Matemática é uma área doconhecimento que inclui os tópicos dosnúmeros,fórmulas e estruturas relacionadas, formas e os espaços em que estão contidos, e quantidades e suas mudanças. Esses tópicos são representados na matemática moderna com as principais subdisciplinas dateoria dos números,[1]álgebra,[2]geometria[1] eanálise,[3] respectivamente. No entanto, não há consenso entre os matemáticos sobre uma definição comum para adisciplina acadêmica que estudam.
Grande parte da atividade matemática envolve a descoberta de propriedades deobjetos abstratos e o uso darazão pura paraprová-las. Estes objetos consistem emabstrações da natureza ou — segundo amatemática moderna — entidades que são estipuladas por certas propriedades, chamadasaxiomas. Umaprova matemática consiste em uma sucessão de aplicações deregras dedutivas a resultados já estabelecidos. Estes resultados incluemteoremas previamente provados, axiomas e — no caso de abstração da natureza — algumas propriedades básicas que são consideradas pontos de partida da teoria em consideração.[4]
A palavramatemática vem dogrego antigomáthēma e significa "aquilo que se aprende",[10] "aquilo que se conhece", assim como "estudo" e "ciência". A palavra passou a ter o significado mais restrito e técnico de "estudo matemático" mesmo noperíodo clássico.[b] Seuadjetivo émathēmatikós (μαθηματικός), que significa "relacionado à aprendizagem" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático".[14] Em particular,mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; emlatim: ars mathematica) significava "a arte matemática".[10]
Da mesma maneira, uma das duas principaisescolas de pensamento dopitagorismo era conhecida em grego antigo comomathēmatikoi (μαθηματικοί) — que na época significava "alunos" ao invés do significado moderno dado ao termo "matemáticos". Os pitagóricos foram provavelmente os primeiros a restringir o uso da palavra apenas ao estudo daaritmética e dageometria. Na época deAristóteles (384-322 a.C.) este significado foi totalmente estabelecido.[15]
Emlatim até cerca de 1700, o termomatemática tinha como significado mais comum "astrologia" (ou às vezes "astronomia"); isto mudou gradualmente para o significado atual entre 1500 e 1800. Esta mudança resultou em vários erros de tradução: Por exemplo, a advertência deSanto Agostinho de que os cristãos deveriam tomar cuidado com osmathematici, que significa "astrólogos", às vezes é mal traduzida como uma condenação dos matemáticos.[16]
Durante o período doRenascimento, surgiram mais dois campos de estudo matemáticos. Anotação deu origem àálgebra que, a grosso modo, consiste no estudo e na manipulação defórmulas. Ocálculo, que consiste nos dois subcamposdiferencial eintegral, é o estudo defunções contínuas que modelam asrelações tipicamente não lineares entre quantidades representadas porvariáveis. Esta divisão em quatro áreas principais – aritmética, geometria, álgebra, cálculo[19] – perdurou até o final do século XIX. Áreas comomecânica celeste emecânica dos sólidos eram então estudadas por matemáticos, mas agora são consideradas pertencentes àfísica.[20] O tema dacombinatória foi estudado durante grande parte da história registrada, mas não se tornou um ramo separado da matemática até o século XVII.[21]
No final do século XIX, acrise fundamental da matemática e a resultante sistematização dométodo axiomático levaram a uma explosão de novasáreas da matemática nunca antes vista.[22][9] A edição de 2020 da Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, contém nada menos que 63 áreas matemáticas consideradas de primeiro nível.[23] Algumas delas correspondem à divisão mais antiga, como é o caso dateoria dos números e da geometria. Várias outras têm "geometria" em seus nomes ou são comumente consideradas parte da geometria. Álgebra e cálculo não aparecem como áreas de primeiro nível, mas são campos divididos em várias áreas. Outras áreas de primeiro nível surgiram durante o século XX ou não eram consideradas anteriormente como parte da matemática, como alógica e osfundamentos matemáticos.[24]
Na superfície de uma esfera, ageometria euclidiana só se aplica como aproximação local. Para escalas maiores a soma dos ângulos de um triângulo não é igual a 180°.
