Grade da Terra. As linhas verticais de polo a polo são linhas de constantelongitude, oumeridianos. Os círculos paralelos aoequador são linhas de constante latitude, ouparalelos. A grade mostra a latitude e a longitude dos pontos na superfície. Neste exemplo, os meridianos estão espaçados a intervalos de 6° e os paralelos a intervalos de 4°.
Emgeografia,latitude é umacoordenada que especifica a posiçãonorte–sul de um ponto na superfície daTerra ou de outro corpo celeste. A latitude é dada como um ângulo que varia de −90° no polo sul a 90° no polo norte, com 0° noEquador.Linhas de latitude constante, ouparalelos, correm de leste a oeste como círculos paralelos ao equador. Latitude elongitude são usadas juntas como um par de coordenadas para especificar uma localização na superfície da Terra.
Por si só, o termo "latitude" normalmente se refere àlatitude geodésica, conforme definido abaixo. Resumidamente, a latitude geodésica de um ponto é o ângulo formado entre o vetor perpendicular (ounormal) à superfície elipsoidal a partir do ponto e oplano do equador.
Dois níveis de abstração são empregados nas definições de latitude e longitude. No primeiro passo, a superfície física é modelada pelogeoide, uma superfície que se aproxima donível médio do mar sobre os oceanos e sua continuação sob as massas terrestres. O segundo passo é aproximar o geoide por uma superfície de referência matematicamente mais simples. A escolha mais simples para a superfície de referência é umaesfera, mas o geoide é mais precisamente modelado por umelipsoide de revolução. As definições de latitude e longitude em tais superfícies de referência são detalhadas nas seções seguintes. Linhas de latitude e longitude constantes juntas constituem umagrade na superfície de referência. A latitude de um ponto na superfíciereal é aquela do ponto correspondente na superfície de referência, a correspondência sendo ao longo danormal à superfície de referência, que passa pelo ponto na superfície física. Latitude e longitude, juntamente com alguma especificação dealtura, constituem umsistema de coordenadas geográficas conforme definido na especificação da norma ISO 19111.[1]
Como existem muitoselipsoides de referência diferentes, a latitude precisa de uma característica na superfície não é única: isso é destacado na norma ISO, que afirma que "sem a especificação completa do sistema de referência de coordenadas, as coordenadas (ou seja, latitude e longitude) são, na melhor das hipóteses, ambíguas e, na pior, sem sentido". Isso é de grande importância em aplicações precisas, como oSistema de Posicionamento Global (GPS), mas no uso comum, onde não é necessária alta precisão, o elipsoide de referência geralmente não é declarado.
Em textos em inglês, o ângulo de latitude, definido abaixo, é geralmente denotado pela letra grega minúsculaphi (ϕ ouφ). É medido emgraus,minutos e segundos ougraus decimais, ao norte ou ao sul do equador. Para fins de navegação, as posições são dadas em graus e minutos decimais. Por exemplo, o farol deThe Needles está a 50°39.734′ N 001°35.500′ W.[2]
Este artigo relaciona-se a sistemas de coordenadas para a Terra: ele pode ser adaptado para cobrir a Lua, planetas e outros objetos celestes (latitude planetográfica).
Nanavegação celestial, a latitude é determinada pelo método daaltura do meridiano.Medições mais precisas de latitude requerem uma compreensão do campo gravitacional da Terra, seja para configurarteodolitos ou para determinar as órbitas dos satélites GPS. O estudo daforma da Terra juntamente com seu campo gravitacional é a ciência dageodesia.
A grade é formada pelas linhas de latitude constante e longitude constante, que são construídas com referência ao eixo de rotação da Terra. Os pontos de referência primários são ospolos onde o eixo de rotação da Terra intersecta a superfície de referência. Planos que contêm o eixo de rotação intersectam a superfície nosmeridianos; e o ângulo entre qualquer plano meridiano e aquele através de Greenwich (oMeridiano Principal) define a longitude: meridianos são linhas de longitude constante. O plano através do centro da Terra e perpendicular ao eixo de rotação intersecta a superfície em um grande círculo chamadoEquador. Planos paralelos ao plano equatorial intersectam a superfície em círculos de latitude constante; esses são os paralelos. O Equador tem latitude de 0°, oPolo Norte tem latitude de 90° Norte (escrito 90° N ou +90°), e oPolo Sul tem latitude de 90° Sul (escrito 90° S ou −90°). A latitude de um ponto arbitrário é o ângulo entre o plano equatorial e o normal à superfície nesse ponto: o normal à superfície da esfera está ao longo do vetor radial.
