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Logaritmo natural

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O gráfico do logaritmo natural.

constante matemáticae
Parte deuma série de artigos sobre a

Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento edecaimento exponencial
Definire
prova de quee é irracional representações dee Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler
v d e

Ologaritmo natural, também conhecido comologaritmo neperiano, é ologaritmo de basee, umnúmero irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos osnúmeros reais estritamente positivos $x {\displaystyle x}$ e admite uma extensão como uma função complexa analítica em $\mathbf {C} \backslash \{0\}$ .

Em termos simples, o logaritmo natural é umafunção que é oexpoente de uma potência dee, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

O logaritmo neperiano leva o nome de seuinventor, omatemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a basee. É, portanto, afunção inversa dafunção exponencial.

Origem

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Em uma época passada, antes do invento dascalculadoras eletrônicas, fazer contas demultiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (verexponenciação) que: $a^{(x+y)}=a^{x}\ a^{y}$

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo $u=a^{x},$ multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma: $u=a^{x},v=a^{y},u\ v=a^{(x+y)}$

O problema então é construir essatábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno $(x<1)$ , temos $a^{x}\approx 1+kx$

sendo a constantek dependente apenas dea mas não dex. Por exemplo, paraa = 2,k ≈ 0,7 e paraa = 10,k ≈ 2,3.

A relação entrea ek é precisamente ologaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem dastábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em $\mathbf {R}$

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Uma maneira de definir o logaritmo natural: $\ln(x):\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R}$ é através daintegral: $\ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

$\ln(1)=0$
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\forall a,b>0$
$\ln(x)$ é umafunção contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos: $\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {dt}{t}}=\int _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}+\int _{a}^{ab}{\frac {dt}{t}}$ A primeira parcela desta soma é $\ln(a)$ e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: $u=t/a,$ portanto: $\ln(ab)=\ln(a)+\int _{1}^{b}{\frac {du}{u}}$ segue que $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Sabemos então que $\ln(x)=\log _{b}(x)$ para alguma base $b {\displaystyle b}$ a ser determinada.

Da simples definição temos: ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

Seja $b^{x}$ a função inversa de $\ln(x),$ então, usando a fórmula ${\frac {d}{dx}}f^{-1}(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}},$ obtemos: ${\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}$

Portanto $b=e,$ onde $e {\displaystyle e}$ é onúmero de Euler.

Convenções de notação

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Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar log_e(x), i.e., o logaritmo natural dex, e escrevem "log₁₀(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 dex. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando querem indicar o logaritmo natural dex, e "log(x)" para log₁₀(x) e, emComputação, log(x) para log₁₀(x) e lg(x) para log₂(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log₁₀(x) por pessoas que usam log(x) com uml minúsculo para log_e(x).

Função logarítmica complexa

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Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa $z {\displaystyle z}$ pela equação: $\ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )$

onde $r {\displaystyle r}$ é o módulo e $\theta$ é o argumento medido emradianos do número complexo $z {\displaystyle z}$ ; $k=(1,2,3,\dots )$ e $\ln$ $r {\displaystyle r}$ define o logaritmo natural real positivo de $r . {\displaystyle r.}$

Assim, a função $l n {\displaystyle ln}$ $z {\displaystyle z}$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais.Chamamos de valor principal de $l n {\displaystyle ln}$ $z {\displaystyle z}$ o número definido por: $\ln z=\ln r+i\theta$

Derivada da função logarítmica natural

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Ver também:Derivada logarítmica

Dada a função:

f(x)=\ln(x)

a sua derivada é:

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {ln((x+h)/x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}.ln(1+{\frac {h}{x}})=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {h}{x}})^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {1}{x/h}})^{\frac {1}{h}}

Após uma mudança de variável

u={\frac {x}{h}}

\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{\frac {u}{x}}={\frac {1}{x}}\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{u}={\frac {1}{x}}.ln(e)

que resulta em:

f'(x)={\frac {1}{x}}

Integral da função logarítmica

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Dada a função: $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C$

esta integral pode ser obtida pela aplicação daintegração por partes, ou seja: $\int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x(\ln(x))'dx.$

Referências

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