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Raízes cúbicas da unidade noplano complexo | Raízes quintas da unidade no plano complexo |
Emmatemática, asraízesn-ésimas da unidade, ou números dede Moivre[1], são todos osnúmeros complexos que resultam 1 quando sãoelevados an. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para ateoria dos números, para a representação decaráter emteoria dos grupos, e para atransformada discreta de Fourier. Pode-se demonstrar que estão localizados nocírculo unitário doplano complexo e que nesse plano formam osvértices de umpolígono regular den lados com um vértice sobre 1.
Uma raizn-ésima da unidade é chamada deprimitiva (ou seja, umaraiz primitivan-ésima da unidade) quando ela não é também uma raizm-ésima da unidade param < n. Por exemplo,i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.
Diz-se que umaraizn-ésima da unidade, onde n é um inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …), é um número complexoz que satisfaça aequação
que, peloteorema fundamental da álgebra, possui raízes no conjunto dos números complexos.[2]
Uma das soluções sempre será o número, já que para qualquer inteiro positivo. As demais soluções podem ser obtidas reescrevendo o número de forma conveniente através dafórmula de Euler:
Substituindo-se, onde obtém-se:
Implicando que o número pode ser escrito da seguinte forma:
Resolve-se, então, a equação que define as raízes da unidade:
Então pode ser escrito como:
A princípio, tal expressão aponta para um número infinito de soluções. No entanto, dado a periodicidade das funções seno e cosseno, há mais de um associado a uma mesma raiz. De fato, há infinitos associados a um mesmo valor de que seja dado por um valor principal. A relação decongruência entre e é, por análise:
Desse modo, a solução resume-se a raízes para, dadas por:
A soma das raízes da unidade é igual a,. Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de umaprogressão geométrica.
Outra maneira de provar essa propriedade, é considerar asrelações de Girard. Observando o polinômio , é fácil notar que a soma das raízes é igual a.
Através dasrelações de Girard, pode-se deduzir que o produto das raízes é para ímpar e para par.
Carl Friedrich Gauss demonstrou que o problema de resolver a equação, também denominada ciclotômica, pode ser reduzido a resolver uma série deequações quadráticas, para quando for umprimo de Fermat, isto é, para quando for um primo e puder ser escrito como, onde.Pierre Laurent Wantzel provou posteriormente, em 1836, que tal condição não só é suficiente, mas necessária.[3]
O teorema de Gauss-Wantzel possui um importante valor histórico por promover uma ligação entreanálise complexa egeometria euclidiana, visto que implica na especificação de quaispolígonos sãoconstrutíveis a partir derégua e compasso, problema milenar enfrentado pelos matemáticos desde aGrécia antiga. Nesse contexto, ele prova que o polígono de 17 lados, oheptadecágono, é construtível pelo número de lados ser um primo de Fermat, contrastando com polígonos menores como oheptágono e oeneágono, que não são construtíveis.
