Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Emmecânica clássica, umsistema hamiltoniano é umsistema físico no qual asforças são invariantes da velocidade.

Os sistemas hamiltonianos são estudados namecânica hamiltoniana.

Emmatemática, um sistema hamiltoniano é um sistema deequações diferenciais que podem ser escritas na forma deequações de Hamilton. Os sistemas hamiltonianos são usualmente formulados em termos doscampos de vectores hamiltonianos numavariedade simplética ouvariedade de Poisson. Os sistemas hamiltonianos são um caso especial desistemas dinâmicos.^[1]

Um sistema de segunda ordem

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y)\end{array}}$

designa-se de sistema hamiltoniano se as funções${\displaystyle f}$ e${\displaystyle g}$ verificam a relação:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}=-\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }y}}$

Se um sistema é hamiltoniano, existirá umafunção de estado,${\displaystyle H(x,y)}$,designada porfunção hamiltoniana, que permite definir asequações de evolução:^[1]

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\dot{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }y}}\\ \dot{y}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }x}}\end{array}}$

Nomeadamente, a função hamiltoniana contêm toda a informação dinâmicado sistema. Qualquer função hamiltoniana define um sistema dinâmico. Equalquer conjunto de equações de evolução, que verifiquem as condiçõespara ser sistema hamiltoniano, definem uma função hamiltoniana atravésdas relações:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }y}=f(x,y)}\\ {\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }x}=-g(x,y)}\end{array}}$

Enquanto um sistema hamiltoniano evolui, a função hamiltoniana permanececonstante:

${\displaystyle \frac{dH}{dt}=\dot{x}\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }x}+\dot{y}\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }y}\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }x}\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }y}=0}$

isso implica que as soluções, no espaço de fase, são a família de curvas

${\displaystyle H(x,y)=constante}$

com diferentes valores da constante.

Os sistemas mecânicos sem forças dissipativas são sistemashamiltonianos. A função hamiltoniana é aenergia mecânica; asvariáveis de estado poderão ser omomento linear e a posição (um parde variáveis por cada coordenada), ou o momento angular e um ângulo.^[1]

Um sistema hamiltoniano só pode terpontos de sela ecentros. Esseresultado explica-se pelo facto de que o traço damatriz jacobiana, emqualquer ponto fixo, é nulo, como podemos conferir, escrevendo amatriz jacobiana a partir da função hamiltoniana:

um dos valores próprios damatriz jacobiana será sempre igual aooutro, com sinal oposto. Os pontos onde os valores próprios foremreais, serão pontos de sela, e os pontos onde os valores própriosforem imaginários serão centros.^[1]

Um sistema de segunda ordem

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y)\end{array}}$

designa-se desistema gradiente se as funções${\displaystyle f}$ e${\displaystyle g}$verificam a relação:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }x}}$

nesse caso, existirá umafunção potencial,${\displaystyle V(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}f(x,y)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}}\\ g(x,y)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }y}}\end{array}}$

as soluções do sistema são as curvas onde o potencial${\displaystyle V}$ decrescemais rapidamente: na direção do gradiente do potencial, mas comsentido oposto.^[1]

A matriz Jacobiana é igual àmatriz Hessiana do potencial:

por ser uma matriz simétrica, deverá ter unicamente valores própriosreais. Assim, um sistema potencial não pode ter focos nem centros. Todosos seus pontos fixos serão sempre ou nós ou pontos de sela.

O Pêndulo de Wilberforce consiste num objeto, ligado a uma mola vertical, que pode oscilar na vertical, ou rodar no plano horizontal.^[1]

Para além daenergia cinética de translação, existe energia cinéticade rotação, que depende domomento angular,${\displaystyle L}$, e domomento de inércia,${\displaystyle I}$. A energia elástica de torção éproporcional ao quadrado do ângulo de rotação:

${\displaystyle H=\frac{p^2}{2m}+\frac{L^2}{2I}+\frac{k}{2}{z}^2+\frac{a}{2}{\theta }^2+\frac{b}{2}z\theta }$

o termo de acoplamento é devido à relação que existe entre oalongamento e a torção da mola.

Por cada par deslocamento-momento, existem duas equações de movimento:

o sistema obtido é:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\dot{z}={\displaystyle \frac{p}{m}}\\ \dot{\theta }={\displaystyle \frac{L}{I}}\\ \dot{p}=-kz-{\displaystyle \frac{b}{2}\theta }\\ \dot{L}=-a\theta -{\displaystyle \frac{b}{2}z}\end{array}}$

• Bilhar dinâmico
• Sistema planetários

• Teorema de Liouville
• Sistema integrável

Referências

• Portal da matemática

• Mecânica hamiltoniana