Emmatemática, ummulticonjunto (ou aindamultiset oumset) é uma modificação do conceito de umconjunto que, diferentemente de um conjunto,[1] permite várias instâncias para cada um de seuselementos. O número de instâncias fornecidas para cada elemento é chamado demultiplicidade.
Acardinalidade ou "tamanho" de um multiconjunto é a soma das multiplicidades de todos os seus elementos. Por exemplo, no multiset{a,a,b,b,b,c} as multiplicidades dos membrosa,b ec são respectivamente 2, 3 e 1 e, portanto, a cardinalidade desse multiset é 6.
Ummulticonjunto é definido como um par, onde é um conjunto qualquer, e afunção que associa a cada elemento deA umnúmero natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja.
Amultiplicidade de um elementoa é denotada por.
Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos vezes um elemento i do multiconjunto.
Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por, melhor < a,b,c,c,d,e,e> . A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.
Como os multiconjuntos são uma generalização de conjuntos, um multiconjunto B é um conjunto quando para todo.
Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:
Acardinalidade de um multiconjunto é definida como:
.
Emanálise combinatória, ummulticonjunto é o resultado de uma seleção com repetição, em que a ordem não é importante. O número de multiconjuntos de cardinalidadek, a partir den elementos, pode ser representado por,[2] uma notação parecida a usada para os coeficientes binomiais,.
Este número é dado pela fórmula seguinte[3][4]:
1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7?
É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais.
2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes?
Podemos considerar a seqüência seguinte:
Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação:
Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então
Você também pode utilizar a técnica dos *'s (asteriscos) e | (palitos), sendo neste caso: :18 asteriscos e 3 palitos:Assim, temos a combinação direta de asteriscos e palitos::
Outra forma de resolver esse problema é observando a figura acima. Há 18 bolas e 3 barras verticais indicando quatro caixas, cada uma em uma posição. Podemos permutar os termos que no total são 18+4-1 (18 bolas e 3 barras) e descontar as repetições já que as bolas são iguais e as barras também. Fazendopermutação de elementos iguais.
3-De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes onde há 6 sabores distintos disponíveis?
A Combinação Simples nos daria maneiras, contudo levaria em conta apenas os sorvetes de sabores distintos! A resposta correta será a Combinação por Repetição:
By a set (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Gansen) M of definite andseparate objects m (p.85)
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