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Momento do dipolo elétrico

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v d e

Emfísica, omomento do dipolo elétrico é a medida dapolaridade de um sistema decargas elétricas.

O momento do dipolo elétrico para uma distribuição discreta decargas pontuais é simplesmente asoma vetorial dos produtos da carga pela posição vetorial de cada carga.

${\vec {p}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {x}}_{i}$

Esta definição discreta também pode ser dada em uma forma contínua utilizando-se a densidade da carga, $\rho$ , no lugar da carga, $q {\displaystyle q}$ .

${\vec {p}}=\int \rho ({\vec {x}}){\vec {x}}dV$

O momento do dipolo é normalmente utilizado em sistemas que possuem carga total neutra. Por exemplo, um par de cargas opostas, ou um condutor neutro em umcampo elétrico uniforme. Para tais sistemas, o valor do momento do dipolo elétrico é independente da origem do sistema de eixos. Para sistemas não neutros, surge uma dependência da escolha da origem. Para que o momento do dipolo elétrico seja útil no cálculo dotorque em dipolo e para outros fins, a origem é frequentemente definida no centro da carga, ${\vec {R}}$ , para o sistema, que é definida como ocentro de massa e é, para alguns sistemas, a mesmo:

${\vec {R}}={\frac {1}{Q}}\sum _{i}\left|q_{i}\right\vert {\vec {x}}_{i},Q=\sum _{i}\left|q_{i}\right\vert$

Um par de cargas opostas

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Omomento do dipolo elétrico para um par de cargas opostas de magnitude "q" é definido como a magnitude da carga vezes a distância entre eles e a direção definida em relação à carga positiva.

${\vec {p}}=q{\vec {d}}$

É um conceito útil emátomos emoléculas onde os efeitos da separação das cargas são mensuráveis, mas a distância entre as cargas são muito pequenas para serem medidas com facilidade. Também é útil emdielétricos e outras aplicações em materiais sólidos e líquidos.

Expressão (caso geral)

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Mais geralmente, para uma distribuição contínua de carga confinada a um volumeV, a expressão correspondente para o momento de dipolo é:

$p(r)=\int \limits _{V}p(r_{0})(r_{0}-r)d^{3}r_{0}$

onde $r {\displaystyle r}$ localiza o ponto de observação e $d^{3}r_{o}$ indica um volume elementar emV. Para uma matriz de cargas pontuais, adensidade de carga torna-se uma soma das funções delta deDirac:

$p(r)=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\delta (r-r_{i})$

onde cada $r_{i}$ é um vetor de algum ponto de referência para a carga $q_{i}$ . A substituição na fórmula de integração acima fornece:

$p(r)=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\int \limits _{V}\delta (r_{0}-r_{i})(r_{0}-r_{i})d^{3}r_{0}=\sum _{i=1}^{N}q_{i}(r_{i}-r)$

Esta expressão é equivalente à expressão anterior no caso de neutralidade de carga eN=2. Para duas cargas opostas, denotando a localização da carga positiva do par como $r_{+}$ e a localização da carga negativa como $r_{-}$ :

$p(r)=q_{1}(r_{1}-r)+q_{2}(r_{2}-r)=q(r_{+}-r)-q(r_{-}-r)=q(r_{+}-r_{-})=qd$

mostrando que o vetor de momento dipolar é direcionado da carga negativa para a carga positiva porque ovetor de posição de um ponto é direcionado para fora da origem até aquele ponto.

