Diagrama de Euler ilustrando o fato de que é subconjunto de ou, equivalentemente, que é superconjunto de
Emteoria dos conjuntos, quando todo elemento de umconjunto é também elemento de um conjunto, dizemos que é umsubconjunto de, denotado (também dito " é uma parte de" ou " está contido em"). De forma complementar, é chamado umsuperconjunto de, simbolizado como (também dito " contém" ou " tem como parte").[1] Estarelação é conhecida porinclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção dequantificação universal (∀), temos:
Se (e assumir que é irrelevante). Então, assuma que e seja Por hipótese, e, pela definição de inclusão, Assim, Também por hipótese isto é, se também Em particular, para temos Como era arbitrário, todo elemento de é também elemento de ou seja,
Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio e uma coleção de subconjuntos de a relação de inclusão é umarelação de ordem parcial em
A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcialcanônica — no sentido de que todoconjunto parcialmente ordenado (X,) éisomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Osnúmeros ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal é identificado com o conjunto de todos os ordinais menores ou igual a então se e somente se
Dizemos que um conjunto é umsubconjunto próprio de um conjunto se ( é subconjunto de) e ( é diferente de). Explicitamos este fato com anotação especial ou ainda (lê-se: A é umsuperconjunto próprio de B). Isto quer dizer que estáestritamente contido em ou seja, existe pelo menos um tal que Em particular, oconjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, é o único subconjunto de um conjunto quenão é próprio. Assim, dizemos que é umsubconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de
