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Lei da gravitação universal

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Esta páginacita fontes, mas quenão cobrem todo o conteúdo. Ajude ainserir referências (Encontre fontes:Google (N •L •A •I •WP refs)  •ABW  •CAPES).(Agosto de 2009)
Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.

Alei da gravitação universal afirma que, se dois corpos possuemmassa, ambos estão submetidos a uma força de atração mútua proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.[1] Essa lei foi formulada pelo físico inglêsIsaac Newton em sua obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687, que descreve alei da gravitação universal e asLeis de Newton — as três leis dos corpos em movimento que assentaram-se como fundamento damecânica clássica.[2]

F=Gm1m2r2 {\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }

Agravidade é umaforça fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa de suasmassas, isto é, a quantidade dematéria de que são constituídos. A gravidade mantém os objetos celestes unidos e ligados, como osgases quentes contidos peloSol e osplanetas, confinados às suasórbitas. A gravidade daLua causa asmarés oceânicas naTerra. Por causa da gravitação, os objetos sobre a Terra são atraídos para seu centro.

História

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Ainda que os efeitos da gravidade sejam fáceis de notar, a busca de uma explicação para a força gravitacional tem embaraçado o homem durante séculos. O filósofo gregoAristóteles empreendeu uma das primeiras tentativas de explicar como e por que os objetos caem em direção à Terra. Entre suas conclusões, estava a ideia de que os objetos pesados caem mais rápido que os leves. Embora alguns tenham se oposto a essa concepção, ela foi comumente aceita até o fim doséculo XVII, quando as descobertas do cientista italianoGalileu Galilei ganharam aceitação. De acordo com Galileu, todos os objetos caíam com a mesmaaceleração, a menos que aresistência do ar ou alguma outra força os freasse.

Sir Isaac Newton, o primeiro a formular a lei da gravitação universal.

Os antigosastrônomosgregos estudaram os movimentos dos planetas e da Lua. Entretanto, o paradigma aceito hoje foi determinado porIsaac Newton, físico e matemático inglês, baseado em estudos e descobertas feitas pelos físicos que até então trilhavam o caminho da gravitação. Como Newton mesmo disse, ele chegou a suas conclusões porque estava "apoiado em ombros de gigantes". No início doséculo XVII, Newton baseou sua explicação em cuidadosas observações dos movimentos planetários, feitas porTycho Brahe e porJohannes Kepler. Newton estudou o mecanismo que fazia com que aLua girasse em torno da Terra. Estudando os princípios elaborados porGalileu Galilei e porJohannes Kepler, conseguiu elaborar uma teoria que dizia que todos os corpos que possuíam massa sofreriam atração entre si.

Galileu Galilei previamente estabeleceu uma relação entre a queda dos corpos e os movimentos planetários. Alguns contemporâneos deNewton, comoRobert Hooke,Christopher Wren eEdmund Halley, também fizeram avanços significativos no entendimento da gravitação. No entanto, foi Newton quem primeiramente propôs uma forma matemática precisa e a utilizou para demonstrar que os corpos celestes deveriam seguir trajetórias em forma de seções cônicas, incluindo círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Essa projeção teórica foi um triunfo notável, uma vez que já se sabia há algum tempo que luas, planetas e cometas seguiam essas trajetórias, mas ninguém havia sido capaz de elucidar o mecanismo que os levasse a seguir essas trajetórias específicas e não outras. A magnitude da força em cada objeto (um tem massa maior que o outro) é a mesma, de acordo com a terceira lei de Newton.[3]

A partir dasleis de Kepler, Newton mostrou que tipos de forças devem ser necessárias para manter os planetas em suas órbitas. Ele calculou como a força deveria ser na superfície da Terra. Essa força provou ser a mesma que dá à massa sua aceleração.

Diz uma lenda que, quando tinha 23 anos, Newton viu uma maçã cair de uma árvore e compreendeu que a mesma força que a fazia cair mantinha aLua em suaórbita em torno daTerra.

Conforme os primeiros relatos, Newton encontrou sua inspiração para estabelecer a relação entre a queda dos corpos e os movimentos astronômicos ao testemunhar uma maçã caindo de uma árvore. Esse evento o levou a uma percepção crucial: se a força gravitacional pudesse estender-se além do solo até a árvore, também poderia alcançar o Sol. A anedota da maçã de Newton tornou-se parte do folclore mundial, embora sua veracidade possa estar ancorada em fatos.[3]

A importância atribuída a essa inspiração está ligada ao fato de que as leis universais da gravitação de Newton e suas leis do movimento responderam a questionamentos ancestrais sobre a natureza, fornecendo um sólido suporte à noção de simplicidade e unidade subjacentes à realidade natural. Os cientistas ainda anseiam que a simplicidade subjacente seja revelada através de suas contínuas investigações sobre a natureza.