Ageometria é um dos ramos mais antigos da matemática e começou com receitas empíricas sobre formas, comolinhas,ângulos ecírculos, que foram desenvolvidas principalmente para atopografia e aarquitetura, mas desde então floresceram em muitos outros subcampos.[30]
Uma inovação fundamental foi a introdução, pelos antigos gregos, do conceito deprovas, que exige que cada afirmação sejaprovada. Por exemplo, não é suficiente verificar pormedição que, digamos, dois comprimentos são iguais; sua igualdade deve ser provada através do raciocínio a partir de resultados previamente aceitos (teoremas) e de algumas afirmações básicas que não estão sujeitas a prova porque são evidentes (postulados) ou que fazem parte da definição do objeto de estudo (axiomas). Este princípio, fundamental para toda a matemática, foi elaborado pela primeira vez para a geometria e foi sistematizado porEuclides por volta do ano 300 a.C. em sua obraOs Elementos.[31][32]
Ageometria euclidiana é o estudo das formas e seus arranjosconstruídos a partir de retas,planos e círculos noplano e noespaço euclidiano tridimensional.[c][30] Foi desenvolvida sem mudança de métodos ou escopo até o século XVII, quandoRené Descartes introduziu o que hoje é chamado decoordenadas cartesianas, o que constituiu uma grandemudança de paradigma: em vez de definirnúmeros reais como comprimentos de segmentos de reta (verreta numérica), permitiu a representação de pontos usando suascoordenadas, que são números. A álgebra (e mais tarde o cálculo) pode, portanto, ser usada para resolver problemas geométricos. A geometria foi dividida em dois novos subcampos:geometria sintética, que utiliza métodos puramente geométricos, egeometria analítica, que utiliza coordenadas sistemicamente.[33] A geometria analítica permite o estudo decurvas não relacionadas a círculos e linhas. Tais curvas podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou àgeometria diferencial. Elas também podem ser definidas comoequações implícitas, muitas vezesequações polinomiais (que geraram ageometria algébrica). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.[30]
Ageometria analítica permite o estudo dascurvas não relacionadas a círculos e linhas que podem ser definidas como o gráfico de funções, cujo estudo levou ao surgimento da área dageometria diferencial. Tais curvas também podem ser definidas comoequações implícitas, muitas vezesequações polinomiais (que geraram ageometria algébrica). A geometria analítica também permite considerar espaços euclidianos superiores a três dimensões.[30]
No século XIX, os matemáticos descobriramgeometrias não euclidianas, ou seja, que não seguem opostulado das paralelas. Ao questionar a verdade deste postulado, esta descoberta foi interpretada como uma adesão aoParadoxo de Russell ao revelar acrise fundamental da matemática. Este aspecto da crise foi resolvido por meio da sistematização do método axiomático e pela noção de que a verdade dos axiomas escolhidos, na verdade, não é umproblema matemático.[34][9] Por sua vez, o método axiomático permite o estudo de diversas geometrias obtidas quer pela alteração dos axiomas, quer pela consideração de propriedades quenão mudam sob transformações específicas doespaço.[35]
Geometria projetiva, introduzida no século XVI porGirard Desargues, estende a geometria euclidiana adicionandopontos impróprios nos quaislinhas paralelas se cruzam. Isto simplifica muitos aspectos da geometria clássica, unificando os tratamentos para linhas paralelas e que se cruzam.
Geometria afim, o estudo das propriedades relativas aoparalelismo e independentes do conceito de comprimento.
Aálgebra é a arte de manipularequações e fórmulas.Diofanto (século III) eAlcuarismi (século IX) foram os dois principais precursores deste campo de estudo matemático.[37][38] O grego Diofanto resolveu algumas equações envolvendo números naturais desconhecidos ao deduzir novas relações até obter a solução. O persa Alcuarismi, por sua vez, introduziu métodos sistemáticos para transformar equações, como mover um termo de um lado de uma equação para o outro lado. O termo "álgebra" é derivado da palavraárabeal-jabr que significa 'a reunião de partes quebradas' que ele usou para nomear um desses métodos no título deseu tratado principal.[39]
A álgebra tornou-se uma área independente apenas comFrançois Viète (1540-1603), que introduziu o uso de variáveis para representar números desconhecidos ou não especificados.[40]
Até o século XIX, a álgebra consistia principalmente no estudo deequações lineares (atualmenteálgebra linear) e deequações polinomiais em uma únicaincógnita, que eram chamadas deequações algébricas (termo ainda em uso, embora possa ser ambíguo). Durante o século XIX, os matemáticos começaram a usar variáveis para representar outras coisas além dos números (comomatrizes,inteiros modulares etransformações geométricas), nas quais generalizações de operações aritméticas são frequentemente válidas.[41] O conceito deestrutura algébrica aborda isto, consistindo em umconjunto cujos elementos não são especificados, em operações que atuam sobre os elementos do conjunto e em regras que essas operações devem seguir. O escopo da álgebra cresceu assim para incluir o estudo de estruturas algébricas. Este objeto da álgebra foi denominadoálgebra moderna ouálgebra abstrata, conforme estabelecido pela influência e trabalhos da matemática alemãEmmy Noether.[42]
Alguns tipos de estruturas algébricas têm propriedades úteis e muitas vezes fundamentais em muitas áreas da matemática. Seu estudo tornou-se parte autônoma da álgebra e inclui vários campos de estudos:[24]
UmaSequência de Cauchy consiste em elementos tais que todos os termos subsequentes de um termo tornam-se arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que a sequência avança (da esquerda para a direita).
Ocálculo, anteriormente chamado de cálculo infinitesimal, foi introduzido de forma independente e simultânea por dois matemáticos do século XVII,Newton eLeibniz.[45] É fundamentalmente o estudo da relação de variáveis que dependem umas das outras. O cálculo foi expandido no século XVIII porEuler com a introdução do conceito defunção e muitos outros resultados.[46]
Atualmente, “cálculo” refere-se principalmente à parte elementar desta teoria, e “análise” é comumente usada para partes avançadas. A análise é subdividida emanálise real, onde as variáveis representamnúmeros reais, eanálise complexa, onde as variáveis representamnúmeros complexos. Ela inclui muitas subáreas compartilhadas por outras áreas da matemática como:[24]
Análise numérica, dedicada principalmente ao cálculo em computadores de soluções de equações diferenciais ordinárias e parciais que surgem em muitas aplicações.
Um diagrama representando umacadeia de Markov de dois estados. Os estados são representados por 'A' e 'E'. Os números são a probabilidade de inverter o estado.
