Emmatemática,matriz congruente é umarelação de equivalência noconjuntos das matrizes reaisquadradas. Duas matriz${\displaystyle A}$ e${\displaystyle B}$ são congruentes, se existe umamatriz invertível${\displaystyle P}$, do mesmo tipo, tal que${\displaystyle A=P^{T}BP}$.^[1][2]

Uma matriz real quadrada${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ é congruente à matriz real quadrada${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle B}$ quando existe uma matriz${\displaystyle P}$ invertível tal que${\displaystyle A=P^{T}BP}$.^[1][2]

Observamos que esta definição exige que${\displaystyle P}$ seja uma matriz quadrada de mesma ordem de${\displaystyle A}$ e${\displaystyle B}$.

A relação de congruência define uma relação de equivalência no conjunto das matrizes reais quadradas${\displaystyle {\mathbb{M}}_n}$, i.e.:^[1]

1. (reflexividade) toda matriz${\displaystyle A\in {\mathbb{M}}_n}$ é congruente a si mesma;
2. (simetria) se${\displaystyle A\in {\mathbb{M}}_n}$ é congruente a${\displaystyle B\in {\mathbb{M}}_n}$, então${\displaystyle B}$ é congruente a${\displaystyle A}$;
3. (transitividade) se${\displaystyle A\in {\mathbb{M}}_n}$ é congruente a${\displaystyle B\in {\mathbb{M}}_n}$ e${\displaystyle B}$ é congruente a${\displaystyle C\in {\mathbb{M}}_n}$, então${\displaystyle A}$ é congruente a${\displaystyle C}$.

Da relação de simetria, vemos que está bem definido dizer que duas matrizes são congruentes (como exposto na introdução).

Demonstração

1. Basta observar que${\displaystyle A=I_n^{T}A{I}_n}$, onde${\displaystyle I_n}$ é amatriz identidade em${\displaystyle {\mathbb{M}}_n}$.
2. Se${\displaystyle A\in {\mathbb{M}}_n}$ é congruente a${\displaystyle B\in {\mathbb{M}}_n}$, então, por definição, existe${\displaystyle P\in {\mathbb{M}}_n}$ invertível tal que${\displaystyle A=P^{T}BP}$. Escolhendo${\displaystyle Q=P^{-1}}$, vemos que${\displaystyle B=Q^{T}AQ}$, i.e.${\displaystyle B}$ é congruente a${\displaystyle A}$.
3. Se${\displaystyle A\in {\mathbb{M}}_n}$ é congruente a${\displaystyle B\in {\mathbb{M}}_n}$ e${\displaystyle B}$ é congruente a${\displaystyle C\in {\mathbb{M}}_n}$, então existem${\displaystyle P,Q\in {\mathbb{M}}_n}$ tais que${\displaystyle A=P^{T}BP}$ e${\displaystyle B=Q^{T}CQ}$. Mas, então, temos${\displaystyle A=P^T(Q^{T}CQ)P=(QP{)}^{T}C(QP)}$, i.e.${\displaystyle A}$ é congruente a${\displaystyle C}$.

Seja${\displaystyle f:V\times V\to \mathbb{R}}$ umaforma bilinear, onde${\displaystyle V}$ é umespaço euclidiano de dimensão finita${\displaystyle n}$. Seja, ainda,${\displaystyle B_u=\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\dots ,{\mathbf{u}}_n\}}$ e${\displaystyle B_v=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}}$ duas bases para${\displaystyle V}$. Então, são congruentes as matrizes${\displaystyle A=[f({\mathbf{u}}_i,{\mathbf{u}}_j){]}_{i,j=1}^{n,n}}$ e${\displaystyle B=[f({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j){]}_{i,j=1}^{n,n}}$ da forma bilinear nas bases${\displaystyle B_u}$ e${\displaystyle B_v}$, respectivamente.^[1]

Demonstração

Sejam${\displaystyle \mathbf{u},\mathbf{v}\in V}$ e suas representações nas bases${\displaystyle B_u}$ e${\displaystyle B_v}$:

${\displaystyle \mathbf{u}=\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathbf{u}}_i=\sum _{i=1}^n{c}_i^{\prime }{\mathbf{v}}_i}$

${\displaystyle \text{e}\mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{d}_i{\mathbf{u}}_i=\sum _{i=1}^n{d}_i^{\prime }{\mathbf{v}}_i}$.

Seja, agora,${\displaystyle P}$ amatriz de mudança da base${\displaystyle B_v}$ para a base${\displaystyle B_u}$, i.e.:

${\displaystyle \mathbf{c}=P{\mathbf{c}}^{\prime }\text{e}\mathbf{d}=P{\mathbf{d}}^{\prime }}$

onde,${\displaystyle \mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots ,c_n)}$ e notação análoga para${\displaystyle {\mathbf{c}}^{\prime }}$,${\displaystyle \mathbf{d}}$ e${\displaystyle {\mathbf{d}}^{\prime }}$.

Além disso, temos:

${\displaystyle f(\mathbf{u},\mathbf{v})=f\left(\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathbf{u}}_i,\sum _{j=1}^n{d}_j{\mathbf{u}}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{c}_{i}f({\mathbf{u}}_i,{\mathbf{u}}_j)d_i}$

e

${\displaystyle f(\mathbf{u},\mathbf{v})=f\left(\sum _{i=1}^n{c}_i^{\prime }{\mathbf{v}}_i,\sum _{j=1}^n{d}_j^{\prime }{\mathbf{v}}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{c}_i^{\prime }f({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j)d^{\prime }i}$

donde,${\displaystyle {\mathbf{c}}^{T}A\mathbf{d}={{\mathbf{c}}^{\prime }}^{T}B{\mathbf{d}}^{\prime }}$. O que, por sua vez, implica:

${\displaystyle {{\mathbf{c}}^{\prime }}^T(P^{T}AP){\mathbf{d}}^{\prime }={{\mathbf{c}}^{\prime }}^{T}B{\mathbf{d}}^{\prime }}$.

Como os vetores${\displaystyle \mathbf{u}}$ e${\displaystyle \mathbf{v}}$ são arbitrários, temos${\displaystyle B=P^{T}AP}$, i.e.,${\displaystyle A}$ e${\displaystyle B}$ são matrizes congruentes. Isso completa a prova.

Se a matriz${\displaystyle A}$ éortogonalmente diagonalizável, então exite umamatriz diagonal${\displaystyle D}$ congruente a${\displaystyle A}$.^[3]

Demonstração

Com efeito, uma matriz${\displaystyle A}$ é ortogonalmente diagonalizávelse, e somente se, existe uma matriz diagonal${\displaystyle D}$ tal que:

${\displaystyle D=P^{-1}AP}$

onde,${\displaystyle P}$ é umamatriz ortogonal, i.e.${\displaystyle P^{-1}=P^T}$. Isto é dizer,${\displaystyle D=P^{T}AP}$, o que conclui a demonstração.

• Matriz semelhante
• Matriz diagonalizável

Referências

• Matrizes