O momento de dipolo é particularmente útil no contexto de um sistema neutro geral de cargas, por exemplo, um par de cargas opostas ou um condutor neutro em um campo elétrico uniforme. Para tal sistema de cargas, visualizado como uma matriz de cargas opostas emparelhadas, a relação para o momento de dipolo elétrico é:

$p(r)=\sum _{i=1}^{N}\int \limits _{V}q_{i}[\delta (r_{0}-(r_{i}-d_{i}))-\delta (r_{0}-r_{i})](r_{o}-r)d^{3}r_{0}$

$=\sum _{i=1}^{N}q_{i}[r_{i}+d_{i}-r-(r_{i}-r)]=\sum _{i=1}^{N}q_{i}d_{i}=\sum _{i=1}^{N}p_{i}$

onde $r {\displaystyle r}$ é o ponto de observação e $d_{i}=r_{i}^{'}-r_{i}$ , sendo $r_{i}$ a posição da carga negativa no dipoloi e $r_{i}^{'}$ a posição da carga positiva. Esta é asoma vetorial dos momentos dipolares individuais dos pares de carga neutros. (Por causa da neutralidade de carga geral, o momento dipolo é independente da posição $r {\displaystyle r}$ do observador). Assim, o valor de $p {\displaystyle p}$ é independente da escolha do ponto de referência, desde que a carga geral do sistema seja zero.

Ao discutir o momento de dipolo de um sistema não neutro, como o momento de dipolo dopróton, surge uma dependência da escolha do ponto de referência. Em tais casos, é convencional escolher o ponto de referência para ser ocentro de massa do sistema, não uma origem arbitrária.^[1] Esta escolha não é apenas uma questão de convenção: a noção de momento dipolar é essencialmente derivada da noção mecânica de torque e, como na mecânica, é computacionalmente e teoricamente útil escolher o centro de massa como o ponto de observação. Para uma molécula carregada, o centro de carga deve ser o ponto de referência em vez do centro de massa. Para sistemas neutros, o ponto de referência não é importante. O momento de dipolo é uma propriedadeintrínseca do sistema.

Potencial e campo de um dipolo elétrico

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Um dipolo ideal consiste em duas cargas opostas com separaçãoinfinitesimal. Calculamos o potencial e o campo de tal dipolo ideal começando com duas cargas opostas na separaçãod> 0, e tomando o limite comod → 0.

Duas cargas opostas próximas ±q têm um potencial da forma:

$\phi (r)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}|r-r_{+}|}}-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}|r-r_{-}|}},$

onde a separação de carga é:

$d=r_{+}-r$ , $d=|d|$ .

DeixeR denotar o vetor posição em relação ao ponto médior , e ${\hat {R}}$ ovetor unitário correspondente:

$R=r-{\frac {r_{+}+r}{2}}$ , ${\hat {R}}={\frac {R}{R}}$

Expansão de Taylor em ${\frac {d}{R}}$ (verexpansão multipolo equadrupolo) expressa esse potencial como uma série.^[2]^[3]

$\phi (R)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qd.{\hat {R}}}{R^{2}}}+0\left({\frac {d^{2}}{R^{2}}}\right)\approx {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {p.{\hat {R}}}{R^{2}}}$ ,

onde termos de ordem superior na série estão desaparecendo em grandes distâncias,R, em comparação comd. Aqui, o momento de dipolo elétricop é, como acima:

$p=qd$ .

O resultado para o potencial dipolo também pode ser expresso como:^[4]

$\phi (R)=-p.\nabla {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}R}}$ ,

que relaciona o potencial dipolo ao de uma carga pontual. Um ponto chave é que o potencial do dipolo diminui mais rápido com a distânciaR do que com a carga pontual.

O campo elétrico do dipolo é o gradiente negativo do potencial, levando a:^[4]

$E(R)={\frac {3(p.{\hat {R}}){\hat {R}}-p}{4\pi \epsilon _{0}R^{3}}}$ .

Assim, embora duas cargas opostas próximasnão sejam um dipolo elétrico ideal (porque seu potencial em distâncias curtas não é o de um dipolo), em distâncias muito maiores do que sua separação, seu momento de dipolop aparece diretamente em seu potencial e campo.

À medida que as duas cargas são aproximadas (d fica menor), o termo dipolo na expansão multipolar com base na razãod /R torna-se o único termo significativo em distânciasR cada vez mais próximas e no limite da separação infinitesimal o termo dipolo nesta expansão é tudo o que importa. Comod se torna infinitesimal, entretanto, a carga dipolar deve ser aumentada para manterp constante. Este processo de limitação resulta em um "dipolo pontual".