Amatemática discreta, em termos gerais, é o estudo de objetos matemáticos individuais econtáveis.[47] Como os objetos de estudo aqui são discretos, os métodos de cálculo e análise matemática não se aplicam diretamente.[d]Algoritmos — especialmente suaimplementação ecomplexidade computacional — desempenham um papel importante na matemática discreta.[48]
Combinatória, a arte de enumerar objetos matemáticos que satisfazem algumas restrições. Originalmente, estes objetos eram elementos ousubconjuntos de um determinadoconjunto; isto foi estendido a vários objetos, o que estabelece uma forte ligação entre a combinatória e outras partes da matemática discreta. Por exemplo, ageometria discreta inclui a contagem de configurações deformas geométricas;
Antes do estudo deCantor sobreconjuntos infinitos, os matemáticos relutavam em considerar coleçõesrealmente infinitas e consideravam oinfinito o resultado deuma enumeração infinita. O trabalho de Cantor ofendeu muitos matemáticos não apenas por considerar conjuntos realmente infinitos,[54] mas por mostrar que isto implica em diferentes tamanhos de infinito, de acordo com oargumento de diagonalização de Cantor.[55] Esta se tornou a crise fundamental da matemática.[56] Posteriormente, este problema foi resolvido na matemática convencional, ao sistematizar o método axiomático dentro de umateoria de conjuntos formalizada. A grosso modo, cada objeto matemático é definido pelo conjunto de todos os objetos semelhantes e pelas propriedades que esses objetos devem ter.[22] Por exemplo, naaritmética de Peano, osnúmeros naturais são definidos por "zero é um número", "cada número tem um sucessor único", "cada número exceto zero tem um antecessor único" e algumas regras deraciocínio.[57] Estaabstração matemática da realidade está incorporada na filosofia moderna doformalismo, fundada porDavid Hilbert por volta de 1910.[58]
A "natureza" dos objetos definidos desta forma é um problema filosófico que os matemáticos deixam para os filósofos, mesmo que muitos matemáticos tenham opiniões— por vezes chamada de "intuições" — sobre isto e as usem para orientar o seu estudo e provas. A abordagem permite considerar "lógicas" (isto é, conjuntos de regras de dedução permitidas), teoremas, provas, etc, como objetos matemáticos e, assim, provar teoremas sobre eles. Por exemplo, osteoremas da incompletude de Gödel afirmam, a grosso modo, que, em todosistema formalconsistente que contém os números naturais, existem teoremas que são verdadeiros (que são demonstráveis num sistema mais forte), mas não demonstráveis dentro do sistema.[59] Esta abordagem aos fundamentos da matemática foi desafiada durante a primeira metade do século XX por matemáticos liderados porBrouwer, que promoveram alógica intuicionista, que carece explicitamente dalei do terceiro excluído.[60][61] Estes problemas e debates acadêmicos levaram a uma ampla expansão da abrangência da lógica matemática, com o surgimento de subáreas comoteoria dos modelos (modelagem de algumas teorias lógicas dentro de outras teorias),teoria da prova,teoria dos tipos,teoria da computabilidade eteoria da complexidade computacional.[24] Embora estes aspectos da lógica matemática tenham sido introduzidos antes do surgimento doscomputadores, a sua utilização no design decompiladores,certificação de programas e outros aspectos daciência da computação, contribuíram para a expansão destas teorias lógicas.[62]
O campo de estudo daestatística é uma aplicação matemática empregada para a coleta e o processamento de amostras de dados, por meio do uso de procedimentos baseados em métodos matemáticos, especialmente ateoria das probabilidades. Os estatísticos geram dados com experimentos ouamostragem aleatória,[64] cujo desenho determina os métodos analíticos que serão utilizados. A análise dos dados deestudos observacionais é feita pela utilização demodelos estatísticos e da teoria dainferência, por meio de modelos de seleção eestimativa. Os modelos e asprevisões consequentes devem então sertestados em relação anovos dados.[e]
Ahistória da matemática é uma série cada vez maior deabstrações. Evolutivamente falando, a primeira abstração a ser descoberta, compartilhada por muitos animais,[70] foi provavelmente a dosnúmeros: a constatação de que, por exemplo, uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (digamos) têm algo em comum, nomeadamente que existemduas delas. Além de reconhecerem comocontar objetos físicos, os povospré-históricos também podem ter sabido contar quantidades abstratas, como otempo —dias,estações ouanos.[71][72]
No início daIdade Moderna, a matemática começou a desenvolver-se em ritmo acelerado naEuropa Ocidental, com inovações revolucionárias, como a introdução devariáveis e danotação simbólica pelo francêsFrançois Viète (1540–1603), a introdução delogaritmos pelo escocêsJohn Napier em 1614, que simplificou bastante os cálculos numéricos, especialmente paraastronomia enavegação marítima, a introdução decoordenadas pelo francêsRené Descartes (1596-1650) para reduzir a geometria à álgebra, além do desenvolvimento do cálculo pelo inglêsIsaac Newton (1642-1726/27) e pelo alemãoGottfried Leibniz (1646–1716). O suíçoLeonhard Euler (1707-1783), o mais notável matemático do século XVIII, unificou todas estas inovações com uma terminologia padronizada e completou-as com a descoberta e a prova de vários teoremas.[89]