A latitude, conforme definida desta forma para a esfera, é frequentemente chamada de latitude esférica, para evitar ambiguidades com a latitude geodésica e as latitudes auxiliares definidas nas seções subsequentes deste artigo.
O plano da órbita da Terra ao redor do Sol é chamado deeclíptica, e o plano perpendicular ao eixo de rotação da Terra é o plano equatorial. O ângulo entre a eclíptica e o plano equatorial é chamado de inclinação axial, obliquidade ou inclinação da eclíptica, e é convencionalmente denotado pori. A latitude dos círculos tropicais é igual ai e a latitude dos círculos polares é seu complemento (90° -i). O eixo de rotação varia lentamente ao longo do tempo e os valores fornecidos aqui são para aépoca atual. A variação do tempo é discutida mais detalhadamente no artigo sobreinclinação axial.[a]
A figura mostra a geometria de umasecção transversal do plano perpendicular à eclíptica e através dos centros da Terra e do Sol no solstício de dezembro, quando o Sol está diretamente sobre algum ponto doTrópico de Capricórnio. As latitudes polares sul abaixo doCírculo Polar Antártico estão sob luz do dia, enquanto as latitudes polares norte acima do Círculo Polar Ártico estão na noite. A situação é invertida no solstício de junho, quando o Sol está diretamente sobre o Trópico de Câncer. Apenas nas latitudes entre os doistrópicos é possível que o Sol esteja diretamente acima (nozênite).
Emprojeções de mapas não há uma regra universal sobre como os meridianos e paralelos devem aparecer. Os exemplos abaixo mostram os paralelos nomeados (como linhas vermelhas) na projeção deMercator comumente usada e na projeção deMercator Transversa. Na primeira, os paralelos são horizontais e os meridianos são verticais, enquanto na última não há relação exata entre paralelos e meridianos com horizontais e verticais: ambos são curvas complicadas.
Em 1687,Isaac Newton publicou oPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica, no qual ele provou que um corpo fluido auto-gravitante em rotação em equilíbrio assume a forma de um elipsoideoblato.[3] (Este artigo usa o termoelipsoide em preferência ao termo mais antigoesferoide.) O resultado de Newton foi confirmado por medições geodésicas no século XVIII. (VejaArco de meridiano.) Um elipsoide oblato é a superfície tridimensional gerada pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo mais curto (eixo menor). "Elipsoide oblato de revolução" é abreviado para 'elipsoide' no restante deste artigo. (Elipsoides que não possuem um eixo de simetria são denominadostriaxiais.)
Muitoselipsoides de referência diferentes foram usados na história dageodesia. Antes dos satélites, eles foram desenvolvidos para fornecer um bom ajuste aogeoide sobre a área limitada de um levantamento, mas, com o advento doGPS, tornou-se natural usar elipsoides de referência (como oWGS84) com o centro no centro de massa da Terra e eixo menor alinhado com o eixo de rotação da Terra. Esses elipsoides geocêntricos geralmente estão dentro de 100 m (330 pé) do geoide. Como a latitude é definida em relação a um elipsoide, a posição de um determinado ponto é diferente em cada elipsoide: não se pode especificar exatamente a latitude e longitude de uma característica geográfica sem especificar o elipsoide usado. Muitos mapas mantidos por agências nacionais são baseados em elipsoides mais antigos, então é necessário saber como os valores de latitude e longitude são transformados de um elipsoide para outro. Dispositivos GPS incluem software para realizartransformações de datum que ligam o WGS84 ao elipsoide de referência local com sua grade associada.
Uma esfera de raioa comprimida ao longo do eixoz para formar um elipsoide oblato de revolução.
