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Grupo diedral

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Emmatemática e, em especial, nateoria dos grupos, umgrupo diedral é ogrupo de simetrias de umpolígono regular den{\displaystyle n} lados qualquer, que se representa quer porDn{\displaystyle D_{n}}, quer porD2n{\displaystyle D_{2n}}. Sua presentação é dada porDn=⟨x,y:xn=1,y2=1,(xy)2=1⟩{\displaystyle D_{n}=\langle x,y:x^{n}=1,y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle } eD∞=⟨x,y:y2=1,(xy)2=1⟩.{\displaystyle D_{\infty }=\langle x,y:y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle .}[1]

Grafos de ciclos
D1{\displaystyle D_{1}}D2{\displaystyle D_{2}}D3{\displaystyle D_{3}}D4{\displaystyle D_{4}}D5{\displaystyle D_{5}}D6{\displaystyle D_{6}}D7{\displaystyle D_{7}}

Propriedades

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Exemplo

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As cinco simetrias não triviais do triângulo equilátero.

SejaABC umtriângulo equilátero. Dentre as suas simetrias, temos:

Não existem outras simetrias. Considerando* como acomposição de funções, temos, por exemplo, queσA∗ρ1{\displaystyle \sigma _{A}*\rho _{1}} levaA emC,B emB eC emA, ou seja,σB=σA∗ρ1.{\displaystyle \sigma _{B}=\sigma _{A}*\rho _{1}.} Por outro lado,ρ1∗σA=σC,{\displaystyle \rho _{1}*\sigma _{A}=\sigma _{C},} ou seja, o grupo não é abeliano. Completando as operações, chegamos à tabela:

Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero
⋆{\displaystyle \star }eρ1{\displaystyle \rho _{1}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}σC{\displaystyle \sigma _{C}}
eeρ1{\displaystyle \rho _{1}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}σC{\displaystyle \sigma _{C}}
ρ1{\displaystyle \rho _{1}}ρ1{\displaystyle \rho _{1}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}eσC{\displaystyle \sigma _{C}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}
ρ2{\displaystyle \rho _{2}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}eρ1{\displaystyle \rho _{1}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}σC{\displaystyle \sigma _{C}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}
σA{\displaystyle \sigma _{A}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}σC{\displaystyle \sigma _{C}}eρ1{\displaystyle \rho _{1}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}
σB{\displaystyle \sigma _{B}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}σC{\displaystyle \sigma _{C}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}eρ1{\displaystyle \rho _{1}}
σC{\displaystyle \sigma _{C}}σC{\displaystyle \sigma _{C}}σA{\displaystyle \sigma _{A}}σB{\displaystyle \sigma _{B}}ρ1{\displaystyle \rho _{1}}ρ2{\displaystyle \rho _{2}}e

Notas

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  1. ↑Dihedral Group
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Noções básicas
Homomorfismo de grupos
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