Talvez o principal matemático do século XIX tenha sido o alemãoCarl Gauss, conhecido por ter feito inúmeras contribuições nos mais variados campos, comoálgebra,análise,geometria diferencial,teoria das matrizes,teoria dos números eestatística.[90] Já no início do século XX, o austríacoKurt Gödel transformou a matemática ao publicar os seusteoremas da incompletude, que mostram em parte que qualquer sistema axiomático consistente — se for suficientemente poderoso para descrever a aritmética — conterá proposições verdadeiras que não podem ser provadas.[59]
Desde então, a matemática foi bastante ampliada e tem havido uma interação frutífera com asciências, com benefícios para ambas. Descobertas matemáticas continuam a ser feitas até os dias atuais. Por exemplo, de acordo com a edição de janeiro de 2006 doBulletin of theAmerican Mathematical Society: "O número de artigos e livros incluídos no banco de dados daMathematical Reviews desde 1940 (o primeiro ano de operação daMR) é agora superior a 1,9 milhão e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados anualmente. A esmagadora maioria dos trabalhos neste oceano contém novos teoremas matemáticos e suas provas."[91]
Anotação matemática é amplamente utilizada naciência e naengenharia para representarconceitos epropriedades complexas de forma concisa, inequívoca e precisa. Esta notação consiste emsímbolos usados para representaroperações, números não especificados, relações e quaisquer outros objetos matemáticos, e depois montá-los emexpressões efórmulas.[92] Mais precisamente, os números e outros objetos matemáticos são representados por símbolos chamadosvariáveis, que geralmente são letraslatinas ougregas. Operação e relações são geralmente representadas porsímbolos ouglifos específicos,[93] como+ (mais),× (multiplicação), (integral),= (igual) e< (menor que).[94] Todos esses símbolos são geralmente agrupados de acordo com regras específicas.[95]
A matemática desenvolveu uma terminologia rica que cobre uma ampla variedade de campos que estudam as propriedades de vários objetos e suas interações, sendo que fornecem uma base padrão para a comunicação. Umaxioma oupostulado, por exemplo, é uma afirmação matemática considerada verdadeira sem necessidade de prova. Se uma afirmação matemática ainda não foi provada (ou refutada), ela é chamada deconjectura. Através de uma série de argumentos rigorosos empregandoraciocínio dedutivo, uma afirmação que écomprovadamente verdadeira torna-se um teorema. Um teorema especializado usado principalmente para provar outro teorema é chamado delema. Um exemplo comprovado que faz parte de uma conclusão mais geral é denominadocorolário.[96]
Vários termos técnicos usados em matemática sãoneologismos, comopolinômio ehomeomorfismo.[97] Outros termos técnicos são palavras da linguagem comum usadas com um significado preciso que pode diferir ligeiramente do seu significado comum. Por exemplo, em matemática, "ou" significa "um, o outro ou ambos", enquanto, na linguagem comum, é ambíguo ou significa "um ou outro, mas não ambos" (em matemática, o último é chamado de "ou exclusivo"). Muitos termos matemáticos são palavras comuns usadas com um significado completamente diferente.[98]
Relação com as ciências
A matemática é usada na maioria dasciências paramodelar fenômenos, o que permite que previsões sejam feitas a partir de leis experimentais.[99] A independência da matemática de qualquer experimentação implica que a precisão de tais previsões depende apenas da adequação do modelo.[100] No caso de previsões imprecisas, ao invés delas serem causadas por conceitos matemáticos inválidos, na verdade implicam na necessidade de alteração do modelo utilizado.[101] Por exemplo, aprecessão doperiélio do planetaMercúrio só pôde ser explicada após o desenvolvimento darelatividade geral do alemãoAlbert Einstein, que substituiu alei da gravitação universal do inglêsIsaac Newton como um modelo matemático melhor.[102]
Atualmente, ainda há um debatefilosófico sobre se a matemática pode ser classificada como uma ciência. No entanto, na prática, os matemáticos são normalmente considerados cientistas e a matemática tem muito em comum com asciências físicas, já que éfalsificável como elas, o que significa em que, se um resultado ou uma teoria estiverem errados, isto pode ser provado por meio da apresentação de umcontraexemplo. Da mesma forma que na ciência, asteorias e os resultados matemáticos (teoremas) são frequentemente obtidos a partir daexperimentação,[103] que pode consistir na computação de exemplos selecionados ou no estudo de figuras ou de outras representações de objetos matemáticos (muitas vezes representações mentais sem suporte físico). Por exemplo, quando questionado sobre como conseguiu seus teoremas,Gauss certa vez respondeu "durch planmässiges Tattonieren" ("através de experimentação sistemática").[104] Contudo, alguns autores enfatizam que a matemática difere da noção moderna de ciência por não se basear em evidênciasempíricas.[105][106][107][108]