Densidade de momento dipolo e densidade de polarização

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O momento de dipolo de uma série de cargas,

$p=\sum _{i=1}^{N}q_{i}d_{i}$ ,

determina o grau de polaridade da matriz, mas para uma matriz neutra é simplesmente uma propriedade de vetor da matriz sem informações sobre a localização absoluta da matriz. Adensidade de momento dipolo da matrizp(r) contém a localização da matriz e seu momento dipolo. Quando chega a hora de calcular o campo elétrico em alguma região que contém a matriz, as equações de Maxwell são resolvidas e as informações sobre a matriz de carga estão contidas nadensidade de polarizaçãoP(r) das equações de Maxwell. Dependendo de quão refinada uma avaliação do campo elétrico é necessária, mais ou menos informações sobre a matriz de carga terão que ser expressas porP(r). Conforme explicado abaixo, às vezes é suficientemente preciso tomarP(r)=p(r). Às vezes, uma descrição mais detalhada é necessária (por exemplo, suplementando a densidade do momento dipolo com uma densidade quadrupolar adicional) e às vezes versões ainda mais elaboradas deP(r) são necessárias.

Agora é explorado apenas de que maneira a densidade de polarizaçãoP(r) que entra nasequações de Maxwell está relacionada ao momento dipolop de uma matriz neutra geral de cargas, e também àdensidade de momento dipolop(r) (que descreve não apenas o momento de dipolo, mas também a localização da matriz). Apenas as situações estáticas são consideradas no que segue, entãoP(r) não tem dependência do tempo e não hácorrente de deslocamento. Primeiro, há alguma discussão sobre a densidade de polarizaçãoP(r). Essa discussão é seguida de vários exemplos particulares.

Uma formulação das equações de Maxwell com base na divisão de cargas e correntes em cargas e correntes "livres" e "ligadas" leva à introdução dos camposD eP :

${\textstyle D=\epsilon _{0}E+P}$ ,

ondeP é chamado de densidade de polarização. Nesta formulação, a divergência desta equação produz:

$\nabla .D=\rho _{f}=\epsilon _{0}\nabla .E+\nabla .P$ ,

e como o termo de divergência emE é a cargatotal, e $\rho _{f}$ é "carga gratuita", ficamos com a relação:

$\nabla .P=\rho _{b}$ ,

com $\rho _{b}$ como a carga ligada, o que significa a diferença entre as densidades de carga total e livre.

Como um aparte, na ausência de efeitos magnéticos, as equações de Maxwell especificam que

$\nabla {\text{x}}E=0$ ,

que implica

$\nabla {\text{x}}(D-P)=0$

Aplicando adecomposição de Helmholtz:^[5]

$D-P=-\nabla$ φ,

para algum potencial escalarφ , e:

$\nabla .(D-P)=\epsilon _{0}\nabla .E=\rho _{f}+\rho _{b}=-\nabla ^{2}\varphi$ .

Suponha que as cargas sejam divididas em livres e limitadas e o potencial seja dividido em

$\varphi =\varphi _{f}+\varphi _{b}$ .

A satisfação das condições de contorno sobreφ pode ser dividida arbitrariamente entreφ_f eφ_b porque apenas a somaφ deve satisfazer essas condições. Segue-se queP é simplesmente proporcional ao campo elétrico devido às cargas selecionadas como limitadas, com condições de contorno que se mostram convenientes. Em particular, quandonenhuma carga livre está presente, uma escolha possível é $P=\epsilon _{0}E$ .

Em seguida, é discutido como várias descrições de momento dipolo diferentes de um meio se relacionam com a polarização que entra nas equações de Maxwell.

