Naálgebra linear, umamatriz aumentada é umamatriz obtida anexando as colunas de duas matrizes fornecidas, geralmente com o objetivo de executar as mesmas operações de linha elementares em cada uma das matrizes fornecidas.

Dadas as matrizes${\displaystyle A}$ e${\displaystyle B}$, onde

a matriz aumentada${\displaystyle (A|B)}$ é escrita como

Isso é útil ao resolversistemas de equações lineares.

Para um determinado número deincógnitas, o número de soluções para um sistema de equações lineares depende apenas doposto da matriz que representa o sistema e do posto da matriz aumentada correspondente. Especificamente, de acordo com oteorema de Rouché-Capelli, qualquer sistema de equações lineares é inconsistente (não possui soluções) se o posto da matriz aumentada for maior que o posto da matriz docoeficiente; se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes forem iguais, o sistema deverá ter pelo menos uma solução. A solução é únicase e somente se o posto for igual ao número de variáveis. Caso contrário, a solução geral terá${\displaystyle k}$ parâmetros livres, onde${\displaystyle k}$ é a diferença entre o número de variáveis e o posto; portanto, nesse caso, há uma infinidade de soluções.

Uma matriz aumentada também pode ser usada para encontrar ainversa de uma matriz combinando-a com amatriz identidade.

Seja${\displaystyle C}$ a matriz quadrada${\displaystyle 2\times 2}$

Para encontrar o inverso de${\displaystyle C}$, criamos${\displaystyle (C|I)}$ onde${\displaystyle I}$ é amatriz identidade${\displaystyle 2\times 2}$. Em seguida, reduzimos a parte de${\displaystyle (C|I)}$ correspondente a${\displaystyle C}$ à matriz identidade usando apenasoperações de linha elementares em${\displaystyle (C|I)}$.

,

a parte direita é o inverso da matriz${\displaystyle C}$ original.

Seja${\displaystyle U}$ a matriz quadrada${\displaystyle 3\times 3}$

Para encontrar o inverso de${\displaystyle U}$, criamos${\displaystyle (U|I)}$ e usamosoperações elementares para escalonar a matriz

onde${\displaystyle U^{-1}}$ está a direita da matriz identidade.

Considere osistema de equações

A matriz dos coeficientes é

e a matriz aumentada é

Como ambas têm o mesmoposto, ou seja, 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo a última 3, há um número infinito de soluções.

Por outro lado, considere o sistema

A matriz dos coeficientes é

e a matriz aumentada é

Neste exemplo, a matriz dos coeficientes possui posto 2, enquanto a matriz aumentada possui posto 3; então esse sistema de equações não tem solução. De fato, um aumento no número de linhas linearmente independentes tornou o sistema de equaçõesinconsistente.

Como usado na álgebra linear, uma matriz aumentada é usada para representar oscoeficientes e o vetor de solução de cada conjunto de equações.

Para o conjunto de equações

os coeficientes e termos constantes dão as matrizes

e, portanto, resulta na matriz aumentada

.

Observe que o posto da matriz dos coeficientes, que é 3, é igual ao posto da matriz aumentada; portanto, existe pelo menos uma solução; e como esse posto é igual ao número de incógnitas, existe exatamente uma solução.

Para obter a solução,operações de linha podem ser executadas na matriz aumentada para obter a matriz identidade no lado esquerdo, produzindo

então a solução do sistema é${\displaystyle (x,y,z)=(4,1,-2)}$.

• Marvin Marcus e Henryk Minc,A survey of matrix theory and matrix inequalities,Dover Publications, 1992,ISBN 0-486-67102-X. Pg. 31.
• Seymour Lipschutz e Marc Lipson,Matemática Discreta - 2.ed., Grupo A - Bookman, 2000,ISBN 8577803279. Pg. 110

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