A forma de um elipsoide de revolução é determinada pela forma daelipse que é rotacionada ao redor de seu eixo menor (mais curto). São necessários dois parâmetros. Um é invariavelmente o raio equatorial, que é osemi-eixo maior,a. O outro parâmetro é geralmente (1) o raio polar ousemi-eixo menor,b; ou (2) oachatamento (primeiro),f; ou (3) aexcentricidade,e. Esses parâmetros não são independentes: eles estão relacionados por
Muitos outros parâmetros (vejaelipse,elipsoide) aparecem no estudo da geodesia, geofísica e projeções de mapas, mas todos podem ser expressos em termos de um ou dois membros do conjuntoa,b,f ee. Tantof quantoe são pequenos e frequentemente aparecem em expansões em série em cálculos; eles são da ordem de1/298 e 0,0818, respectivamente. Valores para vários elipsoides são fornecidos emForma da Terra. Os elipsoides de referência são geralmente definidos pelo semi-eixo maior e peloachatamento inverso,1/f. Por exemplo, os valores de definição para o elipsoideWGS84, usado por todos os dispositivos GPS, são[4]
b (raio polar):7006635675231425000♠6356752.31425 m
e2 (excentricidade ao quadrado): 0,006 694 379 990 14
A diferença entre os semi-eixos maior e menor é cerca de 21 km e como fração do semi-eixo maior, é igual ao achatamento; em um monitor de computador, o elipsoide poderia ser dimensionado como 300 por 299 pixels. Isso mal seria distinguível de uma esfera de 300 por 300 pixels, então as ilustrações geralmente exageram o achatamento.
A definição de latitude geodésica () e longitude () em um elipsoide. A normal à superfície não passa pelo centro, exceto no equador e nos polos.
A grade no elipsoide é construída exatamente da mesma forma que na esfera. A normal em um ponto na superfície de um elipsoide não passa pelo centro, exceto para pontos no equador ou nos polos, mas a definição de latitude permanece inalterada como o ângulo entre a normal e o plano equatorial. A terminologia para latitude deve ser tornada mais precisa distinguindo:
Latitude geodésica: o ângulo entre a normal e o plano equatorial. A notação padrão em publicações em inglês éϕ. Esta é a definição assumida quando a palavra latitude é usada sem qualificação. A definição deve ser acompanhada por uma especificação do elipsoide.
Latitude geocêntrica (também conhecida comolatitude esférica, após oÂngulo polar 3D): o ângulo entre o raio (do centro ao ponto na superfície) e o plano equatorial. (Figuraabaixo). Não há notação padrão: exemplos de vários textos incluemθ,ψ,q,ϕ′,ϕc,ϕg. Este artigo usaθ.
Latitude geográfica deve ser usada com cuidado, pois alguns autores a usam como sinônimo de latitude geodésica, enquanto outros a usam como alternativa àlatitude astronômica. "Latitude" (não qualificada) deve normalmente se referir à latitude geodésica.
A importância de especificar o datum de referência pode ser ilustrada por um exemplo simples. No elipsoide de referência para WGS84, o centro daTorre Eiffel tem uma latitude geodésica de 48° 51′ 29″ N, ou 48.8583° N e longitude de 2° 17′ 40″ E ou 2.2944°E. As mesmas coordenadas no datumED50 definem um ponto no solo que está 140 metros (460 pés) distante da torre.[carece de fontes?] Uma busca na web pode produzir vários valores diferentes para a latitude da torre; o elipsoide de referência raramente é especificado.
Na esfera, a normal passa pelo centro e a latitude (ϕ) é portanto igual ao ângulo subtendido no centro pelo arco do meridiano do equador até o ponto em questão. Se adistância do meridiano for denotada porm(ϕ) então
ondeR denota oraio médio da Terra.R é igual a 6 371 km ou 3 959 milhas. Nenhuma precisão mais alta é apropriada paraR, pois resultados de maior precisão exigem um modelo elipsoide. Com este valor paraR, o comprimento do meridiano de 1 grau de latitude na esfera é de 111,2 km (69,1 milhas estatutárias) (60,0 milhas náuticas). O comprimento de 1 minuto de latitude é de 1 853 km (1 151 milhas estatutárias) (1,00 milhas náuticas), enquanto o comprimento de 1 segundo de latitude é de 30,8 m ou 101 pés (vejamilha náutica).