Meio com densidades de carga e dipolo

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Conforme descrito a seguir, um modelo para densidade de momento de polarizaçãop(r) resulta em uma polarização

$P(r)=p(r)$

restrito ao mesmo modelo. Para uma distribuição de momento dipolar que varia suavementep(r), a densidade de carga ligada correspondente é simplesmente

$\nabla .p(r)=\rho _{b}$ ,

como iremos estabelecer em breve viaintegração por partes. No entanto, sep(r) exibe uma etapa abrupta no momento de dipolo em um limite entre duas regiões, $\nabla .p(r)$ resulta em um componente de carga superficial de carga ligada. Esta carga de superfície pode ser tratada por meio de umaintegral de superfície ou usando condições de descontinuidade no limite, conforme ilustrado nos vários exemplos abaixo.

Como um primeiro exemplo relacionando o momento de dipolo à polarização, considere um meio composto de uma densidade de carga contínuaρ (r ) e uma distribuição de momento de dipolo contínuap(r).^[6] O potencial em uma posiçãor é:^[7]^[8]

$\phi (r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {p(r_{0})}{|r-r_{0}|}}d^{3}r_{0}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {p(r_{0}).(r-r_{0})}{|r-r_{0}|^{3}}}d^{3}r_{0}$

ondeρ(r) é a densidade de carga desemparelhada ep(r) é a densidade de momento dipolo. Usando uma identidade:

$\nabla _{r_{0}}{\frac {\rho (r_{0})}{|r-r_{0}|}}={\frac {(r-r_{0})}{|r-r_{0}|}}$

a integral de polarização pode ser transformada:

${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {p(r_{0}).(r-r_{0})}{|r-r_{0}|}}d^{3}r_{0}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int p(r_{0}).\nabla _{r_{0}}{\frac {1}{|r-r_{0}|}}d^{3}r_{0}$ ,

$={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \nabla _{r_{0}}.\left(p(r_{0}){\frac {1}{|r-r_{0}|}}\right)d^{3}r_{0}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{r_{0}}.p(r_{0})}{|r-r_{0}|}}d^{3}r_{0}$ ,

O primeiro termo pode ser transformado em uma integral sobre a superfície limitando o volume de integração e contribui com uma densidade de carga superficial, discutida posteriormente. Colocando este resultado de volta ao potencial e ignorando a carga de superfície por enquanto:

$\phi (r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {p(r_{0})-\nabla _{r_{0}}.p(r_{0})}{|r-r_{0}|}}d^{3}r_{0}$ ,

onde a integração do volume se estende apenas até a superfície delimitadora e não inclui essa superfície.

O potencial é determinado pela carga total, que o mostrado acima consiste em:

$\rho _{total}(r_{0})=\rho (r_{0})-\nabla _{r_{0}}.p(r_{0})$ ,

mostrando que:

$-\nabla _{r_{0}}.p(r_{0})=\rho _{b}$ .

Em suma, a densidade de momento dipolarp(r) desempenha o papel da densidade de polarizaçãoP para este meio. Observe,p(r) tem uma divergência diferente de zero igual à densidade de carga limitada (conforme modelado nesta aproximação).

Pode-se notar que esta abordagem pode ser estendida para incluir todos os multipolos: dipolo, quadrupolo, etc.^[9]^[10] Usando a relação:

$\nabla .D=\rho _{f}$ ,

a densidade de polarização é considerada:

$P(r)=P_{dip}\nabla .P_{quad}+...$ ,

onde os termos adicionados são destinados a indicar contribuições de multipolares superiores. Evidentemente, a inclusão de multipolos mais altos significa que a densidade de polarizaçãoP não é mais determinada por uma densidade de momento dipolop sozinha. Por exemplo, ao considerar o espalhamento de uma matriz de carga, diferentes multipolos espalham uma onda eletromagnética de maneira diferente e independente, exigindo uma representação das cargas que vai além da aproximação dipolo.^[11]

Energia e torque

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Um objeto com um momento de dipolo elétrico está sujeito a umtorque ${\vec {\tau }}$ quando colocado em um campo elétrico externo. O torque tende a alinhar o dipolo com o campo. Um dipolo alinhado paralelamente a um campo elétrico tem menorenergia potencial do que um dipolo fazendo algum ângulo com ele. Para um campo elétrico espacialmente uniforme ${\vec {E}}$ , a energia $U {\displaystyle U}$ e o torque ${\vec {\tau }}$ são dados por:^[12]

$U=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$ ,

${\vec {\tau }}={\vec {p}}\times {\vec {E}}$ .