Corpos de simetria esférica e a gravitação

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As partículas dos corpos que possuem uma distribuição de massa simetricamente esférica, como estrelas, luas e planetas, tendem a se aproximar do centro de massa. Assim, um acumulado de poeira cósmica ao aglutinar-se, as partículas começam a se aproximar de forma uniforme, pois quanto mais acumuladas, mais força têm para comprimi-las. Por isso os corpos geralmente assumem uma forma esférica, visto que, quando sua massa é pequena esse efeito é bastante baixo e os corpos podem ter alterações em seus formatos.[4]

Formulação da Lei da Gravitação Universal

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Dois corpos puntiformesm1 em2 atraem-se exercendo entre si forças de mesma intensidadeF1 eF2, proporcionais ao produto das duas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância (r) entre elas.G é aconstante gravitacional.

Alei da gravitação universal diz que duas partículas quaisquer do Universo se atraemgravitacionalmente por meio de uma força que é diretamente proporcional ao produto de suasmassas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

A força gravitacional é sempre atrativa e sua magnitude depende apenas das massas das partículas envolvidas e da distância que as separa. Expressando-se na linguagem moderna, a lei universal da gravitação de Newton estabelece que cada partícula no universo exerce uma atração em todas as outras partículas ao longo de uma linha que as conecta.[3]

Se os corpos não são de partículas ou não podem ser considerados como pontos materiais, a distância estabelecida entre elas deve ser medida em relação ao centro de massa delas, ou seja pontos onde pode-se supor que está concentrada toda a massa do corpo ou o sistema de corpos.

F→1=−F→2=||F→||r→‖r→‖=Gm1m2r2r→‖r→‖=Gm1m2r3r→{\displaystyle {\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}=||{\vec {F}}||{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}{\vec {r}}}

onde

F1 (F2) é aforça, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), medida emnewtons;
G=6,67×10−11Nm2/kg2{\displaystyle G=6,67\times 10^{-11}{\text{Nm}}^{2}/{\text{kg}}^{2}} éconstante gravitacional universal, que determina a intensidade da força,
m1 em2 são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas emquilogramas; e
r é a distância entre os dois corpos, medida emmetros;
r^{\displaystyle {\hat {r}}} oversor do vetor que liga o corpo 1 ao corpo 2.

A constante gravitacional universal foi medida anos mais tarde porHenry Cavendish. A descoberta da lei da gravitação universal se deu em 1685 como resultado de uma série de estudos e trabalhos iniciados muito antes.

O estabelecimento de uma lei de gravitação, que unifica todos os fenômenos terrestres e celestes de atração entre os corpos, teve enorme importância para a evolução da ciência moderna.

A lei da gravitação de Newton leva a observação de Galileu, de que todas as massas caem com a mesmaaceleração, a um passo adiante, explicando essa observação em termos de uma força que faz com que os objetos caiam - na verdade, em termos de uma força de atração universal existente entre as massas.[3]

Problema de Kepler

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O problema de Kepler é um caso especial doproblema dos dois corpos, em que os dois corpos interagem por umaforça central que varia proporcionalmente aoinverso do quadrado da distância.[carece de fontes?] Esse problema resume-se a usar asegunda lei de Newton para escrever as equações de movimento do sistema, descobrindo sua trajetória no espaço. Isto é:

F→=−GMmr2r^{\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}

Sistema polar de coordenadas

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Umsistema de coordenadas adequado para resolver o problema é osistema de coordenadas polares, de coordenadasr{\displaystyle r} eθ{\displaystyle \theta }, que se relacionam com ascoordenadas cartesianasx{\displaystyle x} ey{\displaystyle y} da seguinte maneira:[5]

x=rcos⁡θ{\displaystyle x=r\cos \theta }
y=rsin⁡θ{\displaystyle y=r\sin \theta }

Para resolver o problema, é necessário saber como aaceleraçãoa→{\displaystyle {\vec {a}}} é escrita em coordenadas polares, isto é, comocombinação linear dosversoresr^{\displaystyle {\hat {r}}} eθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}. Comoa→=d2r→dt2=r→¨{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}}, basta derivar duas vezes ovetor posiçãor→{\displaystyle {\vec {r}}} em relação ao tempo para encontrar a aceleração. Em coordenadas polares:

r→=rr^{\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {r}}}

Derivando a expressão, pelaregra do produto:

r→˙=r˙r^+rr^˙{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}}}

Para encontrarr^˙{\displaystyle {\dot {\hat {r}}}} é necessário recorrer às seguintes relações:

r^=(cos⁡θ)x^+(sin⁡θ)y^{\displaystyle {\hat {r}}=(\cos \theta ){\hat {x}}+(\sin \theta ){\hat {y}}}
θ^=(−sin⁡θ)x^+(cos⁡θ)y^{\displaystyle {\hat {\theta }}=(-\sin \theta ){\hat {x}}+(\cos \theta ){\hat {y}}}

Daí se conclui quer^˙=θ˙θ^{\displaystyle {\dot {\hat {r}}}={\dot {\theta }}{\hat {\theta }}} e, portanto:[6]

r→˙=r˙r^+rθ˙θ^{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}}

Derivando mais uma vez e usando a relaçãoθ^˙=−θ˙r^{\displaystyle {\dot {\hat {\theta }}}=-{\dot {\theta }}{\hat {r}}}:[6]

r→¨=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^{\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}}