A avaliação da integral da distância do meridiano é central para muitos estudos em geodesia e projeção de mapas. Ela pode ser avaliada expandindo a integral pela série binomial e integrando termo por termo: vejaArco de meridiano para detalhes. O comprimento do arco do meridiano entre duas latitudes dadas é obtido substituindo os limites da integral pelas latitudes em questão. O comprimento de umpequeno arco de meridiano é dado por[6][7]
Δ1 lat
Δ1 long
0°
110,574 km
111,320 km
15°
110,649 km
107,550 km
30°
110,852 km
96,486 km
45°
111,132 km
78,847 km
60°
111,412 km
55,800 km
75°
111,618 km
28,902 km
90°
111,694 km
0,000 km
Quando a diferença de latitude é de 1 grau, correspondente aπ/180 radianos, a distância do arco é de aproximadamente
A distância em metros (correta até 0,01 metro) entre as latitudes − 0,5 graus e + 0,5 graus no elipsoide WGS84 é
As definições dadas nesta seção relacionam-se a locais na superfície de referência elipsoidal, mas as duas primeiras latitudes auxiliares, como a latitude geodésica, podem ser estendidas para definir umsistema de coordenadas geográficas tridimensional, como discutidoabaixo. As demais latitudes não são usadas dessa forma; são usadasapenas como construções intermediárias em projeções de mapas do elipsoide de referência para o plano ou em cálculos de geodésicas no elipsoide. Seus valores numéricos não são de interesse. Por exemplo, ninguém precisaria calcular a latitude autálica da Torre Eiffel.
As expressões abaixo fornecem as latitudes auxiliares em termos da latitude geodésica, do semi-eixo maior,a, e da excentricidade,e. (Para inversos, vejaabaixo.) As formas fornecidas são, exceto variantes notacionais, aquelas na referência padrão para projeções de mapas, a saber "Map projections: a working manual" de J. P. Snyder.[9] Derivações dessas expressões podem ser encontradas em Adams[10] e publicações online de Osborne[6] e Rapp.[7]
A definição de latitude geodésica (ϕ) e latitude geocêntrica (θ)
Alatitude geocêntrica é o ângulo entre o plano equatorial e o raio do centro para um ponto de interesse.
Quando o ponto está na superfície do elipsoide, a relação entre a latitude geocêntrica (θ) e a latitude geodésica (ϕ) é:
Para pontos que não estão na superfície do elipsoide, o relacionamento envolve adicionalmente aaltura elipsoidalh:
ondeN é o raio de curvatura do primeiro vertical. As latitudes geodésica e geocêntrica são iguais no equador e nos polos, mas em outras latitudes elas diferem por alguns minutos de arco. Tomando o valor da excentricidade ao quadrado como 0,0067 (depende da escolha do elipsoide), pode-se mostrar que a diferença máxima de é de cerca de 11,5 minutos de arco a uma latitude geodésica de aproximadamente 45° 6′.[b]
Definição da latitude paramétrica (β) no elipsoide
Alatitude paramétrica oulatitude reduzida,β, é definida pelo raio desenhado do centro do elipsoide até aquele pontoQ na esfera circundante (de raioa) que é a projeção paralela ao eixo da Terra de um pontoP no elipsoide na latitudeϕ. Foi introduzida por Legendre[11] e Bessel[12] que resolveram problemas para geodésicas no elipsoide transformando-os em um problema equivalente para geodésicas esféricas usando esta latitude menor. A notação de Bessel,u(ϕ), também é usada na literatura atual. A latitude paramétrica está relacionada à latitude geodésica por:[6][7]
O nome alternativo surge da parametrização da equação da elipse descrevendo uma seção meridiana. Em termos de coordenadas cartesianasp, a distância do eixo menor, ez, a distância acima do plano equatorial, a equação daelipse é:
As coordenadas cartesianas do ponto são parametrizadas por
Cayley sugeriu o termolatitude paramétrica por causa da forma dessas equações.[13]
A latitude paramétrica não é usada na teoria das projeções de mapas. Sua aplicação mais importante é na teoria das geodésicas elipsoidais, (Vincenty, Karney[14]).
Alatitude retificadora,μ, é a distância do meridiano escalonada de modo que seu valor nos polos seja igual a 90 graus ouπ/2 radianos:
onde a distância do meridiano do equador até uma latitudeϕ é (vejaArco de meridiano)
e o comprimento do quadrante do meridiano do equador ao polo (adistância polar) é
Usar a latitude retificadora para definir uma latitude em uma esfera de raio
define uma projeção do elipsoide para a esfera de modo que todos os meridianos tenham comprimento verdadeiro e escala uniforme. A esfera pode então ser projetada para o plano com umaprojeção equirretangular para dar uma projeção dupla do elipsoide para o plano, de modo que todos os meridianos tenham comprimento verdadeiro e escala meridiana uniforme. Um exemplo do uso da latitude retificadora é aprojeção cônica equidistante. (Snyder, Seção 16).[9] A latitude retificadora também é de grande importância na construção daProjeção de Mercator Transversa.