Nessas expressões ${\vec {p}}$ é o momento de dipolo e o símbolo $\times$ refere-se aoproduto vetorial. O vetor de campo e o vetor de dipolo definem um plano, e o torque é perpendicular a esse plano e seu sentido é dado pelaregra da mão direita.

Um dipolo paralelo ou anti-paralelo à direção em que um campo elétrico não uniforme está aumentando (gradiente do campo) experimentará um torque, bem como uma força na direção de seu momento dipolar. Pode-se mostrar que esta força será sempre paralela ao momento dipolar, independentemente da orientação paralela ou anti-paralela do dipolo.

Momentos de dipolo elétrico de partículas fundamentais

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Não confundindo com ospin que se refere aosmomentos dipolares magnéticos das partículas, muitos trabalhos experimentais continuam na medição dos momentos dipolares elétricos (MDE) de partículas fundamentais e compostas, nomeadamente as doelétron e donêutron, respectivamente. Como os MDEs violam as simetrias deparidade (P) einversão de tempo (T), seus valores produzem uma medida deviolação de CP por natureza, independente do modelo (assumindo que a simetria de CPT é válida).^[13] Portanto, os valores para esses MDEs colocam fortes restrições sobre a escala de violação de CP que se estende aomodelo padrão dafísica de partículas. As gerações atuais de experimentos são projetadas para serem sensíveis à faixa desupersimetria dos EDMs, fornecendo experimentos complementares aos realizados noLHC.^[14]

Na verdade, muitas teorias são inconsistentes com os limites atuais e foram efetivamente descartadas, e a teoria estabelecida permite um valor muito maior do que esses limites, levando ao forte problema de CP e estimulando buscas por novas partículas como oáxion.^[15]

Momentos dipolares de moléculas

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Os momentos dipolares nas moléculas são responsáveis pelo comportamento de uma substância na presença de campos elétricos externos. Os dipolos tendem a estar alinhados com o campo externo que pode ser constante ou dependente do tempo. Este efeito forma a base de uma técnica experimental moderna chamadaespectroscopia dielétrica.

Momentos dipolares podem ser encontrados em moléculas comuns, como a água, e também embiomoléculas, como asproteínas.^[16]

Por meio do momento dipolar total de algum material pode-se calcular aconstante dielétrica que está relacionada ao conceito mais intuitivo de condutividade. E se $M_{Tot}$ é o momento dipolo total da amostra, então a constante dielétrica é dada por,

$\varepsilon =1+k(M_{Tot}^{2})$

ondek é uma constante e $M_{Tot}^{2}=(M_{Tot}(t=0)).(M_{Tot}(t=0))$ é a função de correlação de tempo do momento de dipolo total. Em geral, o momento dipolo total tem contribuições provenientes de translações e rotações das moléculas na amostra,

M_{Tot}=M_{Trans}+M_{Rot}

Portanto, a constante dielétrica (e a condutividade) tem contribuições de ambos os termos. Esta abordagem pode ser generalizada para calcular a função dielétrica dependente da frequência.^[17]

É possível calcular momentos dipolares a partir da teoria daestrutura eletrônica, seja em resposta a campos elétricos constantes ou a partir da matriz de densidade.^[18] Tais valores, entretanto, não são diretamente comparáveis ao experimento devido à presença potencial de efeitos quânticos nucleares, que podem ser substanciais até mesmo para sistemas simples como a molécula de amônia. ^[19] Ateoria do agrupamento acoplado (especialmente CCSD (T)^[20]) pode fornecer momentos de dipolo muito precisos,^[21] embora seja possível obter estimativas razoáveis (dentro de cerca de 5%) dateoria do funcional de densidade, especialmente se funcionais híbridos ou duplos são empregados.^[22] O momento dipolar de uma molécula também pode ser calculado com base na estrutura molecular usando o conceito de métodos de contribuição de grupo.^[23]