É um campo matemático no qual são utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está presente no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas. Tal correspondência torna possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes em álgebra, e vice-versa; os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar problemas no outro. A geometria analítica é muito utilizada nafísica e naengenharia e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindogeometria algébrica,diferencial,discreta ecomputacional.
Em geral, osistema de coordenadas cartesianas é usado para manipularequações emplanos,retas,curvas ecírculos, geralmente em duas dimensões, mas, por vezes, também em três ou mais. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: diz respeito à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser umvector ou umaforma. O fato de que a álgebra dosnúmeros reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se noaxioma de Cantor-Dedekind.
O matemáticogregoMenecmo resolveu problemas e provou teoremas através de um método que se assemelhava fortemente com o uso de coordenadas; tanto que alguns estudiosos já chegaram a afirmar que a geometria analítica fora introduzida por este.
Apolônio de Perga, emDe Sectione Determinata, lidava com os problemas de um modo que pode ser considerado como uma"geometria analítica unidimensional";com a finalidade de descobrir a posição de pontos em uma reta por meio de dadas razões em relação aos outros pontos, pré-determinados pelo enunciado. Além disso, emCônicas,Apolôniodesenvolveu um método para o estudo das propriedades das cônicas. Por muito tempo, considerou-se que esse seu trabalho seria uma antecipação do trabalho deDescartes em cerca de 1800 anos, mas os historiadores da matemática atuais não adotam mais essa leitura, pois a matemática praticada nos seus tratados tinha concepções e finalidades muito distintas dos matemáticos da modernidade. Por exemplo, a noção de equação é fundamental para a geometria analítica, porém ela não é pertinente para Apolônio. Ainda assim, alguns matemáticos do século XVII comoLeibniz se apropriariam dos seus termos nos estudos em geometria analítica. Por exemplo, a utilização de linhas de referências,diâmetro etangente é fundamentalmente análogo às utilizações modernas de um sistema de coordenadas, em que as distâncias medidas ao longo do diâmetro, a partir do ponto de tangência, são asabscissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre os eixos e a curva são asordenadas. É importante ressaltar que nem Apolônio nem os muitos matemáticos até ao século XVIII não consideravam magnitudes negativas. Osnúmeros negativos só se tornariam uma prática comum na geometria analítica a partir da segunda metade do século XVIII.
Em todos os tratados algébricos daIdade Média, como osAl-Khwarizmi noséculo IX ou deOmar Khayyám noséculo XI, a geometria é sempre apresentada para justificar as manipulações algébricas. A geometria aqui tem um papel de legitimar os resultados da álgebra, que é exatamente o inverso do que acontece na matemática de hoje. A geometria analítica é caracterizada pela possibilidade de obter resultados geométricos a partir da álgebra. Nesse sentido, para a álgebra árabe jamais exerce essa função. A geometria seria a única a providenciar novos resultados algébricos, nunca o caminho contrário. Portanto, não faz sentido para ahistória da matemática afirmar que a os matemáticos medievais trabalhassem de alguma maneira com geometria analítica.
No fim doséculo XVI, o matemáticofrancêsFrançois Viète adotou umanotação algébrica sistemática que utiliza letras para representar quantidades numéricas conhecidas e desconhecidas, e desenvolveu eficientes métodos gerais para trabalhar com expressões algébricas e solucionar equações de mesma natureza. No entanto, a matemática de Viète estava associada ao princípio da homogeneidade. O princípio da homogeneidade consistia em fazer operações de soma ou subtração somente com termos semelhantes, ou seja, variáveis lineares (de primeira ordem) correspondiam a comprimentos, quadráticas (de segunda ordem) aáreas, cúbicas (terceira ordem) a volumes, etc., assim não se fazia sentido somar uma variável linear com uma quadrática, pois eram de naturezas distintas --a grosso modo seria tentar somar um comprimento com uma superfície, o que não faz sentido tampouco para nós (comentário do editor). Quando conveniente, os algebristas interpretavam as variáveis lineares como variáveis quadráticas assumindo que pudesse se tratar de áreas de retângulos, como por exemplo, poderia ser visto como um segmento de comprimento como um retângulo de lados e. Assim, isso significa que eles não buscavam romper com essa regra, e sim buscar que seu sistema continue respeitando o princípio da homogeneidade. Era um pressuposto tão enraizado nas práticas matemáticas que não era uma questão para os matemáticos romperem com esse princípio atéRené Descartes, 46 anos depois da publicação de Viète,In artem analyticem isagoge.