A latitude conforme define uma transformação do elipsoide para uma esfera deraio arbitrário de modo que o ângulo de interseção entre quaisquer duas linhas no elipsoide seja o mesmo que o ângulo correspondente na esfera (de modo que a forma depequenos elementos seja bem preservada). Uma nova transformação conforme da esfera para o plano dá uma projeção conforme dupla do elipsoide para o plano. Esta não é a única forma de gerar tal projeção conforme. Por exemplo, a versão 'exata' daProjeção de Mercator Transversa no elipsoide não é uma projeção dupla. (Ela envolve, no entanto, uma generalização da latitude conforme para o plano complexo).
Alatitude isométrica,ψ, é usada no desenvolvimento das versões elipsoidais daProjeção de Mercator normal e daProjeção de Mercator Transversa. O nome "isométrica" surge do fato de que em qualquer ponto do elipsoide, incrementos iguais deψ e longitudeλ dão origem a deslocamentos de distância iguais ao longo dos meridianos e paralelos, respectivamente. Agrade definida pelas linhas de constanteψ e constanteλ, divide a superfície do elipsoide em uma malha de quadrados (de tamanho variável). A latitude isométrica é zero no equador, mas diverge rapidamente da latitude geodésica, tendendo ao infinito nos polos. A notação convencional é dada em Snyder (página 15):[9]
Para anormal Projeção de Mercator (no elipsoide), esta função define o espaçamento dos paralelos: se o comprimento do equador na projeção éE (unidades de comprimento ou pixels), então a distância,y, de um paralelo de latitudeϕ do equador é
A latitude isométricaψ está intimamente relacionada à latitude conformeχ:
As fórmulas nas seções anteriores fornecem a latitude auxiliar em termos da latitude geodésica. As expressões para as latitudes geocêntrica e paramétrica podem ser invertidas diretamente, mas isso é impossível nos quatro casos restantes: as latitudes retificadora, autálica, conforme e isométrica. Existem dois métodos para prosseguir.
O primeiro é uma inversão numérica da equação de definição para cada valor particular da latitude auxiliar. Os métodos disponíveis sãoiteração de ponto fixo eNewton–Raphson para encontrar raízes.
Ao converter de isométrica ou conforme para geodésica, duas iterações de Newton-Raphson fornecem precisãodupla precisão.[16]
A outra abordagem, mais útil, é expressar a latitude auxiliar como uma série em termos da latitude geodésica e, em seguida, inverter a série pelo método daReversão de Lagrange. Tais séries são apresentadas por Adams, que usa expansões em séries de Taylor e fornece coeficientes em termos da excentricidade.[10] Orihuela[17] fornece séries para as conversões entre todos os pares de latitudes auxiliares em termos do terceiro achatamento,n = (a -b)/(a +b). Karney[18] estabelece que os erros de truncamento para tais séries são consistentemente menores que as séries equivalentes em termos da excentricidade. O método de séries não é aplicável à latitude isométrica e deve-se encontrar a latitude conforme em um passo intermediário.[6]
O gráfico à direita mostra a diferença entre a latitude geodésica e as latitudes auxiliares, exceto a latitude isométrica (que diverge ao infinito nos polos), para o caso do elipsoide WGS84. As diferenças mostradas no gráfico estão em minutos de arco. No hemisfério norte (latitudes positivas),θ ≤χ ≤μ ≤ξ ≤β ≤ϕ; no hemisfério sul (latitudes negativas), as desigualdades são invertidas, com igualdade no equador e nos polos. Embora o gráfico pareça simétrico em torno de 45°, os mínimos das curvas na verdade se situam entre 45° 2′ e 45° 6′. Alguns pontos de dados representativos são fornecidos na tabela abaixo. As latitudes conforme e geocêntrica são praticamente indistinguíveis, fato que foi explorado nos dias dos cálculos manuais para agilizar a construção de projeções de mapas.[9]:108
Na primeira ordem no achatamentof, as latitudes auxiliares podem ser expressas comoζ =ϕ −Cf sin 2ϕ onde a constanteC assume os valores [1⁄2,2⁄3,3⁄4, 1, 1] paraζ = [β,ξ,μ,χ,θ].