Até ao século XIX, o desenvolvimento da matemática nomundo ocidental era motivado principalmente pelas necessidades trazidas pelatecnologia e ciência, sendo que não havia uma distinção clara entrematemática pura eaplicada.[109] Por exemplo, osnúmeros naturais e a aritmética foram introduzidos pela necessidade decontagem, enquanto a geometria foi motivada pelatopografia,arquitetura eastronomia. Mais tarde, Isaac Newton introduziu o conceito docálculo infinitesimal para explicar o movimento dosplanetas com sualei da gravitação universal. Além disso, a maioria dos matemáticos eram cientistas e muitos cientistas também eram matemáticos.[110] Contudo, uma exceção notável ocorreu com a tradição da matemática pura naGrécia Antiga.[111] O problema dafatoração de inteiros, por exemplo, que remonta aEuclides em 300 a.C., não tinha aplicação prática antes de seu uso nocriptossistema RSA, que atualmente é amplamente utilizado para a segurança deredes de computadores.[112] No século XIX, matemáticos como os alemãesKarl Weierstrass eRichard Dedekind concentraram cada vez mais as suas pesquisas em problemas internos, ou seja, na chamadamatemática pura.[109][113] Isto levou à divisão da matemática em matemáticaspura eaplicada, sendo a última geralmente considerada de menor valor entre os puristas matemáticos. No entanto, a linha que diferencia as duas é tênue.[114]
As consequências daSegunda Guerra Mundial levou a um aumento no desenvolvimento da matemática aplicada nos Estados Unidos e em outros lugares.[115][116] Muitas das teorias desenvolvidas para aplicações foram consideradas interessantes do ponto de vista da matemática pura e muitos resultados da matemática pura demonstraram ter aplicações fora da matemática; por sua vez, o estudo destas aplicações poderá fornecer novos desenvolvimentos sobre a “teoria pura”.[117][118] Um exemplo do primeiro caso é ateoria das distribuições, introduzida porLaurent Schwartz para validar cálculos feitos emmecânica quântica, que se tornou imediatamente uma importante ferramenta de análise matemática (pura).[119] Um exemplo do segundo caso é a decidibilidade da teoria de primeira ordem dos números reais, um problema de matemática pura que foi provado verdadeiro porAlfred Tarski, com um algoritmo impossível deimplementar devido a uma complexidade computacional bastante elevada.[120] Para obter um algoritmo que possa ser implementado e possa resolver sistemas de equações e desigualdades polinomiais, o matemática estadunidense George Collins introduziu a decomposição algébrica cilíndrica que se tornou uma ferramenta fundamental na geometria algébrica real.[121] Nos dias atuais, a distinção entre matemática pura e aplicada é mais uma questão de objetivo de pesquisa do que uma divisão da matemática em áreas amplas.[122][123] A Classificação de Disciplinas de Matemática, por exemplo, tem uma seção para "matemática geral aplicada", mas não menciona "matemática pura".[24]
Eficácia irracional
A eficácia irracional da matemática é um fenômeno que foi nomeado e explicitado pela primeira vez pelo físicoEugene Wigner[6] e descreve o fato de que muitas teorias matemáticas (mesmo as mais “puras”) têm aplicações fora do seu objeto inicial. Estas aplicações podem estar completamente fora da sua área inicial e podem dizer respeito a fenômenos físicos que eram completamente desconhecidos quando a teoria matemática foi introduzida.[124] Um exemplo notável é afatoração primária de números naturais que foi descoberta mais de 2 mil anos antes de seu uso comum para comunicações seguras naInternet através dosistema criptográfico RSA.[125] Um segundo exemplo histórico é a teoria daselipses. Elas foram estudadas pelosantigos matemáticos gregos comoseções cônicas (isto é, interseções decones com planos). Quase 2 mil anos depois,Johannes Kepler descobriu que astrajetórias dos planetas são elipses.[126]
Durante o século XIX, o desenvolvimento interno da geometria (oumatemática pura) levou à definição e ao estudo degeometrias não euclidianas, espaços de dimensão superior a três evariedades. Neste período, estes conceitos pareciam totalmente desligados da realidade física. No início do século XX, no entanto, o alemãoAlbert Einstein desenvolveu ateoria da relatividade que utiliza fundamentalmente estes conceitos, principalmente oespaço-tempo darelatividade restrita é um espaço não euclidiano de dimensão quatro, enquanto o espaço-tempo darelatividade geral é uma variedade (curva) de dimensão quatro.[127][128]
Um aspecto marcante da interação entre matemática e física é quando a matemática impulsiona a pesquisa em física, o que é exemplificado pelas descobertas dopósitron e dobárion. Em ambos os casos, as equações das teorias apresentavam soluções inexplicáveis, o que levou à conjectura da existência de umapartícula desconhecida. Em ambos os casos, estas partículas foram descobertas alguns anos depois através de experiências específicas.[129][130][131]