Resolução da segunda lei de Newton

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Pela segunda lei de Newton:

F→=ma→=−GMmr2r^{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}

Cancelando a massam{\displaystyle m} de ambos os lados da equação e escrevendoa→=r→¨{\displaystyle {\vec {a}}={\ddot {\vec {r}}}} em coordenadas polares, obtém-se a seguinte equação vetorial:

(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^=(−GMr2)r^{\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}=\left(-{\frac {GM}{r^{2}}}\right){\hat {r}}}

Originando duas equações escalares de movimento:[7]

r¨−rθ˙2=−GMr2{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}(1){\displaystyle (1)}
rθ¨+2r˙θ˙=0{\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}(2){\displaystyle (2)}

Multiplicando(2){\displaystyle (2)} pormr{\displaystyle mr}, percebe-se que há conservação domomento angularL{\displaystyle L}:[7]

mr2θ¨+2mrr˙θ˙=ddt(mr2θ˙)=dLdt=0{\displaystyle mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})={\frac {dL}{dt}}=0}
L=mr2θ˙{\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}}

Eliminandoθ˙{\displaystyle {\dot {\theta }}} em(1){\displaystyle (1)} através de(2){\displaystyle (2)} pela relaçãoθ˙=dθdt=Lmr2{\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}}, obtém-se:

r¨−L2m2r3=−GMr2{\displaystyle {\ddot {r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}

Talequação diferencial der{\displaystyle r} em função det{\displaystyle t} pode ser modificada de modo quer{\displaystyle r} seja uma função deθ{\displaystyle \theta } modificando a segunda derivada temporal através daregra da cadeia:

r¨=d2rdt2=ddt(drdt)=dθdtddθ(dθdtdrdθ)=Lmr2ddθ(Lmr2drdθ)=Lmr2[drdθddr(Lmr2)drdθ+(Lmr2d2rdθ2)]{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)={\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {d\theta }{dt}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)={\frac {L}{mr^{2}}}\left[{\frac {dr}{d\theta }}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {L}{mr^{2}}}\right){\frac {dr}{d\theta }}+\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\right)\right]}
r¨=L2m2r4d2rdθ2−2L2m2r5(drdθ)2{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}

Resulta, então a seguinte equação para a funçãor(θ){\displaystyle r(\theta )}:

L2m2r4d2rdθ2−2L2m2r5(drdθ)2−L2m2r3=−GMr2{\displaystyle {\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}(3){\displaystyle (3)}

Para resolver(3){\displaystyle (3)}, define-se a funçãou(θ)≡1r(θ){\displaystyle u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}} e, consequentemente, suas derivadas em relação aθ{\displaystyle \theta }:[7]

dudθ=−1r2drdθ{\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}
d2udθ2=2r3(drdθ)2−1r2d2rdθ2{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}

Substituindo essas novas relações em(3){\displaystyle (3)}:

−L2m2r2[2r3(drdθ)2−1r2d2rdθ2+1r]=−GMr2{\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left[{\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{r}}\right]=-{\frac {GM}{r^{2}}}}
−L2m2r2(d2udθ2+u)=−GMr2{\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left({\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u\right)=-{\frac {GM}{r^{2}}}}

Resultando, finalmente, na equação dooscilador harmônico:

d2udθ2+u=GMm2L2{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}}

Cuja solução geral pode ser escrita como:[7]

u(θ)=GMm2L2+Acos⁡(θ−δ){\displaystyle u(\theta )={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}+A\cos \left(\theta -\delta \right)}

Em queA{\displaystyle A} eδ{\displaystyle \delta } são constantes arbitrárias. É conveniente escreverA=GMm2L2ϵ{\displaystyle A={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}\epsilon }, em queϵ{\displaystyle \epsilon } é a nova constante, denominadaexcentricidade. Assim,r(θ){\displaystyle r(\theta )} resulta ser:[7]

r(θ)=L2GMm211+ϵcos⁡(θ−δ){\displaystyle r(\theta )={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}{\frac {1}{1+\epsilon \cos \left(\theta -\delta \right)}}}

Ver também

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Referências

  1. ↑«Gravitação Universal».Só Física 
  2. ↑Silva, Lucas Henrique dos Santos.«Lei da Gravitação Universal».InfoEscola 
  3. ↑abcdURONE, Paul Peter; HINRICHS, Roger (2019).College Physics. Texas: XanEdu Publishing Inc. pp. 217–228 
  4. ↑Young, Hugh, Freedman, Roger A (2008).Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Pearson. p. 2.ISBN 978-85-88639-33-1 
  5. ↑Nascimento, Mauri C.«Coordenadas Polares»(PDF) 
  6. ↑abMartins, Jorge Sá.«Os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares bidimensionais».Youtube 
  7. ↑abcde«Deriving Kepler's Laws».Brilliant 
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