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Matrizes de Pauli

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Wolfgang Pauli (1900–1958) recebeu oNobel de Física em 1945, nominado porAlbert Einstein, peloprincípio de exclusão de Pauli.

Emmatemática e emfísica matemática, asmatrizes de Pauli formam um conjunto de trêsmatrizescomplexas 2x2hermitianas eunitárias.[1] Geralmente representadas pela letra grega sigma (σ), ou tau (τ) no contexto de simetrias de isospin. Elas são:

σ1=σx=(0110){\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}

σ2=σy=(0−ii0){\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}

σ3=σz=(100−1){\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}.

Estas matrizes devem seu nome ao físicoWolfgang Pauli. Namecânica quântica, elas ocorrem naequação de Pauli que descreve a interação dospin de uma partícula com umcampo eletromagnético externo. Também representam os estados de interação entre dois filtros polarizados em polarizações horizontal/vertical, em 45 graus (direita/esquerda) e circular (direita/esquerda).

Cada matriz de Pauli éhermitiana(σi=σi†){\displaystyle (\sigma _{i}=\sigma _{i}^{\dagger })}, e junto àmatriz identidadeI (algumas vezes representada porσ0{\displaystyle \sigma _{0}}), as matrizes de Pauli formam uma base (através de coeficientes reais) para oespaço vetorial das matrizes hermitianas 2x2. Assim, qualquer matriz hermitiana 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear de matrizes de Pauli, com todos os seuscoeficientes sendonúmeros reais.

Operadores hermitianos representamobserváveis na mecânica quântica, de forma que as matrizes de Pauli geram o espaço de observáveis do espaço de Hilbert de dimensão dois. Na obra de Pauli, asσk{\displaystyle \sigma _{k}} representam o observável correspondente à projeção do spin no eixo-k doespaço euclidiano tridimensionalR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

As matrizes de Pauli (após multiplicação pori{\displaystyle i} para se tornaremanti-hermitianas), também geram transformações no sentido deálgebras de Lie: as{iσk}{\displaystyle \{i\sigma _{k}\}}, ao serem exponenciadas, geram o grupoSU(2), ou seja,{iσk}{\displaystyle \{i\sigma _{k}\}} é uma base da álgebra de Liesu(2){\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}. A álgebra gerada por{σk}{\displaystyle \{\sigma _{k}\}} é isomórfica àálgebra de Clifford doR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, e aálgebra unital associativa gerada poriσ1,iσ2,iσ3 é isomórfica ao quaternião (H{\displaystyle \mathbb {H} }).

Propriedades algébricas

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As matrizes de Pauli obedecem às seguintes relações de comutação:[σi,σj]=2iεijkσk{\displaystyle \left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}}

ondeεijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}} é osímbolo de Levi-Civita.

Outras propriedades importantes são:

σx2=σy2=σz2=(1001)=I{\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}

det⁡(σi)=−1{\displaystyle \operatorname {det} (\sigma _{i})=-1}

Tr⁡(σi)=0{\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0}

As matrizes de Pauli têm grande utilidade na mecânica quântica. A aplicação mais conhecida é a representação dooperador de spin para uma partícula de spin 1/2. Assim, tem-se

s^i =ℏ2σi{\displaystyle {\hat {s}}_{i}\ ={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}}

Ver também

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Referências

  1. ↑«Pauli matrices».planetmath.org. 29 de dezembro de 2018. Consultado em 25 de agosto de 2022 


Classes dematriz
Elementos explicitamente restritos
Constante
Condições sobre
autovalores e autovetores
Satisfazendo condições
sobreprodutos ouinversas
Com aplicações específicas
Usada emestatística
Usada emteoria dos grafos
Usada em ciência e engenharia
Termos relacionados
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