A matemática e a física influenciaram-se mutuamente ao longo da história moderna. Afísica moderna utliza amplamente a matemática[132] e é também a motivação por trás de grandes desenvolvimentos na matemática.[133]
A ascensão datecnologia no século XX abriu caminho para uma nova ciência: acomputação.[f] Este campo está intimamente relacionado à matemática de várias maneiras. Aciência da computação teórica, por exemplo, é essencialmente de natureza matemática. Em contrapartida, ainformática também se tornou essencial para a obtenção de novos resultados. Este é um grupo de técnicas conhecidas comomatemática experimental.[134] O exemplo mais conhecido é oteorema das quatro cores, comprovado em 1976 com a ajuda de umcomputador. Isto revolucionou a matemática tradicional, onde a regra até então era que o matemático verificasse cada parte da prova. Em 1998, aconjectura de Kepler sobreempacotamento de esferas também parecia ter sido parcialmente comprovada por um computador. Desde então, uma equipe internacional trabalhou na redação de uma prova formal, que foi concluída (e verificada) em 2015.[135] Um grande problema em aberto na ciência da computação teórica éP versus NP, um dos seteProblemas do Prêmio Millennium.[136]
A ecologia usa amplamente amodelagem para simular adinâmica populacional,[137][138] estudarecossistemas como o modelo predador-presa, medir a difusão dapoluição,[139] ou para avaliar asmudanças climáticas.[140] A dinâmica de uma população pode ser modelada por equações diferenciais acopladas, como asequações de Lotka-Volterra.[141] No entanto, existe o problema davalidação do modelo. Isto é particularmente grave quando os resultados da modelização influenciam as decisões políticas; a existência de modelos contraditórios poderia permitir às nações escolher o modelo mais favorável.[142]
O postulado fundamental daeconomia matemática é o do ator individual racional –Homo economicus (lit. "homem econômico").[145] Neste modelo, o indivíduo busca maximizar seuinteresse próprio[145] e sempre faz escolhas ótimas usandoinformações perfeitas.[146] Contudo, muitas pessoas rejeitaram ou criticaram o conceito.[146] Economistas observam que pessoas reais têm informações limitadas, fazem escolhas erradas e se preocupam com a justiça, o altruísmo e não apenas com o ganho pessoal.[146]
No início do século XX, houve um desenvolvimento no sentido de expressar movimentos históricos através de fórmulas. Por exemplo, em 1922,Nikolai Kondratiev discerniu ociclo Kondratiev de aproximadamente 50 anos, que explica fases de crescimento ou decrise econômica.[147] No final do século XIX, Nicolas-Remi Brück e Charles Henri Lagrange estenderam suas análises àgeopolítica.[148] Desde a década de 1990, oantropólogo evolucionário russo-americano,Peter Turchin trabalha no desenvolvimento dacliodinâmica.[149]
Mesmo assim, a matematização das ciências sociais não é isenta de perigos. No polêmico livroImposturas Intelectuais (1997),Sokal eBricmont denunciaram o uso infundado ou abusivo de terminologia científica, especialmente da matemática ou da física, nas ciências sociais.[150]
Relação com astrologia e esoterismo
Alguns matemáticos renomados também foram consideradosastrólogos renomados; por exemplo,Ptolomeu, astrônomos árabes,Regiomontano,Cardano,Kepler, ouJohn Dee. NaIdade Média, aastrologia era considerada uma ciência que incluía a matemática. Em sua enciclopédia, o físico suíço Theodor Zwinger escreveu que a astrologia era uma ciência matemática que estudava o "movimento ativo dos corpos à medida que agem sobre outros corpos" e reservou à matemática a necessidade de “calcular com probabilidade as influências [das estrelas]” para prever suas “conjunções e oposições”.[151] Atualmente, no entanto, a astrologia não é mais considerada uma ciência, mas sim umapseudociência.[152]
A conexão entre a matemática e a realidade material levou a debates filosóficos pelo menos desde a época dePitágoras. O antigo filósofoPlatão argumentou que as abstrações que refletem a realidade material têm elas próprias uma realidade que existe fora do espaço e do tempo. Como resultado, a visão filosófica de que os objetos matemáticos existem de alguma forma por si mesmos na abstração é muitas vezes referida comoplatonismo. Independentemente das suas possíveis opiniões filosóficas, os matemáticos modernos podem ser geralmente considerados platônicos, uma vez que pensam e falam dos seus objetos de estudo como objetos reais.[153]
Algo se torna objetivo (em oposição a "subjetivo") assim que estamos convencidos de que existe nas mentes dos outros da mesma forma que existe nas nossas e que podemos pensar sobre isso e discuti-lo juntos.[154] Como a linguagem da matemática é tão precisa, ela é ideal para definir conceitos para os quais existe tal consenso. Na minha opinião, isso é suficiente para nos fornecer um sentimento de uma existência objetiva, de uma realidade matemática...
