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Produto cartesiano

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(Redirecionado deProduto Cartesiano)

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Esta páginacita fontes, mas quenão cobrem todo o conteúdo. Ajude ainserir referências (Encontre fontes:Google (N • L • A • I • WP refs) • ABW • CAPES).(junho de 2009)

Emmatemática, dados doisconjuntosX eY, oproduto cartesiano (ouproduto direto) desses dois (escrito comoX ×Y) é o conjunto de todos ospares ordenados, cujo primeiro termo pertence aX; e o segundo, aY.

X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\;\wedge \;y\in Y\}.

O produto cartesiano recebe seu nome deRené Descartes, cuja formulação dageometria analítica deu origem a este conceito.^[1]

Por exemplo, seX é conjunto dos 13 elementos dobaralho inglês:

X=\{\mathrm {A} ,\mathrm {K} ,\mathrm {Q} ,\mathrm {J} ,10,9,8,7,6,5,4,3,2\}

eY é o conjunto dos quatronaipes:

Y = {♠, ♥, ♦, ♣}

então o produto cartesiano desses dois conjuntos será o conjunto com as 52 cartas do baralho:

X ×Y = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.

Outro exemplo é oplano bidimensionalR ×R, ondeR é o conjunto denúmeros reais; e os pares ordenados têm a forma de (x,y), ondex ey são númerosreais (veja osistema de coordenadas cartesiano). Subconjuntos do produto cartesiano são chamados derelações binárias. Asfunções, um dos conceitos mais importantes da matemática, são definidas como tipos especiais de relações.

Teoria dos conjuntos

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Emteoria dos conjuntos e, em especial, na sua formulação pelosaxiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição de:

X\times Y=\{(x,y)\ |\ x\in X\land y\in Y\}

Não é satisfatória. Devemos construir, usando osaxiomas, um conjunto suficientemente grande para conter todos ospares ordenados, e, depois, reduzir este conjunto ao produto escalar peloaxioma da separação.

Como umpar ordenado é definido por $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ , temos que eles sãoconjuntos formados por subconjuntos da união dos conjuntosX eY. Ou seja, cada par ordenado é umsubconjunto doconjunto das partes de $X\cup Y$ . Portanto, oaxioma da potência deve ser aplicado duas vezes sobre aunião deX eY, e sobre este conjunto aplica-se oaxioma da separação.

Explicitamente:

$X\times Y=\{p\in P(P(X\cup Y))\ |\ p=\{\{x\},\{x,y\}\},x\in X,y\in Y\}$

Deve-se mostrar que ninguém ficou de fora, ou seja, que qualquer par ordenado pertence aoproduto escalar. Para isso, suponha que $a\in X\land b\in Y$ . Então, pela definição de união, $a\in X\cup Y\land b\in X\cup Y$ . Pela definição doconjunto das partes, $\{a\}\in P(X\cup Y)\land \{a,b\}\in P(X\cup Y)$ . Finalmente, aplicando-se de novo a definição doconjunto das partes, temos que $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\in P(P(X\cup Y))$ .

Cardinal

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Ocardinal do produto cartesiano de dois conjuntos é oproduto doscardinais dos conjuntos individuais:

|X\times Y|=|X|\cdot |Y|

Generalização

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O produto cartesiano pode ser generalizado para mais de dois conjuntos:

X₁ × ... ×X_n = { (x₁,... ,x_n) |x₁ pertence aX₁ e ... ex_n pertence aX_n }

ou intuitivamente:

(X₁ × ... ×X_n-1) ×X_n.

Um exemplo é o seguinte. Seja o conjunto L com três elementos:

{1, 2, 3}

o conjunto M com dois elementos:

{a, b},

e o conjunto N com 2 elementos:

{$, %},

o produto cartesiano L × M × N é:

{(1, a, $), (1, a, %), (2, a, $), (2, a, %), (3, a, $), (3, a, %), (1, b, $), (1, b, %), (2, b, $), (2, b, %), (3, b, $), (3, b, %)}

Um outro exemplo disso é oespaço euclidiano de três dimensões $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ .

Notação potencial

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Para expressar o produto cartesiano de um conjunto por si mesmo, está permitida a notação potencial:

${\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &=X^{n}\\&n\mathrm {vezes} \end{matrix}}$

Assim, o mencionadoespaço euclidiano tridimensional pode-se representar como $\mathbb {R} ^{3}$ .

Produto infinito

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A observação de que a estrutura do produto cartesiano $X^{n}$ tem umaestrutura semelhante ao conjunto das funções de domínio {1, 2, ..., n} e imagemX sugere que o produto cartesiano possa ser generalizado para infinitas parcelas, como um conjunto de funções.

Seja $\Lambda$ um conjunto (não-vazio), chamado de conjunto de índices. Seja $X_{\lambda }$ um conjunto definido para cada índice $\lambda \in \Lambda$ (eles podem ser iguais ou não). Então oproduto destes conjuntos é definido por:

$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\{f:\Lambda \rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\ ,\ f(a)\in X_{a}\}$

Exemplo

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Seja $\Lambda =\mathbb {N^{\star }}$ , ou seja, estamos indexando pelos números naturais (sem o zero). Seja $X_{i}=\{1,2,\ldots ,i\}$ . Então $\prod X_{i}$ é o conjunto das sequências de números naturais em que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3, etc.

Axioma da Escolha

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Um resultadoparadoxal é que, usando os axiomas usuais daTeoria dos Conjuntos sem incluir oaxioma da escolha, não é possível mostrar que o produto de conjuntos não-vazios tem algum elemento.

Projeção canônica

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As funções mais importantes que tem como domínio umproduto cartesiano são as projeções canônicas.

No caso finito, ai-ésima projeção canônica é a função que retorna ai-ésima coordenada.

Ou seja:

$\pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})=x_{i}$

No caso infinito, como cada elemento de $\Pi _{\lambda }X_{\lambda }$ é uma função, temos que:

$\pi _{\lambda }(f)=f(\lambda )$

Exemplos

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Em $\mathbb {R} ^{2}$ , as duas projeções canônicas são:

\pi _{1}(x,y)=x

\pi _{2}(x,y)=y

No conjunto dassequências de números reais, que pode ser visto como o produto $\Pi _{i\in \mathbb {N^{\star }} }\mathbb {R}$ , ai-ésima projeção canônica é a função que retorna oi-ésimo elemento. Por exemplo:

\pi _{10}(2,4,8,16,\ldots )=1024

Produtos de estruturas matemáticas

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Várias estruturas matemáticas são mantidas, de uma forma natural (canônica) ao se passar para os produtos cartesianos. Por exemplo:

o produto cartesiano degrupos é um grupo.
o produto cartesiano deespaços vetoriais sobre o mesmo corpo é um espaço vetorial.
o produto cartesiano detopologias é uma topologia, atopologia produto.

Todos estes conceitos podem ser unificados usando-se oproduto categorial, definido naTeoria das categorias.

Referências

↑«Cartesian».Merriam-Webster.com. 2009. Consultado em 1 de dezembro de 2009

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine

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