Os franceses Descartes ePierre de Fermat, são creditados por estabelecer a geometria analítica na década de1630, mas seguindo linhas bastante diferentes. Não é possível afirmar que ambos chegaram aos mesmos resultados de forma independe, pois, apesar de não haver qualquer ligação direta entre os dois matemáticos até as publicações de seus trabalhos, ambos estavam inseridos em uma mesma rede de circulação de cartas e pessoas. Portanto, essa suposta coincidência de termos dois matemáticos obtendo resultados análogos, ela na verdade nos comprova que existe uma prática comum compartilhada entre eles que os norteou, em especial, os problemas delugar geométrico que estavam em alta com as traduções e edições comentadas dos tratados gregos daAntiguidade. Contudo, existem diferenças importantes entre os tratamentos desses dois matemáticos.
Enquanto Fermat foi um seguidor das práticas algébricas de Viète, apropriando-se de sua notação e de muito de sua abordagem, Descartes desenvolveu um estilo diferente com notações e métodos próprios. Descartes manipulou equações para estudar curvas geometricamente definidas, e acentuou a necessidade de considerar curvas algébricas em geral —gráficos de equaçõespolinomiais de todas as ordens. Ele demonstrou seu método em um problema clássico: encontrar todos os pontosP, de modo que, o produto das distâncias deP a certas linhas sejam iguais ao produto das distâncias em relação a outras linhas.
O progresso significante deste âmbito deu-se através de seus métodos em um ensaio intituladoA Geometria (La Geometrie), o terceiro e último ensaio, todos publicados em1637 anexados aoDiscurso do método , cujo título completo éDiscurso do método para bem conduzir à razão e procurar a verdade nas ciências mais a ótica, os meteoros e a geometria que são os ensaios deste método. Esse trabalho, produzido originalmente em francês, e seus princípios filosóficos, ganhou rapidamente grande repercussão naEuropa, ainda que não num primeiro momento. Inicialmente, a publicação não foi bem recebida pela comunidade científica, principalmente devido às falhas argumentativas e equações complicadas. Apenas depois de ter sido traduzida para oLatim em1649 porvan Schooten junta à adição de comentários dotradutor, a obra de Descartes obteve reconhecimento e admiração.
Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadasx eydetermina uma curva. Utilizando tal ideia, ele revisou os argumentos de Apolônio em termos algébricos e o ressignificou. Além disso, indicou que qualquer equação quadrática entrex ey pode ser representada na forma padrão de uma das seçõescônicas.
Embora não tenha sido publicado durante seu tempo em vida, um impresso do manuscrito deAd locos planos et solidos isagoge circulava emParis em 1637, previamente à publicação doDiscurso de Descartes. Escrito de forma clara e bem recebido, o documento também configurou a base da geometria analítica. A principal diferença entre as abordagens de ambos, quanto a este estudo, se encontra no ponto de vista: Fermat sempre iniciava com umaequação algébrica e então descrevia a curva geométrica que a satisfazia, enquanto Descartes partia das curvas geométricas e produzia suas respectivas equações; como sendo estas, uma de várias propriedades da curva. Como consequência deste tratamento, Descartes tinha de lidar com equações mais complicadas e, portanto, teve de criar métodos para trabalhar com equações polinomiais de ordens elevadas.
O ponto fundamental que caracteriza a geometria analítica e a justifica aqui como uma prática inovadora para a época é que ela permite que problemas geométricos possam ser interpretados algebricamente e que as manipulações algébricas possam por sua vez permitir encontrar resultados geométricos. Essa via de mão dupla entre álgebra e geometria é rapidamente adotada com bastante entusiasmo naEuropa Continental ainda noséculo XVII.