Entretanto, o platonismo e as visões concorrentes sobre a abstração não explicam necessariamente a eficácia irracional da matemática.[155]
Definições propostas
Não existe umconsenso geral sobre uma definição de matemática ou o seuestatuto epistemológico — isto é, o seu lugar entre outras atividades humanas.[156][157] Muitos matemáticos profissionais não têm interesse em uma definição ou consideram a matemática como algo indefinível.[156] Sequer há consenso sobre se a matemática pode ser considerada umaarte ou umaciência.[157] Alguns estudiosos apenas dizem que a “matemática é o que os matemáticos fazem”.[156] Isto faz sentido, pois existe um forte consenso entre eles sobre o que a matemática é e não é. A maioria das definições propostas tenta definir a matemática pelo seu objeto de estudo.[158]
Aristóteles definiu a matemática como “a ciência daquantidade” e esta definição prevaleceu até o século XVIII. No entanto, ele também observou que o foco apenas na quantidade pode não distinguir a matemática de ciências como afísica; em sua opinião, a abstração e o estudo da quantidade como uma propriedade "separável no pensamento" das instâncias reais diferenciam a matemática.[159] No século XIX, quando os matemáticos começaram a abordar temas que não têm uma relação clara com a realidade física, como osconjuntos infinitos, foram dadas uma variedade de novas definições.[160]
Outra abordagem para definir matemática é fazer uso de seus métodos. Assim, uma área de estudo pode ser qualificada como matemática desde que possa provarteoremas, ou seja, afirmações cuja validade depende de uma prova, isto é, de umadedução puramentelógica.[161] Outros, no entanto, assumem a perspectiva de que a matemática é uma investigação dateoria axiomática dos conjuntos, já que este estudo é atualmente uma disciplina fundamental para grande parte da matemática moderna.[162]
Rigor
O raciocínio matemático requerrigor. Isso significa que as definições devem ser absolutamente inequívocas e asprovas devem ser redutíveis a uma sucessão de aplicações deregras de inferência,[g] sem qualquer uso de evidência empírica eintuição.[h][163] O raciocínio rigoroso não é específico da matemática, mas o padrão de rigor é muito mais alto do que em outros campos de estudo. Apesar da concisão da matemática, provas rigorosas podem exigir centenas de páginas para serem expressas. O surgimento de provas assistidas por computador permitiu que os comprimentos das provas se expandissem ainda mais,[i][164] como o teorema de Feit-Thompson de 255 páginas.[j] O resultado desta tendência é uma filosofia da prova quase empirista, mas que não pode ser considerada infalível.[9]
O conceito de rigor na matemática remonta àGrécia Antiga, onde a sociedade incentivava oraciocínio lógico ededutivo. No entanto, o rigor tenderia a desencorajar a exploração de novas abordagens, tais comonúmeros irracionais e conceitos deinfinito. O método de demonstração de provas rigorosas foi aprimorado ao longo do século XVI através do uso de notação simbólica. Durante o século XVIII, a transição social permitiu que os matemáticos passassem a ganhar seu sustento através do ensino, o que levou a uma reflexão mais cuidadosa sobre os conceitos subjacentes à matemática e produziu abordagens mais rigorosas durante a transição de métodos geométricos para provas algébricas e depois aritméticas.[9]
No final do século XIX, parecia que as definições dos conceitos básicos da matemática não eram suficientemente precisas para evitar paradoxos (geometria não euclidiana efunção de Weierstrass) e contradições (paradoxo de Russell), o que foi resolvido pela inclusão de axiomas nas regras de inferênciaapodítica das teorias matemáticas; a reintrodução do método axiomático iniciado pelos antigos gregos antigos.[9] "Rigor" não é mais um conceito relevante em matemática, pois uma prova ou é correta ou é errônea, sendo que uma "prova rigorosa" é simplesmente umpleonasmo. Onde um conceito especial de rigor é aceito é nos aspectos socializados de uma prova, onde pode ser comprovadamente refutado por outros matemáticos. Depois de uma prova ter sido aceita por muitos anos ou mesmo décadas, ela pode então ser considerada confiável.[165] No entanto, o conceito de “rigor” ainda pode continuar sendo útil para ensinar aos iniciantes o que é uma prova matemática.[166]
A matemática tem uma capacidade evidente de cruzar fronteiras culturais e períodos de tempo. Como atividade humana, a prática da matemática tem um aspecto social, que incluieducação,profissão, reconhecimento, popularização e assim por diante. Na educação, a matemática é uma parte central do currículo e constitui um elemento importante das disciplinas acadêmicas do grupoSTEM. Carreiras proeminentes para matemáticos profissionais incluemprofessor de matemática,estatístico,atuário,analista financeiro,economista,contador,consultor de informática, entre outras.[167]
Após aIdade das Trevas, a educação matemática na Europa era ministrada por escolas religiosas como parte doQuadrívio. A instrução formal empedagogia começou nas escolasjesuítas ao longo dos séculos XVI e XVII. A maior parte do currículo matemático, no entanto, permaneceu em um nível básico e prático até o século XIX, quando começou a florescer naFrança e naAlemanha. O periódico mais antigo abordando o ensino de matemática foiL'Enseignement Mathématique, que começou a ser publicado no ano de 1899.[173] Os avanços domundo ocidental naciência e natecnologia levaram ao estabelecimento de sistemas educativos centralizados em muitosEstados-nação, sendo a matemática um componente central — inicialmente por conta das suas aplicações militares.[174] Embora o conteúdo dos cursos varie, atualmente quase todos os países ensinam matemática aos seus alunos.[175]
Durante a escola, as capacidades matemáticas e as expectativas positivas têm uma forte associação com o interesse profissional na área. Fatores extrínsecos, como apoio de professores, pais e grupos de pares, podem influenciar o nível de interesse pela matemática.[176] Alguns alunos que estudam matemática podem desenvolver apreensão ou medo em relação ao seu desempenho na matéria, o que é conhecido comoansiedade matemática ou fobia matemática e é considerado o mais proeminente dos distúrbios que afetam o desempenho acadêmico. Isto pode se desenvolver devido a vários fatores, como atitudes dos pais e professores, estereótipos sociais e características pessoais. A ajuda para neutralizar este problema pode advir de mudanças nas abordagens instrucionais, de interações com pais e professores e de tratamentos personalizados para cada estudante.[177]