A latitude geodésica, ou qualquer uma das latitudes auxiliares definidas no elipsoide de referência, constitui com a longitude umsistema de coordenadas bidimensional nesse elipsoide. Para definir a posição de um ponto arbitrário é necessário estender tal sistema de coordenadas para três dimensões. Três latitudes são usadas desta forma: as latitudes geodésica, geocêntrica e paramétrica são usadas em coordenadas geodésicas, coordenadas polares esféricas e coordenadas elipsoidais, respectivamente.
Em um ponto arbitrárioP, considere a linhaPN que é normal ao elipsoide de referência. As coordenadas geodésicasP(ɸ,λ,h) são a latitude e longitude do pontoN no elipsoide e a distânciaPN. Essa altura difere da altura acima do geoide ou de uma altura de referência, como a altura acima do nível médio do mar em um local específico. A direção dePN também diferirá da direção de uma linha vertical de prumo. A relação dessas diferentes alturas requer conhecimento da forma do geoide e também do campo gravitacional da Terra.
Coordenada geocêntrica relacionada às coordenadas polares esféricasP(r,θ′,λ)
A latitude geocêntricaθ é o complemento doângulo polar oucolatitudeθ′ nas coordenadaspolares esféricas convencionais nas quais as coordenadas de um ponto sãoP(r,θ′,λ) onder é a distância deP do centroO,θ′ é o ângulo entre o vetor radial e o eixo polar eλ é a longitude. Como a normal em um ponto geral no elipsoide não passa pelo centro, é claro que os pontosP' na normal, que têm todos a mesma latitude geodésica, terão latitudes geocêntricas diferentes. Sistemas de coordenadas polares esféricas são usados na análise do campo gravitacional.
A latitude paramétrica também pode ser estendida para um sistema de coordenadas tridimensional. Para um pontoP que não está no elipsoide de referência (semieixosOA eOB), construa um elipsoide auxiliar que seja confocal (mesmos focosF,F′) com o elipsoide de referência: a condição necessária é que o produtoae do semieixo maior e da excentricidade seja o mesmo para ambos os elipsoides. Sejau o semi-eixo menor (OD) do elipsoide auxiliar. Além disso, sejaβ a latitude paramétrica deP no elipsoide auxiliar. O conjunto(u,β,λ) define ascoordenadas harmônicas elipsoidais[19] ou simplesmentecoordenadas elipsoidais[5]:§4.2.2 (embora esse termo também seja usado para se referir à coordenada geodésica). Essas coordenadas são a escolha natural em modelos do campo gravitacional para um corpo elipsoidal em rotação. O acima se aplica a um elipsoide biaxial (um esferoide, como emcoordenadas esferoidais oblatas); para uma generalização, vejacoordenadas elipsoidais triaxiais.
As relações entre os sistemas de coordenadas acima e também as coordenadas cartesianas não são apresentadas aqui. A transformação entre coordenadas geodésicas e cartesianas pode ser encontrada emconversão de coordenadas geográficas. A relação entre coordenadas cartesianas e polares esféricas é dada emsistema de coordenadas esféricas. A relação entre coordenadas cartesianas e elipsoidais é discutida em Torge.[5]
Em geral, a verdadeira vertical em um ponto na superfície não coincide exatamente com a normal ao elipsoide de referência ou com a normal ao geoide. O geoide é uma forma idealizada e teórica "ao nível médio do mar". Pontos em terra não estão exatamente no geoide, e a vertical em um ponto em um momento específico é influenciada por forças de maré que o geoide teórico média. O ângulo entre as normais astronômica e geodésica é chamado dedesvio vertical e geralmente é de alguns segundos de arco, mas é importante na geodesia.[5][20]
↑abcdeOsborne, Peter (2013). «Capítulos 5,6».The Mercator Projections. [S.l.: s.n.]doi:10.5281/zenodo.35392 para código LaTeX e figuras.
↑abcdRapp, Richard H. (1991). «Capítulo 3».Geometric Geodesy, Part I. Columbus, OH: Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ.hdl:1811/24333