Gráfico estrutural do sistema de coordenadas esféricas
Na geometria analítica, aoplano é dado umsistema de coordenadas, no qual, cadaponto possui um par coordenadasreais. Semelhantemente, umespaço euclidiano acomoda sistemas onde cada ponto é definido por três coordenadas. Existe uma variedade de sistemas utilizados atualmente, porém os mais comuns são:
O sistema de coordenadas mais utilizado é oplano cartesiano, onde cada ponto recebe uma coordenadax, que representa a posiçãohorizontal, e uma coordenaday, representando sua posiçãovertical. Estas são geralmente escritas em umpar ordenado (x, y).
Este sistema também pode ser empregado emgeometria tridimensional, no qual, cada ponto no espaço euclidiano é representado por umtrio ordenado de coordenadas (x, y, z).
Fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano
No sistema decoordenadas polares, cada ponto no plano é representado peloraior, em relação àorigem, e peloânguloθ, em relação à horizontal (grau zero).
Nascoordenadas cilíndricas, cada ponto no espaço é definido por: umaalturaz; por um raior, em relação ao eixo-z; por ânguloθ, em relação à suaprojeção no plano-xy.
Em um sistema decoordenadas esféricas, o ponto é representado por uma distânciaρem relação à origem, um ânguloθ com respeito à projeção no plano-xy, e um ânguloφ,que esta distância determina em relação ao eixo-z. Nafísica, os nomes dos ângulos são geralmente invertidos.
Na geometria analítica, qualquerequação envolvendo coordenadas descreve umsubconjunto do plano, isto é, o conjunto de soluções para a dada equação, ou olugar geométrico (locus). Por exemplo, a equaçãoy = x corresponde aoconjunto de todos os pontos no plano cuja coordenada-x é igual à coordenada-y. Estes pontos formam umalinha, portanto, dizemos quey = x representa a equação desta linha. No geral,equações lineares envolvendo x e y descrevem retas,equações quadráticas especificamseções cônicas, e equações mais complicadas resultam em figuras mais complexas.
Reprodução ideal de plotagem da generalizada equação linear reduzida com suas propriedades retratadas
Normalmente, uma única equação corresponde à umacurva no plano. Este não é sempre o caso: a equação trivialx = x determina o plano inteiro, e a equaçãox² + y² = 0 determina apenas o ponto (0, 0). Em três dimensões, uma única equação gera, usualmente, umasuperfície, e uma curva deve ser especificada como aintersecção entre duas superfícies, ou como um sistema deequações paramétricas.
Linhas no plano cartesiano podem ser descritas algebricamente através deequações lineares. Em duas dimensões, a equação para linhas não-verticais é, na maioria das vezes, dada naforma reduzida:
É possível fazer um paralelo básico, porém fundamental, entre geometria analítica e aálgebra linear através da transformação de suas equações lineares reduzidas e representá-las emmatrizes. Dados dois pontos distintos e uma equação da reta que passa por esses dois pontos é:
Representação de uma reta com pontos arbitrários para desenvolvimento das propriedades geométricas. No caso, serve como referência visual para as relações apresentadas ao lado
Exercendo um trabalho algébrico, obtemos:
Após alcançarmos tal relação de igualdade, podemos perceber uma forte semelhança com oalgoritmo necessário para calcular odeterminante de uma matriz. De modo a simplificar esta definição, a matriz que caracteriza a equação da reta é:
De forma análoga ao modo como as retas, em um espaço bidimensional, são descritas utilizando uma configuração ponto-ângulo para suas equações, planos situados em espaços tridimensionais possuem uma definição natural que utiliza um ponto no plano e umvetorortogonal a este (ovetor normal) para indicar sua "inclinação".
Nomeadamente, seja o vetor posição de algum ponto e seja um vetor não-nulo. O plano determinado pelo ponto e vetor consiste destes pontos com vetor posição de modo que o vetor traçado de a sejaperpendicular a Dois vetores são perpendiculares se e somente se oproduto escalar entre eles é zero. Logo, o plano desejado pode ser detalhado como o conjunto de todos os pontos tais que (Vale atentar ao fato de que o ponto se refere ao produto escalar, e não à multiplicação escalar).
Expandindo o produto, a expressão se torna:
que é o perfilponto-normal da equação de um plano.
A geometria analítica, no contexto dageometria algébrica, é também o nome da teoria dasvariedades complexas e dos espaços analíticos mais gerais. Está ligada à geometria algébrica, especialmente pelo trabalho deJean-Pierre Serre.
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