Psicologia (estética, criatividade e intuição)
A validade de um teorema matemático depende apenas do rigor da sua prova, que teoricamente poderia ser feita automaticamente por umprograma de computador. Isto não significa que não há lugar para criatividade num trabalho matemático. Pelo contrário, muitos resultados matemáticos importantes (teoremas) são soluções de problemas que outros matemáticos não conseguiram resolver e a invenção de uma forma de resolução pode ser uma forma fundamental do processo de resolução.[178][179] Um exemplo extremo é o teorema deRoger Apéry, cujo autor forneceu apenas as ideias para uma prova e a prova formal foi dada apenas alguns meses depois por três outros matemáticos.[180]
A criatividade e o rigor não são os únicos aspectos psicológicos da atividade dos matemáticos. Alguns deles podem ver a sua atividade como um jogo. Este aspecto da atividade matemática é enfatizado namatemática recreativa.[181] Os matemáticos podem encontrar um valorestético para o seu campo de estudo. Assim como abeleza, a matemática é difícil de definir, está comumente relacionada àelegância, que envolve qualidades comosimplicidade,simetria,completude e generalidade.G. H. Hardy, em sua obraApologia do Matemático, expressou a crença de que as considerações estéticas são, em si, suficientes para justificar o estudo damatemática pura. Ele também identificou outros critérios, comosignificância, imprevisibilidade e inevitabilidade, que contribuem para a estética matemática.[182]Paul Erdős expressou este sentimento de forma mais irônica ao falar de "O Livro", uma suposta coleção divina das mais belas provas. A obra literáriaProvas conforme O Livro de 1998, inspirado no livro de Erdős, é uma coleção de argumentos matemáticos particularmente sucintos e reveladores. Alguns exemplos de resultados particularmente elegantes incluídos são a prova de Euclides de que existem infinitosnúmeros primos e atransformada rápida de Fourier paraanálise harmônica.[183]
Alguns acham que considerar a matemática uma ciência é subestimar a sua arte e história nas seteartes liberais tradicionais.[184] Uma forma desta diferença deponto de vista se manifestar é no debate filosófico sobre se os resultados matemáticos sãocriados (como na arte) oudescobertos (como na ciência).[129]
Notas musicais que soam bem juntas para um ouvido ocidental são sons cujasfrequências fundamentais de vibração estão em proporções simples. Por exemplo, uma oitava duplica a frequência e umaquinta justa multiplica-a por.[185][186]
Os humanos, assim como alguns outros animais, consideram os padrões simétricos mais bonitos.[187] Matematicamente, as simetrias de um objeto formam um grupo conhecido comogrupo de simetria.[188]
Por exemplo, o grupo subjacente à simetria do espelho é ogrupo cíclico de dois elementos, . Umteste de Rorschach é uma figura invariante por esta simetria,[189] assim como os corpos deborboletas e animais em geral (pelo menos na superfície).[190] As ondas na superfície do mar possuem simetria de translação: mover o ponto de vista pela distância entre as cristas das ondas não altera a visão do mar.Fractais possuemautossimilaridade.[191][192]
Popularização
A matemática popular é o ato de apresentar a matemática sem termos técnicos.[193] Apresentar matemática pode ser difícil, uma vez que o público em geral sofre de ansiedade matemática e os objetos matemáticos são altamente abstratos.[194] No entanto, a escrita matemática popular pode superar isto usando aplicativos ou referências culturais.[195]
Uma famosa lista de 23problemas em aberto, chamada "problemas de Hilbert", foi compilada em 1900 pelo matemático alemãoDavid Hilbert.[208] Esta lista alcançou grande celebridade entre os matemáticos[209] e, desde 2022, pelo menos treze dos problemas (dependendo de como alguns são interpretados) foram resolvidos.[208]
Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulada "Problemas do Prêmio Millennium", foi publicada no ano 2000. Apenas uma delas, aHipótese de Riemann, duplica um dos problemas de Hilbert. Uma solução para qualquer um desres problemas acarreta uma recompensa de 1 milhão de dólares.[210] Até hoje, apenas um destes problemas, aConjectura de Poincaré, foi resolvido.[211]
↑Aqui,álgebra é tomada em seu sentido moderno, que é, grosso modo, a arte de manipularfórmulas.
↑Este significado pode ser encontrado na obraRepública de Platão, Livro 6, Seção 510c.[11] No entanto, Platão não usou uma palavra “matemática”; Aristóteles fez isto, comentando sobre isso.[12][13]
↑No entanto, alguns métodos avançados de análise são por vezes utilizados; por exemplo, métodos deanálise complexa aplicados àfunção geradora.
↑Como outras ciências matemáticas, comofísica eciência da computação, a estatística é uma disciplina autônoma e não um ramo da matemática aplicada. Assim como os físicos pesquisadores e os cientistas da computação, os estatísticos pesquisadores são cientistas matemáticos. Muitos estatísticos são formados em matemática e alguns estatísticos também são matemáticos.
↑Ada Lovelace é conhecida por ter escrito, na década de 1840, o primeiro programa de computador em colaboração comCharles Babbage
↑Isto não significa tornar explícitas todas as regras de inferência utilizadas. Pelo contrário, isto geralmente é impossível, semcomputadores eassistentes de prova. Mesmo com esta tecnologia moderna, podem ser necessários anos de trabalho humano para redigir uma prova matemática completamente detalhada.
↑Isto não significa que a evidência empírica e a intuição não sejam necessárias para escolher os teoremas a provar e para os provar.
↑Para considerar como confiável um grande cálculo que ocorre em uma prova, geralmente são necessários dois cálculos usando um software independente
↑O livro que contém a prova completa tem mais de mil páginas.
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