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Emmatemática, oProblema de Suslin é uma questão referente aconjuntos totalmente ordenados enunciada porMikhail Yakovlevich Suslin em 1920.[1] Solovay e Tennenbaum demonstraram que o Problema de Suslin não pode ser decidido na base dos axiomas deZFC[2]
(Suslin também é escrito Souslin, a transliteração francesa do cirílico Суслин.)
Dado umconjunto totalmente ordenado e não vazioR com as seguintes propriedades:
éR necessariamente isomorfo (segundo a ordem) ao conjunto dosnúmeros reais?
AHipótese de Suslin é a resposta afirmativa a essa questão. De maneira equivalente, a Hipótese de Suslin pode ser enunciada como: "todaárvore de tamanho ω1 ou bem tem um ramo de altura ω1, ou bem tem uma anti-cadeia de cardinalidade ω1.
Se a condição de cadeia enumerável é substituída pela condição "R contém um subconjunto enumerável denso", então pode ser demonstrado queR é isomorfo ao conjunto dos números reais. Na teoria doscorpos ordenados essa condição implica que o corpo é arquimediano.
AHipótese generalizada de Suslin afirma que para todo cardinal infinito regular κ, toda árvore de altura κ ou bem tem um ramo de comprimento κ, ou bem tem uma anti-cadeia de cardinal κ.
A Hipótese de Suslin é independente emZFC, pois não pode ser demonstrada nem refutada se os axiomas de ZFC são consistentes. Além disso, é independente tanto da Hipótese do Contínuo Generalizada como de sua negação. Entretanto, oAxioma de Martin mais a Hipótese do Contínuo implicam a Hipótese de Suslin. Uma consequência do chamado "Princípio Diamante, de Jensen" [utilizado na Teoria combinatória dos Conjuntos] é a negação da Hipótese de Souslin.
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