álgebra tensorial geometria diferencial cálculo tensorial
Física Engenharia	mecânica do contínuo eletromagnetismo fenômenos de transporte relatividade geral visão computacional

Notação

Definições

Operações

Abstrações relacionadas

Tensores notáveis

Matemática	delta de Kronecker símbolo de Levi-Civita tensor métrico tensor de não metricidade símbolos de Christoffel tensor de curvatura de Ricci tensor de curvatura de Riemann tensor de Weyl tensor de torção
Física	momento de inércia momento angular tensor de spin tensor tensão de Cauchy tensor de energia-momento tensor eletromagnético tensor de Einstein Tensor métrico (relatividade geral)

Matemáticos

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